04专题 圆的方程 （11大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

04专题 圆的方程及其应用 11大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 圆心、半径与圆的方程问题 考点03 求圆的方程问题 考点04 直线与圆的位置关系问题 考点05 圆与圆的位置关系问题 考点06 直线与圆相交的相关问题 考点07 两圆相交，公共弦问题 考点08 直线与圆相切问题 考点09 圆的轨迹方程问题 考点10 圆中的定值定点问题 考点11 直线与圆相关的最值范围问题 地 1 考点01 点与圆的位置关系 1．(24-25高二上·河南郑州·期中)已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 2．(24-25高二上·河南南阳·期中)若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 地 1 考点02 圆心、半径与圆的方程问题 3．(24-25高二上·河南焦作·期中)圆的半径为（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程计算半径即可. 【详解】将圆的方程化为标准形式为，其半径为. 故选：B 4．(23-24高二上·河南信阳·期中)若方程表示圆，则m的取值可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】AB 【分析】根据圆的标准式方程，即可列出不等关系求解. 【详解】将配方，得， 方程表示圆的充要条件为，即， 故选：AB. 5．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 解得. 圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 6．(24-25高二上·河南濮阳·期中)曲线的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论. 【详解】曲线 曲线的图像如图所示： 该图是以四个点为圆心，半径为的四个半圆，所以该图的周长为：. 故选：B 7．(24-25高二上·河南信阳·期中)曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对方程进行化简，得到，进而可知或，其表示的是两个同心圆,进而可求其周长. 【详解】由， 得， 即， 即或， 所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为， 所以曲线C的周长为． 故选：C. 8．(24-25高二上·河南信阳·期中)直线始终平分圆，则的最小值为（    ） A． B．20 C． D．5 【答案】B 【分析】求出圆的圆心，求出的关系等式，再借助二次函数求出最小值. 【详解】圆的圆心为， 由直线始终平分圆，得，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为20. 故选：B 9．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求解. 【详解】    由可得，， 所以曲线表示圆的部分， 因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称， 所以曲线与轴所围成区域的面积为， 故选:B. 10．(23-24高二上·河南洛阳·期中)若圆关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心在直线上，代入即可求解. 【详解】由圆关于直线对称， 即圆心在直线，可得，解得. 故答案为：. 地 1 考点03 求圆的方程问题 11．(24-25高二上·河南濮阳·期中)若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出以为直径的圆的方程即可. 【详解】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 12．(23-24高二上·河南洛阳·期中)若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆心坐标，由题意表示出圆的方程，将点代入方程求出a，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知圆心在第一象限，设圆心为，则圆的半径为， 圆的方程为， 由圆过点，得，解得或5， 当时，圆心为，到直线的距离为； 当时，圆心为，到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离为. 故选：A. 13．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆心和半径即可求出圆的标准方程. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为， 半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 14．(23-24高二上·河南焦作·期中)著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为的三个圆两两外切，同时又都与半径为的圆外切，则.已知，，若圆两两外切，且都与圆外切，其中圆的半径相等，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意结合两圆的位置关系可得，代入题中公式可得，进而可求圆心的坐标，即可得方程. 【详解】设圆的半径分别为， 由题意可得：，解得， 又因为， 即，解得， 由，可知点在线段的中垂线上，即y轴上，设， 由题意可得，解得， 即圆的圆心，半径，所以圆的方程为. 故答案为：. 15．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程； （2）利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】（1）由题可知，的半径为, 所以的标准方程为. （2）因为直线与相切于点，且, 所以，所以， 由点斜式得，，整理得，. 16．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即得. （2）求出线段的中垂线方程，求出直线的交点坐标，再求出圆的半径即可. 【详解】（1）由，解得，即， 显然轴，，点在轴上方，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，于是所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为.    17．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切. (1)若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式计算即可； （2）根据题意利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径， 设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为； （2）由题意可得， 解得， 所以圆C的标准方程为. 18．(24-25高二上·河南九师联盟·)设，圆的圆心在轴的正半轴上，且过中的三个点. (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分析法确认哪三个点，再利用求圆心和半径来写出圆的方程； （2）利用点满足的条件是另一个圆上的点，所以可知两个圆相交，即可求解参数. 【详解】（1）若圆经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线上，不符合圆在轴正半轴； 根据题意得圆只能过点A，B，D三点， 因为，所以的中点为，两点的斜率为， 利用互相垂直的两直线斜率之积为，可知两点的中垂线斜率为， 所以由点斜率式可得线段AB的垂直平分线的方程为， 整理得： 又因为，所以的中点为，两点的斜率不存在， 所以线段AD的垂直平分线的方程为 联立方程组解得 所以圆心为，即圆心到点的距离为半径，即半径为2， 所以圆的方程为 （2）设存在点，因为， 所以有， 化简得，所以， 且满足这个方程的点可以理解为一个圆上的点 ，而点又在圆上且有两个点， 所以这两个圆应该是相交， 此两圆的圆心分别为和，所以圆心距为， 而两圆的半径分别为和2， 则有， 解得. 19．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解. 【详解】（1）由点，得线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，即圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. （2）由（1）知，点， 当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 20．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求实数的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）设圆心，利用半径相等建立方程求出即可得解； （2）联立直线与圆，根据根与系数的关系及向量数量积为，即可得解. 【详解】（1）设圆心，由已知得， 从而有，解得． 于是圆的圆心，半径． 所以圆的方程为． （2）设， 联立直线与圆的方程，，消去， 得， 由解得， 所以， ， 所以 ， 解得或，满足， 故实数的值为0或． 地 1 考点04 直线与圆的位置关系问题 21．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，判断点与圆的位置关系即可得解. 【详解】由直线，得， 所以直线过定点， 因为，所以点在圆上， 所以直线与圆相交或相切． 故选：C 22．(23-24高二上·河南信阳·期中)已知直线l：与圆C：，点，则下列说法不正确的是（    ） A．若直线l与圆C相切，则 B．若，则直线l与圆C相离 C．若，则直线l与圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线l的距离，进而与半径作比较即可判断ABC；根据点A在直线l上，求得的值，进而将与半径作比较即可判断D. 【详解】由圆C：，则圆心，半径， 所以圆心到直线l的距离. 若直线l与圆C相切，则，解得，故A错误； 若，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若，则，所以，则直线l与圆C相交，故C正确； 若点在直线l上，则，即， 此时，则直线l与圆C相切，故D正确. 故选：A. 23．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)若直线与曲线恰有交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线过定点，曲线为半圆弧，数形结合求解直线斜率的范围即可. 【详解】直线过定点， 曲线方程变形得， 即曲线为以原点为圆心，为半径的右半圆弧， 过点与曲线相切的直线有两条， 设切线斜率为，则可设方程为， 即， 由直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得或， 由图可知，要使直线与曲线恰有交点， 由题意，直线斜率为，则. 故选：B. 24．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有直线过圆心时，最大，构造不等式，即可求解. 【详解】    结合图像易知对于给定的点，当直线过圆心时，最大，最小，此时有最大值，又，所以，所以，即，解得. 故选：B. 25．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．圆的半径为12 C．直线与圆恒有两个交点 D．圆心到直线距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】将直线方程变形为，令，即可求出直线过定点坐标，即可判断A，根据圆的方程判断半径，从而判断B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断C、D. 【详解】因为直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过定点，不妨设定点为，故A正确； 圆的方程为，则圆心，半径，故B错误； 因为，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点，故C正确； 当且仅当时，圆心到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD 26．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，找到圆心坐标和半径，然后通过利用圆的性质，将的最小值转化为的最小值，然后利用对称转化为到点关于直线的对称点的距离，再根据距离不等式求出结果. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆心，半径. 圆心在直线上方，且圆心到直线的距离， 所以圆在直线上方， 所以根据圆的性质，， 所以，当共线且依次顺序排列时取等号. 因为都满足不等式， 所以都在直线的上方. 设关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，，且， 解方程组， 由得，代入得：， 则，所以， 则，当共线并依次顺序排列时取等号， ， 所以的最小值为， 故答案为：. 27．(24-25高二上·河南焦作·期中)若实数a，b，c满足，则直线与圆有 个交点. 【答案】2 【分析】先求出直线恒过点，再探究点与圆的位置关系即可. 【详解】因为，所以，故直线恒过点 因为 ，所以点在圆内， 所以直线与圆有2个交点. 故答案为：2. 28．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知圆：（），这些圆的全体构成集合，则下列说法正确的是（    ） A．对任意正整数，圆必定经过点与 B．对任意正整数，直线必定与圆相交 C．存在直线，使得中与相切的圆有且仅有3个 D．存在直线，使得中与相交的圆有且仅有2023个 【答案】ABD 【分析】用代入法可得A正确；直线必过原点，而原点在已知圆内，故B正确；对C选项，可以分情况讨论，若直线的斜率为0或不存在时，切线的情况是不存在或只有一条；若斜率存在，可通过圆心到直线的距离公式判断解的个数.对D，通过研究圆与轴的交点，探索直线的存在性. 【详解】对A：因为，所以圆必经过点和.故A正确； 对B：因为，所以点在圆内，又直线过点，所以直线与圆必相交.故B正确； 对C：若直线斜率不存在，则与直线相切的圆只有一个或没有； 若直线斜率存在，设直线即, 直线与圆相切，故： ， 关于的方程最多2解，即最多有两个圆与直线相切。故C错误； 对D：圆与轴有两个交点，分别为和， 因为，所以且式子随的增大而增大， 取，则中与直线相交的圆有且仅有2023个.故D正确. 故选：ABD 地 1 考点05 圆与圆的位置关系问题 29．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 30．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)下列圆中与圆相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据圆心距与两圆的半径和、差关系，逐项判断即可得解. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为5． A选项，的圆心为，半径为2， 故，由于， 所以圆与内切，A正确； B选项，的圆心为，半径为1， 故，由于， 故圆与外切，B正确； C选项，的圆心为，半径为2， 故，由于， 故圆与不相切，C错误； D选项，的圆心为，半径为1， 故，由于， 故圆与不相切，D错误． 故选：AB 31．(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆相交，即可求出两圆的公切线的条数． 【详解】解：圆化为标准形式是， 圆心是，半径是； 圆化为标准形式是， 圆心是，半径是； 则， 两圆相交，公切线有2条． 故选：B. 32．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)圆与圆没有公共点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两圆位置关系求得参数范围，然后判断各选项． 【详解】由已知圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4， 两圆无公共点，则，解得或， 或者，解得， 综上或或， ACD满足， 故选：ACD． 33．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知点，若在直线上有唯一点满足，且有唯一点满足，则符合条件的有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据题设确定、的轨迹圆的方程，并判断两圆的位置关系，由题意直线是两圆的公切线，即可判断条数. 【详解】若，则在以为直径的圆上，对应方程为， 令，由题设有，整理得， 所以直线与圆、均有且只有一个交点，即直线与两圆都相切， 又两圆圆心距离为5，半径之和为7，故两圆相交，它们的公切线有2条， 所以符合条件的有2条. 故选：C 34．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知圆，圆，其中.若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆外切得到，变换为点与形成直线的斜率，根据直线和圆相切结合图像得到答案. 【详解】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率，    设直线方程为，即， 当直线与圆相切时，，解得或. 根据图像知： 故选：A. 35．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离. 【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即， 点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值， 又圆心到直线的距离. 故答案为： 36．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解. 【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为， 因为两圆外离， 所以圆心距满足，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 37．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知圆的圆心为直线和直线的交点，且圆过点. (1)求圆的方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】(1) (2)圆与圆相交. 【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解； （2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论. 【详解】（1）由，得，即圆心坐标为. ， 圆的方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径. 圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径. ， ， 圆与圆相交. 地 1 考点06 直线与圆相交的相关问题 38．(24-25高二上·河南濮阳·期中)已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【详解】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时不满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.对进行求解. 两边平方得，展开得. 解得或.   当时，直线的方程为，即. 当时，直线的方程为，即.   故选：A. 39．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 40．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知直线与圆交于两点，且点到直线的距离等于，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，解得即可. 【详解】圆即， 所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 因为点到直线的距离等于，所以， 即， 解得或. 故选：C 41．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 【详解】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 42．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过. (1)求圆E的方程； (2)直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆E的方程为，由求解； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用弦长公式求解. 【详解】（1）设圆E的方程为， 由题意知， 解得，，， 故圆E的方程为 ； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 设圆心到直线l的距离为d，则， 则，解得， 则直线l的方程为； 综上：直线l的方程为或. 43．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解； （2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由，得， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， ， 又点到直线的距离为， 所以的面积为.    44．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【详解】（1）直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 地 1 考点07 两圆相交，公共弦问题 45．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【详解】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程. 求圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以. 故选：B. 46．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)圆与圆的交点为、，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．两圆圆心距 C．线段中垂线的方程为 D．公共弦的长为 【答案】ABC 【分析】将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，可判断A选项；求出两圆圆心距，可判断B选项；利用等腰三角形的几何性质可判断C选项；利用勾股定理求出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以，公共弦所在直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 两圆圆心距为，B对； 对于C选项，连接、、、、，如下图所示： 因为，所以，线段的垂直平分线即为的底边的高所在的直线， 且直线的方程为，故线段的垂直平分线所在直线方程为，即，C对； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，，D错. 故选：ABC. 47．(24-25高二上·河南信阳·期中)已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是． 【答案】BCD 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】由题知，联立， 两式相减得， 即直线的方程为，A错； 联立， 解得或， 所以，B正确； 对于C，设， 因为，为圆的切点， 所以直线方程为， 直线的方程为， 又设， 所以， 故直线的方程为， 又因为， 所以， 由得， 即直线过定点，C正确； 因为， 所以当最小时，最小， 且最小为， 所以此时，D正确. 故选：BCD 48．(23-24高二上·河南洛阳·期中)已知圆心为的圆与圆心为的圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．四个点在同一个圆上 C．四边形的面积为. D．圆与圆围成的公共部分的面积为 【答案】ABD 【分析】直接两圆方程作差判断A；计算可判断B；求出四边形的面积判断C；求出圆与圆围成的公共部分的面积判断D. 【详解】对于A：将圆与圆的方程作差可得 ，即，A正确； 对于B：圆心为的圆，即，圆心，半径， 圆心为的圆，圆心，半径， 则， 所以 所以以及均为直角三角形，故四个点在同一个圆上，B正确； 对于C：四边形的面积为，C错误； 对于D：在中，，所以， 即， 在圆中，扇形的面积， ， 在圆中，扇形的面积， ， 所以圆与圆围成的公共部分的面积为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D解题关键是分别求出两圆的弓形面积，相加可得答案. 地 1 考点08 直线与圆相切问题 49．(24-25高二上·河南信阳·期中)若直线与圆只有一个公共点，则 . 【答案】 【分析】根据题意直线与圆相切，利用点到直线距离公式列方程，求解即可. 【详解】由题意，圆的半径，圆心到直线的距离为. 因为直线与圆只有一个公共点，所以，即， 解得，则，所以. 故答案为：. 50．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切， 则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：D 51．(24-25高二上·河南信阳·期中)已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形分析四边形面积的表达式，找出面积最小时图形满足的几何条件，再求出此时四边形面积即可. 【详解】如图所示，    由， 得圆C的圆心，半径. 因为， 所以四边形PACB的面积. 所以当最小时，S也最小，此时，. 则PC斜率为1，故PC的方程为，即. 联立，解得，， 即. 由于过圆外一点作圆的两条切线， 切点弦方程为， 所以直线AB的方程为， 化简得. 故答案选：A. 52．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为.若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心和半径以及切线性质可知为正三角形，即可得. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径，连接，如下图所示： 利用对称性由可知，又易知，所以可得， 即，又， 所以为正三角形，即可得； 故选：B 53．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)在平面直角坐标系Oxy中，圆的方程为.若直线上存在点，使过点作圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据两切线垂直，确定圆心到点的距离为，又点在直线上，有直线与圆有公共点，结合直线与圆位置关系即可求解. 【详解】圆的方程可化为，要使过点作圆的两条切线相互垂直， 则两个切点以及点、四点连线构成一个边长为的正方形， 圆心到点的距离为正方形对角线长，所以在圆上， 又点在直线上，所以直线与圆有公共点， 点到直线的距离小于等于，即，整理有：， 解得或. 故答案为： 54．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作图，根据圆的切线的性质，设，则，根据点在圆上求出的范围，进而得到的范围，最终得到的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径为1， 将圆化为， ，半径为2，， 点在圆上， ， 设与交于点，，，则， 在中，， 则. 故答案为：. 55．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)已知在中，，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【详解】（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 （2）圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 地 1 考点09 圆的轨迹方程问题 56．(23-24高二上·河南洛阳·期中)如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据题意，建立直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，结合圆的方程，即可求解. 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为轴，建立直角坐标系， 设圆心为，水面所在弦的端点为，则由已知可得， 再设圆的半径为，则圆心，即圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，即圆的方程为， 当水面下降1米后，可得， 代入圆的方程，可得，所以当水面下降1米后，水面宽度为米. 故选：D. 57．(23-24高二上·河南信阳·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆.现有，，.以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则（    ） A．点A的轨迹方程为 B．点A的轨迹是以为圆心，3为半径的圆 C．面积的最大值为12 D．当时，的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】根据平面直角坐标系写出,，由正弦定理可得，化简即可得的轨迹为，即A正确，B错误；当边上的高为圆的半径时的面积最大为，即C正确；由可求出，，可得的内切圆半径为，可得D正确. 【详解】易知，， 设，由利用正弦定理可得， 即，化简得（）， 即， 点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆（除去点和），故选项A正确，选项B错误. 当且仅当边上的高为圆的半径时的面积最大， 此时，选项C正确. 当时，可得，即，所以， 的内切圆半径为，选项D正确. 故选：ACD. 58．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若动点与两定点的距离之比为，则动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义列出方程化简即可得出圆的方程，求圆心得解. 【详解】依题意，设， 又动点与两定点的距离之比为， 即，所以，整理得， 即， 所以动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为． 故选：D 59．(24-25高二上·河南濮阳·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，则， 依题意，圆是由点，确定的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则， 整理得，而该圆的方程为， 则，解得，点的坐标为 ， 因此，当时，最小，最小值为， 所以当时，的值最小为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点 ，即可利用点到直线的距离求解. 60．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先确定出中点的轨迹为圆，根据题意构造点到直线的距离，则所求问题可转化为圆上动点到直线的距离，利用圆的几何性质即可得解. 【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2， 因为，所以． 设为的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点到直线的距离分别为， 所以，， 所以． 因为点到直线的距离为， 所以，即， 所以． 故答案为： 61．(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知点，圆，动点在圆上，为的中点，直线. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与轨迹交于不同的两点，，坐标原点为，当的面积为，且为钝角时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，，可得，结合点在上，可得解； （2）根据三角形面积及，可得，进而可得圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式可得解. 【详解】（1）设，， 由为的中点， 可得，即， 又点在上， 即， 即； （2） 由（1）可得， 则， 即， 又为钝角， 所以，及， 此时圆心到直线的距离， 又， 解得. 62．(23-24高二上·河南洛阳·期中)已知动点与两定点的距离之比为 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为1，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由. 【答案】(1) (2)线段的中点在定直线上. 【分析】（1）设点的坐标为，由题意知，代入点的坐标整理计算即可； （2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，求出点坐标，同理求出点的坐标，进而可求出中点坐标得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，由题意知， 即， 平方整理得， 即动点的轨迹的方程为. （2）设直线的方程为：，代入， 整理得， 因为点都在圆上， 所以，即， 此时. 因为直线与的斜率之积为1， 同理可得， . 设的中点为，此时，则. 故线段的中点在定直线上. 63．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知：，的圆心为，半径为2，且与外切. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线：，是否存在点，使得在上有且仅有3个点到的距离为1？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设出点的坐标，根据两圆外切可得，列式计算可得解； （2）由题意即圆心到直线的距离为1，由（1）圆心在上，可得解. 【详解】（1）设点，因为圆与圆外切，所以，即，化简得， 所以点的轨迹方程为. （2）由题意，圆上仅有三点到直线的距离为1，即圆心到直线的距离为1，如图圆心在上， 令，可得，令，可得， 综上，满足条件的点的坐标为，，.    地 1 考点10 圆中的定值定点问题 64．(23-24高二上·河南信阳·期中)已知圆C经过点，，且直线被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A、B的任意一点，直线与x轴交于点M，直线与y轴交于点N. (1)求圆C的方程； (2)探求是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由； (3)过点的动直线l与圆C交于不同的两点E，F.记线段的中点为R，则当直线l绕点D转动时，求动点R的轨迹长度. 【答案】(1) (2)为定值8 (3) 【分析】（1）根据的中垂线方程设出点坐标，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出圆心和半径，则圆的方程可求； （2）考虑直线的斜率是否存在，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时分别求解出的坐标，然后再计算的值； （3）先根据垂径定理以及直角三角形的性质求解出点坐标所满足的方程，然后再根据点位置特点确定出坐标满足的不等关系，由此求解出轨迹的长度. 【详解】（1）中点，点C在线段的中垂线即上， 故可设，圆C的半径为r， 直线被圆C所截得的弦长为，且， 到直线的距离， 由，得，， 圆心为，半径， 圆C的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，此时，与轴交于，与轴交于， ， ； 当直线的斜率存在时，如图，设，    直线的方程为，令得， 直线的方程为，令得， ， 故为定值8； （3）设的中点为Q，则， 因为线段的中点为，所以，即，所以， 设，则， 如图，设圆与的交点为G，H 联立，可得，，则，， 因为点在圆内， 所以点的轨迹方程为，， 因为，所以， 同理，所以， 所以，圆弧的长度为， 所以动点的轨迹长度为. . 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆、圆与圆的综合应用，其中涉及到圆的定值问题、圆中轨迹长度问题，难度较大.解答本题第二问的关键在于正确设出直线方程并表示出的坐标；解答本题第三问的关键是找到点满足的等量关系，同时在分析轨迹方程时注意坐标范围的限制. 65．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案； （2）由令与联立解方程组可得答案； （3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案． 【详解】（1）当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； （2）由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； （3）（方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 66．(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. (1)求直线被圆截得的弦长； (2)经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值； ②已知，若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）当到直线距离最大时，与垂直，可求出圆心的坐标，从而可以求出圆的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再由可得到弦长； （2）设直线的方程为，与圆的方程联立，可得到关于的一元二次方程，及根与系数关系．对于①，由代入根与系数关系可得到定值；对于②，可化为，代入根与系数关系即可求出，从而得到答案． 【详解】（1）由题意，设圆心， 当的坐标为，， ，， ，，即半径为3. 圆的标准方程为. 圆心到直线的距离为， 所求弦长为. （2）设直线的方程为，与圆的方程联立， 可得，显然，， ，. ①为定值； ② ， ,, 直线的方程为. 67．(24-25高二上·河南信阳·期中)在平面直角坐标系中， 圆为 的内切圆.其中. （1）求圆的方程及 点坐标； （2）在直线 上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点 的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）圆的圆心为，利用点到直线距离公式，求得半径，得到圆的方程，再由线段、线段均与圆相切，得到点； （2）假设存在为常数 )，设，几何关系坐标化，转化成恒成立问题，进而得到或，分别代入并进行检验，得到定点. 【详解】（1）由知直线的方程为， 由于圆与线段相切，所以半径即圆的方程为. 由题意与线段相切，所以线段的方程为，即. 又与线段也相切，所以线段的方程为，即. 故 （2）设，则，， 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数 )，等价于， 对圆上任意点恒成立. 即 整理得： 因为点在直线上，所以，由于在圆上，所以. 故对任意恒成立， 所以显然，所以故， 因为，解得：或； 当时，此时重合，舍去. 当时， 综上，存在满足条件的定点，此时. 【点睛】本题考查圆的方程、点到直线距离公式、直线与圆的位置关系等知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，特别是坐标法思想的灵活运用，即把几何问题转化为代数问题中的恒成立问题，从而得到方程组是解决本题的难点. 地 1 考点11 直线与圆相关的最值范围问题 68．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得圆，再根据点与圆心的距离可判断两圆相离，进而可得的取值范围. 【详解】设，由，则，故， 得圆，圆心为，半径为. 又点与圆心的距离为，由于过点总可以向以点为圆心的圆作两条切线，故两圆相离，所以，故的取值范围为． 故选：B 69．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为直线，可化为， 由，解得，所以l过定点， 又因为点在圆上，且， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时， 所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离； 当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0， 故点P到的距离的取值范围为. 故选：D. 70．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设关于的对称点为，求出点，则，故的最小值为即可得解. 【详解】    设关于的对称点为，则解得， 即，所以， 故的最小值为． 故选：C. 71．(24-25高二上·河南焦作·期中)在平面直角坐标系中，已知点，，，点是圆 上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点到直线的距离的最小值为 C．若经过点的直线与圆至少有一个公共点，则的倾斜角的取值范围是 D．的最小值为10 【答案】ACD 【分析】运用圆上的点有关的距离的特殊性、直线与圆的位置关系、直线的倾斜角和斜率知识逐个判定即可. 【详解】设点，由题知圆的圆心坐标为（0，－5），半径为. 对于A，要证，即证，即证，即证 ，因为点在圆上，所以， 即，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，①当直线的斜率不存在时，满足题目要求，此时倾斜角为， ②当直线的斜率存在时，设经过点的直线的方程为， 由题意知该直线与圆相切或相交，所以，解得或， 则或，可得，由①②可得，，故C正确； 对于D，显然点在圆外，点在圆内，由A知， 所以 ， 当N，P，H三点共线且点在线段上时，，故D正确. 故选：ACD. 72．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（    ） A． B．的值可以为 C．的最小值为 D．直线一定过坐标原点 【答案】AD 【分析】求出圆的圆心和半径，直线的方程，结合切线长定理、点到直线的距离公式逐项判断即可. 【详解】圆C：可化为， 其圆心，半径，直线，即，    对于A，，则，因此，A正确； 对于B，点到直线的距离，则，若， 即，解得，则， ，矛盾，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D，设点， 以线段为直径的圆， 即， 与圆的方程相减得直线：，此直线恒过原点，D正确. 故选：AD. 73．(23-24高二上·河南洛阳·期中)已知点，、为圆上的动点，且，若圆上存在点，使得，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】取中点为，连接，得到，由得到，再由、为圆上的两动点，且，得到，设，求出点的轨迹，再由点与圆位置关系，求出的取值范围，即可求出结果. 【详解】取中点为，连接， 则， 则， 又圆上存在点，使得， 所以， 因此，即， 因为、为圆上的两动点，且， 所以， 设，则， 即即为动点的轨迹方程， 所以表示圆上的点与定点之间的距离， 又因为，则点在圆外， 因此，即. 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值， 当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值， 即. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出点的轨迹方程，利用点与圆的位置关系求出的取值范围，即可转化为的取值范围即可. 74．(24-25高二上·河南九师联盟·)设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为 . 【答案】3 【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为，然后根据韦达定理求解. 【详解】设，由题得，即， 整理得，又， 所以，整理得， 由联立得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆的综合问题，关键是把轴是这句话转化为，进而利用韦达定理求解，在利用韦达定理的求解的过程中，运用了设而不求的思想. 75．(23-24高二上·河南南阳·期中)、分别是圆与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】作圆E关于的对称圆为圆G，根据三点共线时取得最小值，即可得解. 【详解】由题意知 如图，设圆E关于的对称圆为圆G，点Q与点关于轴对称. 则圆G的方程为 . 当且仅当三点共线时取得最小值. 此时. 所以的最小值为11. 故答案为：11. 76．(24-25高二上·河南濮阳·期中)在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. (1)已知点和点，直线：，求和. (2)已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】(1)，； (2)（i）内切；（ii）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【详解】（1），，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； （2）（i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 试卷第56页，共56页 试卷第55页，共56页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 04专题 圆的方程及其应用 ☆11大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 圆心、半径与圆的方程问题 考点03 求圆的方程问题 考点04直线与圆的位置关系问题 考点5圆与圆的位置关系问题 考点06 直线与圆相交的相关问题 考点07两圆相交，公共弦问题 考点8直线与圆相切问题 考点09 圆的轨迹方程问题 考点10圆中的定值定点问题 考点11直线与圆相关的最值范围问题 考点01 点与圆的位置关系 1.24-25高二上河南郑州期中)已知a,b是方程x2-V5x-2=0的两个不 :x2+y2=8的位置关系是() A.P在圆内 B.P在圆上 C.P在圆外 D.无 2.(24-25高二上河南南阳期中)若点(-2,6)在圆x2+y2+2ax-ay+5a 围是一 试卷第55页，共56页 让教与学更高效 等实数根，则点P(a,b)与圆C 法确定 =0的外部，则正实数a的取值范 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 圆心、半径与圆的方程问题 3.(24-25高二上河南焦作期中)圆x2+y2-4x+6y=0的半径为() A.5 B.V13 C.5 D.13 4.(23-24高二上河南信阳·期中)若方程x2+y2-2mx+m2-2m-1=0表示圆，则m的取值可以为() A.2 B.0 C. D.-2 5.(2425高二上河南商丘十校期中)已知圆x2+y2+4x-2ay+3a2-a十1=0的圆心在第二象限，则实 数a的取值范围为() A.(-1,) B.(-1,0] c.(0,) D.(-,1) 6.(24-25高二上河南濮阳期中)曲线x2+y2=4|x+4|y的周长为() A.4V2元 B.8V2T C.12m D.16π 7.(2425高二上河南信阳期中)曲线C:(x2+y2-1)2-8(x2+y2)+15=0的周长为() A.3v27 B.42π C.62m D.122π 8.(24-25高二上河南信阳期中直线：ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0,则 (a-2)2+(b-7)的最小值为() A.5 B.20 c.25 D.5 9.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)曲线y=V2-(x-1)2与x轴所围成区域的面积 为() A.罗 B.π C.2T D.4n 10.(23-24高二上河南洛阳期中)若圆x2+y2-mx-1=0关于直线x+3y-2=0对称，则 m 目目 考点03 求圆的方程问题 11.(24-25高二上·河南濮阳·期中)若圆C过P(1,4),Q(3,4)两点，则当圆C的半径最小时，圆C的标准 方程为() 试卷第56页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(x-2)2+(y-4)2=4 B.(x+2)2+(y+4)2=1 C.(x+2)2+(y+4)2=4 D.(x-2)2+(y-4)2=1 12.(23-24高二上河南洛阳·期中)若过点(1,2)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x-y-5=0的距离 为() A.9 B. c.2 D.2 13.(24-25高二上·河南南阳六校·期中己知A(-2,-5),B(0,1)两点，则以线段AB为直径的圆的标准方 程为】 14.(23-24高二上河南焦作期中)著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为r1”2rs的 三个圆两两外切，同时又都与半径为”4的圆外切，则 2(++本++宾+)=房+言+房+房已知01(2,0)，02(2,0)，03(0，)，若 圆010203两两外切，且都与圆04外切，其中圆0102的半径相等，则圆04的标准方程为 15.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知⊙M的圆心为(8,6)，且⊙M过点 A(4,3). (1)求⊙M的标准方程； (2)若直线1与⊙M相切于点A,求1的方程 16.(24-25高二上河南南阳六校期中)已知点A是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4与y轴的公共点，点B 是圆C上到x轴距离最大的点. (1)求直线AB的方程； (2)求经过A,B两点，且圆心在直线y=2x-5上的圆的标准方程， 17.(24-25高二上河南商丘十校期中)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)经过点A(-3,3), B(-1,1),且圆C与直线11：x+y+22+2=0,2:x+y-2W2+2=0均相切 (1)若经过圆心C的直线与1,2平行，求直线的方程； (2)求圆C的标准方程 18.24-25高二上河南九师联盟)设A1,V3)B(4,0)c-3,V3)D(1,-V3,圆Q的圆心在x轴的正半轴 上，且过A,B,C,D中的三个点 (1)求圆Q的方程： (2)若圆Q上存在两个不同的点P,使得PA2+PC2=21成立，求实数的取值范围 试卷第55页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(24-25高二上河南豫北名校期中联考期中)已知圆C过两点A3,2),B(1,4),且圆心C在直线 2x+y-10=0上 (1)求圆C的标准方程： (2)若过圆心C的直线1在x轴，y轴上的截距相等，求直线的方程 20.(23-24高二上·河南商丘二十校联考期中)在平面直角坐标系中，圆C过点A(3,0),B(1,2),且圆心C 在x+y-1=0上 (1)求圆C的方程； (2)直线x-y+m=0与圆C交于M,N两点，若OM.O示=-3(0为坐标原点)，求实数m的值. 考点04 直线与圆的位置关系问题 21.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中)直线1：x-my-2+4m=0与圆0：x2+y2-2x-4y=0的位 置关系为() A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相离 22.(23-24高二上河南信阳期中)已知直线：3x+ay-25=0与圆C:x2+y2=25,点A(3,a),则下 列说法不正确的是() A.若直线1与圆C相切，则a=4 B.若0<a<4,则直线1与圆C相离 C.若a>4,则直线1与圆C相交 D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相切 23.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划”.期中)若直线y-2=k(x-4)与曲线x=√4-y2恰有交点， 则实数k的取值范围是() A.[1,) B.[0,] c.[1,) D.[o,) 24.(2425高二上河南九师联盟)已知圆M:x2+(y-3)2=4,过x轴上的点P(xo0)作直线]与圆M交于 A,B两点，若存在直线1使得2PA=AB,则xo的取值范围为() A.[-6,6B.[-万，7 c.[-2V5,22 D.[-3,3] 25.(24-25高二上河南商丘十校期中已知直线1的方程为(m+n)x+(2m-n)y+3n=0(m,n∈R), 圆C的方程为(x-1)2+y2=12,则下列结论正确的是() A.直线1恒过定点(-2,1) B.圆C的半径为12 试卷第56页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.直线1与圆C恒有两个交点 D.圆心C到直线距离的最大值为√10 26.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”.期中已知圆C:x2+y2-6y+8=0,M是圆C上的 任意一点，P为直线1：x-y-1=0上任意一点，点Q(-2,1),则PM+PQ+1的最小值为 27.(24-25高二上河南焦作期中)若实数a,b,c满足2b=a+c(abc≠0)，则直线ax+by+c=0与 圆M:x2+y2+4y-1=0有个交点. 28.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)已知圆Ck:x2+(y-k)2=k2+1 (k∈N),这些圆的全体构成集合A={Ckk∈N},则下列说法正确的是() A.对任意正整数k,圆Ck必定经过点(1,0)与(-1,0) B.对任意正整数k,直线y=x必定与圆Ck相交 C.存在直线！，使得A中与相切的圆有且仅有3个 D.存在直线1，使得A中与1相交的圆有且仅有2023个 考点05 圆与圆的位置关系问题 29.(24-25高二上河南许昌部分学校期中)圆M:(x-1)2+y2=4与圆N:x2+y2+4x+2y=0的位 置关系为() A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 30.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中下列圆中与圆C:(x-2)+(y-2)=25相切的是() A.x+1)+y-22=4 B.(x+4)2+y-2)2=1 C.(x-3)2+(y-1)2=4 D.x+4)2+(y+4)2=1 31.(24-25高二上河南洛阳期中)已知圆C1:x2+y2+6x-7=0,圆C2:x2+y2-6y-27=0,则两圆 的公切线的条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 32.(24-25高二上河南豫北名校期中联考期中)圆C1:x2+(y-2)2-1与圆C2:(x-a)+y2=16没有公 共点，则a的值可能是() 试卷第55页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-5 B.月 c.器 D.器 33.(23-24高二上河南焦作·期中)已知点A(-3,0),B(3,0),若在直线1上有唯一点P满足PA⊥PB,且有 唯一点Q满足|QA=2QB|,则符合条件的1有() A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 34.(23-24高二上河南顶尖名校联盟期中)已知圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-a2+(y-b)2=4,其 中a,bER若两圆外切，则器的取值范围为() A.【90]B.【号，0] c.[0,9] D.[0,号] 35.(24-25高二上河南部分学校大联考期中)若圆C:(x-2)+(y-1)2=1关于直线ax+2by+2=0对称， 则点(a,b)与圆心C的距离的最小值是 36.(2425高二上河南许昌部分学校期中)已知圆C1:(x-a)2+y2=2与圆 C2:(x++(y-a)=a2(a>0)外离，则实数a的取值范围为 37.(24-25高二上河南部分学校大联考·期中已知圆C的圆心为直线y=2x和直线2x+y-4=0的交点， 且圆Cc过点(-1,1). (1)求圆C的方程： (2)若圆B的方程为x2+y2-4x+4y+3=0,判断圆B与圆C的位置关系 考点06 直线与圆相交的相关问题 38.(24-25高二上河南濮阳期中)已知直线经过点P(2,1),且与圆C:(x+1)2+(y-2)2-9相交于 A,B两点，若AB|=2,则直线的方程为() A.x-y-1=0或7x+y-15=0 B.x-2y=0或7x+y-15=0 C.4x+3y-11=0或3x+4y-10=0D.4x-3y-5=0或3x-4y-2=0 39.24-25高二上河南开封部分学校期中)已知直线mx+y-m+2=0与圆(x+2)2+y2=25交于A,B 两点，则AB的最小值为() A.4y5 B.2V3 c.4V5 D.25 40.(23-24高二上河南焦作期中)已知直线1：y=2x与圆C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)交于AB 试卷第56页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两点，且点C到直线的距离等于AB|,则a的值为() A.1 B.2V5+4 C.1或- D.2V5+4或2W5-4 41.(24-25高二上河南许昌部分学校期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 1:(2m+1)x+(m1+1)y-7m-4=0.则以下几个结论正确的有() A.直线1与圆C相交 B.圆C被y轴截得的弦长为2W6 C.点C到直线1的距离的最大值是V⑤ D.直线1被圆C截得的弦长最短时，直线1的方程为2x-y-5=0 42.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”期中已知圆E经过点A0,0),B(4,4),且与y轴相切， 直线1恒过Q(2,3 (1)求圆E的方程； (2)直线1与圆E相交于M,N两点，且MN=4V3时，求1的方程 43.(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知A(1,6),B(-4,7),C(0,1),△ABC的外接圆为圆M (1)求圆M的方程； (2)已知直线1：V3x-y+2V3=0与圆M交于E,F两点，求△AEF的面积 44.(2324高二上河南郑州十所级示范性高中期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2-25,直线 1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (1)求证：直线1恒过定点； (2)直线！被圆C截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长 考点07 两圆相交，公共弦问题 45.(24-25高二上河南驻马店环际大联考“逐梦计划°期中)若圆01：x2+y2+2x-3=0与圆 02:2+y2-2y-1=0交于A,B两点，则弦AB长为() A.V反 B.2V2 C.2 D.4 46.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划期中)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+4y-8=0的 交点为A、B,则() 试卷第55页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.公共弦AB所在直线的方程为X-y+1=0 B.两圆圆心距|C1C2=2V2 C.线段AB中垂线的方程为x+y=O D.公共弦AB的长为22 47.(24-25高二上河南信阳期中)已知圆0：x2+y2=4与圆C:x2+y2-2x+4y+4=0相交于A,B两 点，直线：x-2y+5=0,点P为直线1上一动点，过P作圆O的切线PM,PN,(M,N为切点)，则说法 正确的是() A.直线AB的方程为x-2y+4=0 B.线段AB的长为45 5 C.直线MN过定点(-，昌) D.PM的最小值是1. 48.(23-24高二上河南洛阳·期中)已知圆心为0的圆x2+y2-5=0与圆心为C的圆 x2+y2-4x-8y+5=0相交于AB两点，则下列说法正确的是() A.直线AB的方程为2x+4y-5=0 B.O,AC,B四个点在同一个圆上 C.四边形0ACB的面积为10√3 D.圆0与圆C围成的公共部分的面积为要元-5V3 考点08 直线与圆相切问题 49.(24-25高二上河南信阳期中)若直线x-ysin6+2=0与圆x2+(y-1)2=1只有一个公共点，则 tan= 50.(24-25高二上河南许昌部分学校期中)直线1过点P(2,1),且与圆x2+y2=1相切，则直线1的方程为 () A.3x+4y+2=0 B.4x-3y+5=0 C.4x+3y+5=0 D.4x-3y-5=0或y=1 51.(24-25高二上河南信阳期中)已知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,P为直线1：x+y+2=0上一点， 过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B,当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为() A.5x+5y+3=0 B.5x-5y+3=0 试卷第56页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.5x+5y-3=0 D.5x-5y-3=0 52.(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知圆C:x2+y2=1,过圆C外一点P作C的 两条切线，切点分别为AB.若∠APB=120°，则|AB|=() A.69 B.1 c.2 D.5 53.(24-25高二上河南商师联盟·期中)在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2+y2-8y+8=0.若直 线：kx-y-k=O上存在点P,使过点P作圆C的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 54.(2425高二上河南商丘十校期中)过圆M:x2+(y-2)2=1上的一个动点A作圆 C:x2+y2+6x+4y+9=0的两条切线，切点分别为P,Q,则PQ的取值范围为 55.(24-25高二上河南开封部分学校·期中)已知在△ABC中，A(2,1),B(2,3),C(6,1),记△ABC 的外接圆为圆M (1)求圆M的标准方程； (2)求过点A且与圆M相切的直线的方程 目 考点09 圆的轨迹方程问题 56.(23-24高二上河南洛阳期中)如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降 1米后，水面宽为() 2 --=----小 12 A.V19米 B.V51米 C.2y19米 D.2V51米 57.(23-24高二上·河南信阳·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两 定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆现有△ABC,BC=8, sinB=3sinC.以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy,则() A.点A的轨迹方程为x2+y2+10x+16=0(y≠0) B.点A的轨迹是以(5,0)为圆心，3为半径的圆 C.△ABC面积的最大值为12 D.当AB1BC时，△ABC的内切圆半径为4-2V2 试卷第55页，共56页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 58.(23-24高二上·河南商丘二十校联考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被 称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆 锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，已知动点M与两定点AB的距离之比为 1>0,入≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若动点M与两定点A(1,2),B(1,10)的距离之比为 专，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为(） A.(-1,0) B.(1,0) C.(-1,1) D.(1,1) 59.(24-25高二上·河南濮阳·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平 面内与两点距离的比为常数入（入≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点A(-7,0), B为直线1：2x+y+3=0上的动点，P为圆C:(x-2)2+y2=9上的动点，则川PA+3|PB|的最小值 为一 60.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中)已知M(xy1)N(x2y2)是圆C:(x-1)+(y-5)=4上 的两个不同的点，若MN=22,则x1y+|x2y的取值范围为 61.(24-25高二上河南洛阳期中)已知点A(4,0),圆C:(x+4)2+y2=4,动点P在圆C上，Q为PA的 中点，直线：y=kx+2 (1)求点Q的轨迹E的方程； (②若直线与轨迹B交于不同的两点S,了，坐标原点为0，当△0S7的面积为，且∠S0T为钝角时。 求k的值 62.(23-24高二上河南洛阳期中)已知动点E与两定点A(美号)，B(5,5)的距离之比为后 (1I)求动点E的轨迹C的方程； (2)过点P(2,2)作两条直线分别与轨迹C相交于M,N两点，若直线PM与PN的斜率之积为1，试问线段 MN的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由 63.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)已知⊙M:x2+(y-1)2=1,⊙N的圆心 为N,半径为2，且⊙N与⊙M外切 (1)求点N的轨迹方程； (2)设直线：y=-1,是否存在点N,使得在⊙N上有且仅有3个点到1的距离为1？若存在，求出所有满 足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由 试卷第56页，共56页