05专题 椭圆 （15大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

05专题 椭圆及其应用 15大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及其应用 考点02 椭圆的焦点三角形问题 考点03 椭圆的性质 考点04 椭圆方程的求解 考点05 椭圆的离心率问题 考点06 根据椭圆的方程求参数范围 考点07 椭圆的中点弦问题 考点08 利用曲线方程研究曲线的性质问题 考点09 直线与椭圆相交、弦长、面积等问题 考点10 椭圆的实际应用问题 考点11 椭圆中的最值问题 考点12 椭圆与双曲线、抛物线的综合问题 考点13 椭圆中的定点定值问题 地 1 考点01 椭圆的定义及其应用 1．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点（在的上方），，且，则（    ） A．是等腰三角形 B．的面积为 C．的斜率为-1 D．的离心率为 4．(23-24高二上·河南新乡·期中)已知曲线为上异于的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ） A．到点的距离的取值范围是 B．存在两个定点，使得到这两个定点的距离之和为定值 C．直线与直线的斜率之积为 D．当直线的斜率等于时，等于 5．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为 ； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为 ． 地 1 考点02 椭圆的焦点三角形问题 6．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 . 7．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 9．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 10．(23-24高二上·河南南阳·期中)是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若存在点，使，则椭圆的离心率 D．若的中点在轴上，则 地 1 考点03 椭圆的性质 11．(23-24高二上·河南新乡·期中)椭圆的长轴长是（    ） A．7 B．14 C．9 D．18 12．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知椭圆的焦距为2，则 ． 13．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 15．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 地 1 考点04 椭圆方程的求解 16．(23-24高二上·河南南阳·期中)请写出一个焦点在轴上，焦距为的椭圆的标准方程 ． 17．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为为上一点，且的周长为12，则的方程为（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 19．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标. 20．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （2）经过两点. 地 1 考点05 椭圆的离心率问题 21．(24-25高二上·河南南阳·期中)下列椭圆的形状更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 23．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)设和为椭圆的两个焦点，若，，是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为 . 25．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 地 1 考点06 根据椭圆的方程求参数范围 26．(24-25高二上·河南南阳·期中)方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 27．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 29．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示椭圆 B．若曲线表示双曲线，则 C．无论取何值，曲线都不能表示圆 D．无论取何值，曲线都不能表示抛物线 30．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 31．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线为直线 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．曲线不可能是圆 地 1 考点07 椭圆的中点弦问题 32．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 33．(24-25高二上·河南南阳·期中)椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高二上·河南百师联盟·期中)已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 . 35．(23-24高二上·河南新乡·期中)已知椭圆，直线与椭圆交于两点． (1)若弦被点平分，且直线的斜率为，求； (2)若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）． 地 1 考点08 利用曲线方程研究曲线的性质问题 36．(24-25高二上·河南九师联盟·)关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的区域面积小于2 C．曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D．曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 37．(24-25高二上·河南开封五校·期中)如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 38．(24-25高二上·河南南阳·期中)曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于坐标轴对称 B．点P到原点距离的最大值为2 C．周长的最小值为 D．点P到y轴距离的最大值为 地 1 考点09 直线与椭圆相交、弦长、面积等问题 39．(23-24高二上·河南南阳·期中)直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 42．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数． (1)求点的轨迹． (2)设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积． 43．(24-25高二上·河南焦作·期中)已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，且直线过点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于M，N两点，当点到直线的距离最大时，求. 44．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 地 1 考点10 椭圆的实际应用问题 45．(23-24高二上·河南新乡·期中)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为．若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（    ） A．3.2米 B．3.4米 C．4米 D．3.6米 46．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧.油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（    ） A．该椭圆的长轴为 B．该椭圆的离心率为 C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为 47．(23-24高二上·河南南阳·期中)参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 . 地 1 考点11 椭圆中的最值问题 48．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 49．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 50．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为 ． 51．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知椭圆C：的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离. 52．(24-25高二上·河南百师联盟·期中)设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 53．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点. (1)求的方程; (2)是上的四个点，与相交于点. ①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率; ②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. 54．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 55．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 地 1 考点12 椭圆与双曲线、抛物线的综合问题 56．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 57．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ． 58．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆与抛物线交于点，直线与轴的交点既是的右焦点，也是的焦点，点关于原点的对称点分别为，点是上与均不重合的点，记直线的斜率分别为，则 . 59．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. (1)求C的方程. (2)过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 60．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)判断曲线为何种圆锥曲线. (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 地 1 考点13 椭圆中的定点定值问题 61．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值． 62．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 63．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)如图，椭圆E：两焦点为，且经过点. (1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程； (2)经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），求证：直线与的斜率之和为定值. 64．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆经过中的3个点. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，点关于轴的对称点为，点是的外接圆圆心，判断在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 65．(23-24高二上·河南新乡·期中)已知椭圆的右焦点为，短轴长为2． (1)求的方程． (2)若为上的两个动点，两点的纵坐标的乘积大于，且．证明：直线过定点． 66．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为. (1)求的方程. (2)已知点是上不关于坐标轴对称的两点，且满足（表示斜率），判断直线是否过定点.若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 67．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为： (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由. 68．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立． 69．(24-25高二上·河南南阳·期中)通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， (1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： (2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 试卷第64页，共65页 试卷第65页，共65页 学科网（北京）股份有限公司 $ 05专题 椭圆及其应用 15大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及其应用 考点02 椭圆的焦点三角形问题 考点03 椭圆的性质 考点04 椭圆方程的求解 考点05 椭圆的离心率问题 考点06 根据椭圆的方程求参数范围 考点07 椭圆的中点弦问题 考点08 利用曲线方程研究曲线的性质问题 考点09 直线与椭圆相交、弦长、面积等问题 考点10 椭圆的实际应用问题 考点11 椭圆中的最值问题 考点12 椭圆与双曲线、抛物线的综合问题 考点13 椭圆中的定点定值问题 地 1 考点01 椭圆的定义及其应用 1．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义列方程，求得的值. 【详解】由椭圆的定义知，所以， 故选：C. 2．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义得到的周长为,运用椭圆对称性可得，作比，结合离心率公式得到答案. 【详解】设，由椭圆定义易得的周长为， 由对称性可得，所以， 所以的周长与的比值为． 故选：B． 3．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点（在的上方），，且，则（    ） A．是等腰三角形 B．的面积为 C．的斜率为-1 D．的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据题中所给条件，由得，且，可求出点A即为椭圆短轴的顶点，根据椭圆的性质依次判断各个选项即可. 【详解】    由得，因为， 设，则根据椭圆性质有 在直角中， 化简得，所以所以A正确； 则，所以B不正确； 在直角中， 则，所以D正确； 由，结合图像可知的斜率为-1，所以C正确； 故答案为：ACD 4．(23-24高二上·河南新乡·期中)已知曲线为上异于的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ） A．到点的距离的取值范围是 B．存在两个定点，使得到这两个定点的距离之和为定值 C．直线与直线的斜率之积为 D．当直线的斜率等于时，等于 【答案】ABD 【分析】利用P到焦点的距离的取值范围可判断A,利用椭圆的定义可判断B,利用两点斜率公式以及椭圆方程可判断C,设，设出直线的方程并求出的坐标，设出直线的方程并求出的坐标，计算出，将代入即可可判断D. 【详解】由，得，则表示椭圆的上半部分，根据椭圆的定义，可得B正确； 点是椭圆的右焦点，则，A正确； 设，则C错误； 设，则，直线的方程为，则的坐标为． 直线的方程为，则的坐标为， 所以，当时，，D正确． 故选：ABD 5．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为 ； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的对称性求出椭圆的离心率；（2）利用光的反射定律及椭圆的定义，借助几何图形求出即可. 【详解】（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，， 由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则， 所以椭圆C的离心率为； （2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即， 延长交于点，由光的反射定律知垂直平分线段，连接， 则是的中位线，于是， 而点H在圆上，则，短轴长. 故答案为：；    地 1 考点02 椭圆的焦点三角形问题 6．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】由椭圆的离心率公式可求得椭圆a，b，c，再根据椭圆的定义可求得的周长，由向量的数量积的坐标运算表示，由二次函数的性质和椭圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】解：因为椭圆的离心率，所以，又，即，所以，. 所以，，，， 设椭圆上的一点，则， 所以当时，取得最大值， 故答案为：8；. 7．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 8．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 9．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果. 【详解】不妨设，，焦距， 由的面积为，得， 由余弦定理，得， 则 ， 所以，即， 所以，所以，易得， ，所以， 所以，由椭圆定义知， 所以，所以， 所以，， 所以． 故选： C． 【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义，性质，焦点三角形的面积计算等知识，计算量较大.具体做法可画出图形，辅助理解；由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果. 10．(23-24高二上·河南南阳·期中)是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若存在点，使，则椭圆的离心率 D．若的中点在轴上，则 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质，可判定A错误；设，利用余弦定理和椭圆定义，求得，结合三角形的面积公式，可判定B错误；设椭圆的短轴上端点为，得到，得到，结合离心率的定义，可判定C正确；根据题意，得到轴，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，根据椭圆的几何性质，可得，所以A错误； 对于B中，设，则， 由余弦定理得， 解得，所以，所以B错误； 对于C中，设椭圆的短轴上端点为，连接, 若存在点，使得，则，所以，即， 所以，所以，即， 又因为，可得，所以C正确； 对于D中，若的中点在轴上，则轴， 结合椭圆的几何性质，可得，所以D正确. 故选：CD. 地 1 考点03 椭圆的性质 11．(23-24高二上·河南新乡·期中)椭圆的长轴长是（    ） A．7 B．14 C．9 D．18 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程与性质计算即可. 【详解】因为，所以，则， 故椭圆的长轴长是18． 故选：D 12．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知椭圆的焦距为2，则 ． 【答案】5或7. 【分析】讨论焦点在轴上或在轴上，分别计算即可得到结果. 【详解】当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7. 13．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 14．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 15．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解. 【详解】对应椭圆，，所以， 所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为； 对于且），则， 该方程表示的是焦点在轴上的椭圆， ，所以， 长轴为，短轴为， 所以该椭圆的焦距为，离心率为， 所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确. 故选：C 地 1 考点04 椭圆方程的求解 16．(23-24高二上·河南南阳·期中)请写出一个焦点在轴上，焦距为的椭圆的标准方程 ． 【答案】（答案不唯一，只要焦点在轴上且） 【分析】由题得，所以，然后取一组a、b即可. 【详解】由题得，所以，取， 又焦点在y轴上，所以方程为. 故答案为：. 17．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为为上一点，且的周长为12，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义与离心率可得的值，从而求得的值，即可得椭圆标准方程. 【详解】根据椭圆的定义可得 所以的周长为 又离心率，联立解得 所以，则椭圆的方程为. 故选：B. 18．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为； ∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键． 19．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据椭圆的顶点及半焦距得出即可求出椭圆方程； （2）利用点在椭圆上及解方程组得解. 【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为， 半焦距. 又椭圆经过点， ， 故椭圆的方程为. （2）设点，因为， 则，即， 联立，解得. 当时，，当时，， 点的坐标为或或或 20．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （2）经过两点. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求，从而可得椭圆标准方程： （2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为， ∵椭圆过点， ∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）设所求的椭圆方程为． 把两点代入， 得：，解得， ∴椭圆方程为． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养. 地 1 考点05 椭圆的离心率问题 21．(24-25高二上·河南南阳·期中)下列椭圆的形状更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 22．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设是椭圆的左焦点，是的右焦点，由得到，再结合余弦定理，二倍角公式即可求解. 【详解】 不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为2c，连接， 则，又，所以. 在中，由余弦定理得， 所以 ，即， 所以. 故选：D. 23．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)设和为椭圆的两个焦点，若，，是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形 是等边三角形，得到b、c的齐次式，即可求出离心率. 【详解】设椭圆是焦距为2c. 因为，，是等边三角形的三个顶点， 所以，有，则. 故选：B. 24．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点在椭圆上化简即可. 【详解】设，,则，， 所以，， 因为，所以，所以，即. 又， 所以，即，解得，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 25．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意得，设，表示直线AM，BM的斜率，利用斜率之积为和点在椭圆上可得结果. 【详解】由题意得，.    设，则，， ∴， 由得，， ∴，即， ∴离心率. 故答案为：. 地 1 考点06 根据椭圆的方程求参数范围 26．(24-25高二上·河南南阳·期中)方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围. 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 27．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于椭圆方程（），当时，椭圆的焦点在轴上。在方程中，，，我们需要根据焦点在轴上这一条件列出关于的不等式组求解。 【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得. 同时，解得. 由于焦点在轴上，所以，即. 移项可得，即.解得. 综合前面的条件，和. 所以的取值范围是. 故选：A. 28．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B. 29．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示椭圆 B．若曲线表示双曲线，则 C．无论取何值，曲线都不能表示圆 D．无论取何值，曲线都不能表示抛物线 【答案】BD 【分析】根据椭圆、双曲线、圆、抛物线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 30．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可. 【详解】当且时，方程为， 若，即，此时方程表示圆； 若，即， 当且时，，，方程表椭圆，故A错误； 当时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故B正确； 当时，方程为，表示两条直线； 当时，方程为，表示两条直线；故C正确； 方程不可能表示抛物线，故D错误. 故选：BC 31．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线为直线 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．曲线不可能是圆 【答案】ABC 【分析】由直线，椭圆，双曲线，圆方程的特点逐项判断即可. 【详解】A选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正确． B选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的椭圆，正确． C选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的双曲线，正确． D选项：当时，方程可化为，可知曲线为以原点为圆心，以为半径的圆，D错误． 故选：ABC． 地 1 考点07 椭圆的中点弦问题 32．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 33．(24-25高二上·河南南阳·期中)椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，由点差法代入计算，即可得到，再将中点坐标代入直线计算，即可得到结果. 【详解】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以. 故选：A 34．(24-25高二上·河南百师联盟·期中)已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 . 【答案】 【分析】利用点差法来求解椭圆方程中的值，然后根据椭圆中的关系求出半焦距. 【详解】设，，因为在椭圆上， 所以. 两式相减得，即. 因为点是线段的中点，所以，. 斜率，得，即,解得. 当时，椭圆方程为，可得，所以. 故答案为：. 35．(23-24高二上·河南新乡·期中)已知椭圆，直线与椭圆交于两点． (1)若弦被点平分，且直线的斜率为，求； (2)若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用中点坐标公式，求得将，代入椭圆方程，相减可得到直线的斜率，再根据直线的斜率为，即可求值； （2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，即可求得弦长. 【详解】（1）设，因为弦被点平分， 所以 又， 两式相减得， ， ， ，由已知得， 所以， 所以，解得． （2）设，将代入，得， 则， 且， 所以 ，， ， ， ． 地 1 考点08 利用曲线方程研究曲线的性质问题 36．(24-25高二上·河南九师联盟·)关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的区域面积小于2 C．曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D．曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 【答案】ABC 【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D. 【详解】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确； 对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，， 则 ，所以在的下方， 所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确； 对于C，因为 ，等号仅当时成立， 所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确; 对于D，因为，所以 ， 等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误. 故选:ABC. 37．(24-25高二上·河南开封五校·期中)如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（）， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意; 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解. 38．(24-25高二上·河南南阳·期中)曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于坐标轴对称 B．点P到原点距离的最大值为2 C．周长的最小值为 D．点P到y轴距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】由题意利用两点距离公式，整理曲线方程，对于A，任意取关于坐标轴的对称点代入方程，可得答案；对于B，利用平面向量的线性运算以及模长公式，结合三角形三边关系以及余弦函数的性质，可得答案；对于C，利用基本不等式，可得答案；对于D，根据余弦定理与基本不等式，可求得三角形面积的最大值，由底为定值，可得答案. 【详解】设，由题意可得， 整理可得曲线， 设，则， 对于A，任意取曲线的点，即， 点关于轴的对称点为，， 显然成立，所以曲线关于轴对称，同理可得曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，由是与的中点，则， ， 当共线时，取得最大值，，且，取得最大值， 所以取得最大值，故B正确； 对于C，的周长为， 当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，在中，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，取得最大值， 所以的面积取得最大值， 点到轴的距离取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 地 1 考点09 直线与椭圆相交、弦长、面积等问题 39．(23-24高二上·河南南阳·期中)直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】因为直线，过定点， 只需该定点落在椭圆内或椭圆上则直线与椭圆总有交点，即： 解得：，又因为：， 所以：的取值范围为：.故B项正确. 故选：B. 40．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】出及的图像，结合图像即可求解. 【详解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时， 由，得， 所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时， 根据图象，的取值范围为. 故选：A. 41．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 【答案】 【解析】求出椭圆的左焦点，根据点斜式设出方程，联立直线方程与椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦的长． 【详解】椭圆方程为， 焦点分别为，， 直线过左焦点倾斜角为， 直线的方程为， 将方程与椭圆方程消去，得 设，，，，可得 ， 因此，． 故答案为： 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 42．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数． (1)求点的轨迹． (2)设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积． 【答案】(1)点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆 (2) 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）由题意可得出四边形面积为，转化为求三角形面积问题，根据直线斜率为分类讨论，分别求出三角形面积即可. 【详解】（1）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即． 所以点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆． （2）设， 又，则． 由，可得， 则四边形面积为． 当直线斜率为0时，易知，又，则． 根据对称性不妨取，由得 则，得此时； 当直线斜率不为0时，设的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立有： 消去得：． ， 由韦达定理，． 所以 ， 代入可得，解得， ， 又原点到直线距离为，则此时． 综上可得，，四边形面积为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求四边形的面积，利用，可得，进而得出四边形面积为. 43．(24-25高二上·河南焦作·期中)已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，且直线过点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于M，N两点，当点到直线的距离最大时，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得，，，计算的斜率，表示直线的方程，利用直线过点可得结果. （2）由题意可知，当时，点到直线的距离取得最大值，利用垂直得到直线的斜率，计算直线的方程，与椭圆方程联立结合韦达定理即可得到结果. 【详解】（1） 设.由，得，由，得， 由题知，则直线的斜率， 故直线的方程为. 由直线过点，得，则，， 所以的方程为. （2）由（1）知.设，. 由题意可知，当时，点到直线的距离取得最大值， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即， 与的方程联立，消去，整理得， 所以，， 所以 . 44．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意列式整理即可得轨迹方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得.解法一：换元令，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 地 1 考点10 椭圆的实际应用问题 45．(23-24高二上·河南新乡·期中)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为．若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（    ） A．3.2米 B．3.4米 C．4米 D．3.6米 【答案】D 【分析】利用椭圆的几何性质解题即可. 【详解】由题意可知，，则， 由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米， 所以米，米，该椭球的高为米． 故选：D 46．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧.油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（    ） A．该椭圆的长轴为 B．该椭圆的离心率为 C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为 【答案】ABC 【分析】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得、，进而求得椭圆的离心率和焦距. 【详解】， 如图，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心. 因为，，所以， 设椭圆的长轴长为，焦距为，则. 因为，，，， 由正弦定理得， 解得，所以， 所以，. 所以，椭圆的长轴长为，离心率为，焦距为. 故选：ABC. 47．(23-24高二上·河南南阳·期中)参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率. 【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍） 则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率 故答案为： 【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 地 1 考点11 椭圆中的最值问题 48．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值. 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 49．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】若为椭圆左焦点且，由椭圆定义有，结合，即可求最小值. 【详解】若为椭圆左焦点且，则，故， 所以， 而，所以，仅当共线时取等号， 综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间. 故选：B 50．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断椭圆在上方，与平行且距离为的直线方程，联立与椭圆方程，由根的判别式得到不等式，结合离心率，得到. 【详解】过第二，三，四象限，由题意得椭圆与直线没有公共点， 故在椭圆下方， 设直线在上方，与平行， 且它们之间的距离为，设直线方程为， 故，解得或7， 时，直线在下方，不合要求，当时，直线在上方， 则的方程为， 由整理得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以． 故答案为：    51．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知椭圆C：的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可； （2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程，利用判别式求解； 方法二：设点，求得点P到直线l：的距离的表达式，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）由题意可知，∴，， 将点A的坐标代入，解得，则， 故椭圆方程为. （2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得， 由其根的判别式，解得. 当时，直线l与直线的距离； 当时，直线l与直线的距离. 由可知，符合题意. 将代入可解得， 将代入可得， 则点P的坐标为，此时距离的最小值为. 方法二：设点，， 则点P到直线l：的距离， 当，即时，d取最小值，最小值为，此时点P的坐标为. 52．(24-25高二上·河南百师联盟·期中)设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据已知可得，，再结合求出椭圆方程. （2）（i）设出三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为，从而解出横坐标，进而解出结果. （ii）讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点 到直线 的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果. 【详解】（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得， ，由的面积为，得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设，由直线垂直于轴，得， 由原点是的重心，得，即，， 又，解得，所以到直线的距离为. （ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 由得，且，即， ， 由原点是的重心，得， 解得，点， 于是，整理得 ， 因此点到直线的距离为 ， 所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是第二问中复杂的参数运算，解答时要结合方程求出点到直线的距离的表达式，计算基本都是字母参数的运算，比较复杂，要十分细心. 53．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点. (1)求的方程; (2)是上的四个点，与相交于点. ①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率; ②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②1，或. 【分析】（1）由，可求，再结合，求得即可求解； （2）①由点坐标求得与方程，联立椭圆方程，求得坐标即可求解； ②设由弦长公式及点到线的距离公式，表示出面积，进而可求解. 【详解】（1）因为是椭圆上的一点，所以，即， 又，又，所以， 故的方程为 （2） ①若A，B分别为椭圆与x，y轴的正半轴的交点，则， 则直线的方程是，即， 代入椭圆的方程，消去并整理得，解得 或， 因为，所以，则，即， 直线的方程是，即， 代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或， 因为，所以，则， 即， 所以. ② 因为直线AB的斜率为，所以可设直线AB的方程为， 代入消去并整理得， 设，则， ， 又点到直线AB的距离， 所以的面积，等号仅当，即时成立， 显然满足，所以面积的最大值是1. 此时，直线AB的方程是，即或 54．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据选择不同的选项中条件再结合题意从而求解. （2）设出直线的方程与椭圆联立，利用根与系数关系，并结合，再构造函数利用函数单调性从而求解. 【详解】（1）若选①．由题意得：，解得：， 所以：椭圆的方程为. 若选②．椭圆的焦点坐标为，则， 又，得，由，得， 所以椭圆的方程为. 若选③.由题意得：， 又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以， 又，得，， 所以椭圆的方程为. （2）易知，设直线的方程为， 联立，得：， 设点，，由根与系数的关系得， ，， 所以 ， 设，则 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，（此时，直线为）. 故：面积的最大值为． 【点睛】（2）中通过直线与椭圆联立并利用根与系数关系得：，然后构造函数，利用函数的单调性从而可求解面积的最大值. 55．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据离心率公式和焦点三角形周长以及关系得到方程，解出即可； （2）①设，根据向量关系得到，再代入椭圆方程，并结合在椭圆上，从而得到方程组，解出坐标即可得到直线方程； ②设，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，再求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，根据写出面积表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意知. 解得，所以的标准方程为. （2）①由(1)知，设， 所以，又， 所以， 解得， 所以，又，解得， 又点是上位于第一象限内的一点，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； ②设，所以直线的方程为， 由，得，所以， 解得， 所以. 当时，直线的方程为， 由，得， 所以，解得，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 若轴时，令，解得（负舍）， 则，此时，， 此时， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是解出点坐标，从而得到面积表达式，最后求出其最值即可. 地 1 考点12 椭圆与双曲线、抛物线的综合问题 56．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆和双曲线定义有，将两式平方相加后由余弦定理和向量的数量积计算可得A错误；由对称性得到四边形的顶点的坐标，再结合基本不等式求出面积可得B正确；由离心率的定义和边长关系得到，再结合对勾函数的单调性可得C正确；由角平分线的定理将问题转化为求的最小值，再由椭圆和双曲线的性质结合余弦定理得到，再用基本不等式的乘“1”法分析可得D正确； 【详解】 对于A，设， 由椭圆和双曲线定义有， 将两式平方得， 相加整理得， 又在中，由余弦定理有， 则，即， 则，故A选项错误； 对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知， 另外三个点的坐标为，， 以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上， 所以满足，则有， 当且仅当时等式成立，故B选项正确； 对于C，即，所以，则， 又，所以，即， 又，所以， ，则． 令，则， 函数在上单调递减，所以，故C选项正确； 对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线， 则由角平分线性质定理有即， 由外角平分线性质定理有，即， 求的最小值即求的最小值； 由可得， 代入即，整理可得， 所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛： 本题D选项关键在于利用角平分定理将所求转换成求的最小值，再结合基本不等式的乘“1”法分析. 57．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ． 【答案】 3 8 【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解. 【详解】因为椭圆，所以其离心率， 所以双曲线的离心率； 设双曲线C的半焦距为， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点重合， 所以，， 因为、分别为双曲线的左､右焦点，为右支上任意一点， 所以，即， 所以， 因为， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故答案为：3；8. 58．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆与抛物线交于点，直线与轴的交点既是的右焦点，也是的焦点，点关于原点的对称点分别为，点是上与均不重合的点，记直线的斜率分别为，则 . 【答案】4 【分析】椭圆半焦距为c，根据给定条件，结合椭圆、抛物线的对称性求出及点的坐标，再利用斜率坐标公式计算即得. 【详解】令椭圆半焦距为c，由的右焦点，也是的焦点，得， 又直线过点，由椭圆、抛物线的对称性知，点关于x轴对称，即直线轴， 由，得，由，得，于是，即， 则，解得，不妨令，则，设， 显然， ， 所以. 故答案为：4 59．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. (1)求C的方程. (2)过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知求出即可. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积关系，进而求出点的坐标，再利用向量垂直的坐标表示推理得证；②设出点的坐标，结合中点坐标及都在椭圆上，分别求出点的坐标关系即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意，，由消去得，则， 联立解得 所以椭圆C的方程为. （2）①直线不垂直于轴，设其方程为，，    由消去得，， ，轴，， 的面积 ，解得， 而直线的倾斜角为钝角，则，由解得， 因此点，， 则，即， 所以. ②由及A是的中点，得，又点均在椭圆上，    则，整理得，即， 设点，由，得点是的中点，则， 同理得，因此点，的坐标都满足方程， 所以直线的方程为. 60．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)判断曲线为何种圆锥曲线. (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 【答案】(1)椭圆 (2)且 (3)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果； （ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. （3）由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则 （i）若，则 . （ii）因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 地 1 考点13 椭圆中的定点定值问题 61．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出动点，且根据题意，从而求解； （2）设出直线的方程，然后与椭圆进行联立后利用根与系数关系从而证明为定值. 【详解】（1）设点，根据题意得： ， 整理得：， 故曲线的方程为：. （2）设直线的方程为， 联立，得：， 设点，，由根与系数的关系得： ，， 则： ， 综上，为定值2． 【点睛】（2）问中利用直线与椭圆联立后利用根与系数关系即可求解. 62．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由焦距为可求得，再将点代入椭圆C方程即可求得，进而求解即可； （2）结合题意易得，转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入运算得解. 【详解】（1）由题意，，即，则①； 又点在椭圆C上，故②， 联立①②解方程组得，，， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在点，使得恒成立， 易知点，设点，， 设直线的方程为：， 联立方程组得，， 则由根与系数的关系得，，，（*） 若满足，则，即， 整理得，， 又，，代入上式得，， 整理得，， 将（*）式代入得，， 又，解得， 故存在点使得恒成立. 63．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)如图，椭圆E：两焦点为，且经过点. (1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程； (2)经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），求证：直线与的斜率之和为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，，从而求得，进而可求解； （2）由题设知，直线的方程为（且），设，，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，求得斜率，把韦达公式代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意知，，由由解得. 所以，，则椭圆的方程为. （2）由题设知，直线的方程为（且）， 代入，得， 由已知，设，，. 则，， 从而直线与的斜率之和 故：直线与的斜率之和为定值2. 64．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆经过中的3个点. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，点关于轴的对称点为，点是的外接圆圆心，判断在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称性将和代入椭圆方程，解得，即可求解方程； （2）联立方程，韦达定理，求出弦长，分别表示出线段的垂直平分线与线段的垂直平分线，联立方程求得点坐标，从而探求为定值的条件即可. 【详解】（1）因为关于轴对称，所以这2个点在椭圆上，即①， 当在椭圆上时，②，由①②知，方程无解. 当在椭圆上时，③，由①③解得，. 又，所以，，所以椭圆的方程为. （2）设，，则. 联立，消去x得， 所以，， 所以， 由外接圆的定义知知点为线段，垂直平分线的交点， 又因为线段的垂直平分线为x轴， 线段的垂直平分线为， 令，得. 设，则， 所以当，即时，为定值， 所以在x轴上存在定点，使得为定值.    65．(23-24高二上·河南新乡·期中)已知椭圆的右焦点为，短轴长为2． (1)求的方程． (2)若为上的两个动点，两点的纵坐标的乘积大于，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程，求出，即可求出的方程. （2）由题意设出点坐标，联立方程，将转化为，结合韦达定理得到，即可求出直线过定点. 【详解】（1）依题意可得，解得，故的方程为. （2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， 设的坐标分别为， 则， 且． 设直线的倾斜角分别为， 因为，且两点的纵坐标的乘积大于0，所以， 所以，则，则， 即，所以， 所以，化简可得， 则直线的方程为，故直线过定点． 66．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为. (1)求的方程. (2)已知点是上不关于坐标轴对称的两点，且满足（表示斜率），判断直线是否过定点.若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）结合椭圆的性质及离心率公式求解即可. （2）设直线的方程为，联立其与椭圆方程可得，，代入可得，进而可求得结果. 【详解】（1）因为的中心在坐标原点，焦点在轴上， 所以设椭圆的方程为，半焦距为. 由题可得， 所以， 所以的方程为. （2）如图所示，    由题可设直线的方程为，， 联立，得， ， 则， 所以， 化简得， 所以， 即， 将代入得， 因为，所以， 所以直线的方程为，恒过定点. 67．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为： (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解； （2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为，则 由椭圆的定义及的周长为6，知①， 由于为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，得到轴距离最大为， 因为的面积的最大值为， 所以②， 又③， 联立①②③，得， 所以椭圆的方程为. （2）为定值，理由如下： 根据已知条件作出图形如图所示,      设，则， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点， 联立消去得：， ， 又，且， 所以，同理 所以. 所以为定值. 68．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由离心率，点在椭圆上列出等式求解即可； （2）由判别式求出直线的方程，即可求解； （3）设，将问题转化成，结合韦达定理即可求证. 【详解】（1）由题意可得解得 所以，椭圆的方程为． （2）设， 下证：切线的方程为； 直线的斜率存在，，设直线的方程为：， 与联立整理得：， 由已知得：， 化简得：． 因为，则，即，所以， 所以直线的方程为：，即，则， 故直线的方程为． 同理可得直线的方程为， 由点的坐标为，则， 则两点都在直线上， 由于两点确定一条直线，故直线的方程为； （3）设， 由题意易得直线的斜率存在，故可设为， 联立得， 由韦达定理可得， 联立得． 要证，即证， 等价于证明，所以只需证明， 化简可得， 将韦达定理及代入可得： ， 化简得， 即， 上式显然可以判断出是恒成立的． 故恒成立． 【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，， （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 69．(24-25高二上·河南南阳·期中)通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， (1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： (2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）是，2 【分析】（1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. 【详解】（1）由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； （2）（i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 试卷第64页，共65页 试卷第65页，共65页 学科网（北京）股份有限公司 $