第三章 排列、组合与二项式定理 章末测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

第三章章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.将3个黑球、3个白球和1个红球排成一 排，各小球除颜色外其他属性均相同， 则相同颜色的小球不相邻的排法共有 A.14种 B.15种 C.16种 D.18种 2在x户的展开式中，的系数为() A.-5 B.5 C.-10 D.10 3.某中学为了发挥青年志愿者的模范带头作 用，利用周末开展青年志愿者进社区服务 活动.该校决定成立一个含有甲、乙两人 的4人青年志愿者社区服务团队，现把4 人分配到A和B两个社区去服务，若每 个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一 个社区，且甲、乙两人不同在一个社区的 分配方案种类有() A.4 B.8 C.10 D.12 4.从包含甲在内的5名学生中选出4名分别 参加数学、物理、化学、生物学科竞赛， 其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛 方案种数为() A.48 B.72 C.90 D.96 第三章章末测试卷。 末测试卷 满分：150分) 5.现有3双不同的鞋子，从中随机取出2 只，则取出的鞋都是左脚的概率是（) A.10 B. c3 D.5 6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达 国家常常把保持数学领先地位作为他们的 战略需求.现某大学为提高数学系学生的 数学素养，特开设了“古今数学思想” “世界数学通史”“几何原本”“什么是 数学”4门选修课程，要求数学系每位同 学每学年至多选3门，大一到大三3学年 必须将4门选修课程选完，则每位同学的 不同选修方式有() A.60种 B.78种 C.84种 D.144种 7.4名同学参加3个课外知识讲座，每名同 学必须且只能随机选择其中的一个，不同 的选法种数是( A.34 B.43 C.12 D.24 8.在2Vx 的展开式中，只有第7项 的二项式系数最大，则展开式的常数项是 A 8.号 C.-28 D.28 1 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.A,B,C,D,E,F六个人并排站在一 起，则下列说法正确的有() A.若A,B两人相邻，则有120种不同的 排法 B.若A,B不相邻，则有480种不同的 排法 C.若A在B左边（可以不相邻），则有 360种不同的排法 D.若A不站在最左边，B不站在最右边， 则有504种不同的排法 10.在士x°的展开式中，下列说法正确的 16 是() A.常数项是20 B.第4项的二项式系数最大 C.第3项是15x2 D.所有项的系数的和为0 1.在3x广的展开式中，各项系致和 与二项式系数和之和为128，则() A.二项式系数和为64 B.各项系数和为64 C.常数项为-135 D.常数项为135 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分 12.为保障高考期间道路通畅，4位交警需 要被安排到3个不同的路口执勤，每个 路口至少安排一人，总共有 种 不同的安排方法.（用数字作答） 2 13.已知(1+2x)"的展开式的二项式系数之和 为16，则各项系数之和为 ·(用 数字作答) 14.已知(x2-1)8-+ax+2x2+ax3+…+a16x16,则 a4十a5= 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤， 15.(13分)用1,2,3,4,5这五个数字 组成无重复数字的自然数 (1)在组成的三位数中，求所有偶数的 个数 (2)在组成的四位数中，求大于2000 的自然数的个数 (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶 数数字夹在两个奇数数字之间的自 然数的个数 16.(15分)将四个编号为1,2,3,4的相 同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒 子中。 (1)若每个盒子放一个小球，求有多少 种放法 (2)若每个盒子放一球，求恰有1个盒 子的号码与小球的号码相同的放法 种数 (3)求恰有一个空盒子的放法种数. 第三章章末测试卷。 7.(15分)在Vx+x 的展开式中， 前3项的二项式系数的和为22. (1)求n的值及展开式中二项式系数最 大的项， (2)求展开式中的有理项， (3 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 18.(17分）已知(1+2x)6=ao+a+a2x2+ax3+ 19.(17分)已知二项式(1-2x)”,若选条件 a44+asx3+a66. (填写序号) (1)求2的值 (1)求展开式中含x3的项， (2）求+2+a3+…+a6 (2）设（1-2x)”=o+ax+x2+…+ax”,求 (3）求a+a2+4+…+a6 展开式中奇次项的系数和。 请在： : ①只有第4项的二项式系数最大： ②第2项与第6项的二项式系数相等： ③所有二项式系数的和为64.这三 个条件中任选一个，补充在上面问 题中的线上，并完成解答， (4测试卷参考答案 >m第三章章末测试卷 1.D【解析】首先将黑球和白球排列好，再插人红 球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白 黑白”或“白黑白黑白黑”)，此时将红球插入6个球组 成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；情况2：黑球 或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白 黑”“黑白黑白白黑”“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑 白”)，此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4 种.综上所述，共有14+4=18种.故选D. 2A【解析】-士广展开式的通项公式为7 CC(-1x,取l,=C(-H2-5.系数 为-5.故选A 3.B【解析】分情况讨论：若A和B两个社区，一个 社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，则只需让甲 或乙单独去一个社区即可，共2×2=4种情况；若A和B 两个社区分别有两个志愿者，则共有Cx2=4种情况；因 此共4+4=8种不同的分配方案.故选B. 4D【解析】甲不参加生物竞赛，∴可安排甲参 加另外3科比赛或甲不参加任何比赛.当甲参加另外3 科比赛时，共有CA=72种参赛方案；当甲不参加任何 比赛时，共有A=24种参赛方案.综上所述，所有的参赛 方案有72+24=96种.故选D. 5.D【解析】现有3双不同的鞋子，从中随机取出 2只，基本事件总数n=C=15,取出的鞋都是左脚包含 的基本事件个数m=C=3,则取出的鞋都是左脚的概率 是P丹音行故选D 6.B【解析】由题意，可知三年修完4门课程，则 每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或 0,2,2.若是1,1,2，则先将4门学科分成三组，共 CCC种不同方式.再分配到三个学年共有A种不同分 A 配方式，由乘法原理可得共有CCC.A=36种.若是 A 0,1,3,则先将4门学科分成三组共CC种不同方式， 再分配到三个学年共有A种不同分配方式，由乘法原理 可得共有CCA=24种.若是0,2,2，则先将4门学科 参考答案。 分成三组共CC种不同方式，再分配到三个学年共有A A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有CCA=18种. A .每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种，故选B. 7.A【解析】根据题意，每位同学均有3种不同的 选择方案，.4名同学选择的方案共有34种不同的方案 故选A. 8.B【解析】展开式中，只有第7项的二项式系数 最大，可得展开式有13项，n=12,展开式的通项公式 为c受c-哈，若 为溶数项，则12号r0,9,得常数项为T-C~1以 分-20做连B 9.BCD【解析】若A,B两人相邻，需要将A,B 看成一个整体，与其他四人全排列，有AA=240种不同 的排法，故A错误；若A,B不相邻，先将其他4人排 成一排，排好后，有5个空位，将A,B安排在空位中， 有AA=480种不同的排法，故B正确；不考虑限制条 件，6人有A:720种不同的排法，其中A在B左边和A 在B右边的情况一样，则A在B左边的排法有号×720= 360种，故C正确；不考虑限制条件，6人有A=720种 不同的排法，A站在最左边的排法有A=120种，B站在 最右边的排法有A=120种，A站在最左边且B站在最右 边的排法有A=24种，则有720-120-120+24=504种不同 的排法，故D正确.故选BCD. 10BD【解桥】（°的展开式的通项公式为 I-c(-x)(-1c2 当2k-6=0,即k=3时，常数项为T41=(-1)Cx= -20,A错误； 由于n=6,故最大的二项式系数为C:20,是第4项 的二项式系数，B正确； 第3项是T2=(-1)2℃x2=15x2,C错误； 令xl,则}-x广=(1-1=0，放所有项的系数的 和为O,D正确.故选BD 99 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 山ABD【解析】3：广的展开式中，各项 系数和与二项式系数和之和为2"+2-128，'n=6,故二 项式系数和为26-64，各项系数和为2=2=64，故A,B 正确；展开式的通项公式为T=C(-1)3x6竞，令6-3 =0,求得r=4,故常数项为C32=135,故D正确，故选 ABD. 12.36【解析】将4位交警分成3组，有C=6种不 同的方法，将3组交警分配到3个不同的路口，有A= 6种不同的方法，·.共有6×6=36种不同的安排方法.故 答案为36. 13.81【解析】依题意，得216，即n=4,在(1+2x)4 中，令=1可得各项系数和为3-81.故答案为81. 14.28【解析】(x2-1)8的第(r+1）项为T,1= C8(x2)8+(-1y(0≤r≤8且r∈N), .x不存在，..a5=0.x4的系数为Cg(-1)6-28,.a4= 28,∴.a4+a=28.故答案为28 15.解：(1)根据题意，分两步进行分析： ①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况： ②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百 位、十位，有A=12种情况， 则有2x12=24个三位偶数 (2)根据题意，分两步进行分析： ①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2,3， 4,5,有4种情况； ②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百 位、十位、个位，有A=24种情况. 则有4x24=96个符合题意的四位数. (3)根据题意，分两步进行分析： ①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有AC=12 种情况； ②将这个整体与其他2个数字全排列，有A=6种情 况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种. 则有6-2=4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字 之间的情况 故有12x4=48个符合题意的五位数. 16.解：(1)A=24种. (2)先从四个球中选出一个与盒子号码相同有C种 方法，再把剩余的三个分别放人号码不同的盒子中有两 100 种方法，.有Cx2=8种 (3)先从四个盒子中选出一个空盒子有C种方法， 再把球分成2,1,1三组放人三个盒子中有CC.A种， 2 .有C.CC.A=144种. 2 17.解：(1)依题意，得C+C+C:=1+n+n(n-l) 22,即n2+n-42=0,得n=6或n=-7.n∈N+,n=6. :.展开式中二项式系数最大的项为第4项，即T4= cv川.o0 (2)展开式的通项公式为T=C2x子(=0,1，…， 6),依题3-子reZ,且re0,1,2,,6,解得0 或=4，.展开式中的有理项为x2和240. 18.解：(1)二项展开式的通项公式T4=C(2x)= C2x,令k=2,则a2=C22=60. (2)令=0，得a=1,再令x=1,得 +a1+a2++…+a6=729 .∴a1+a2+a+…+a6=729-1=728 (3)令=1，得a+a+a+++a=729,① 再令=-1，得a-ta-s++6=1.② 由①+2，得t,a,=365. 2 19.解：(1)选①，只有第4项的二项式系数最 大，则展开式中有7项，n=6. 选②，第2项与第6项的二项式系数相等，C!=C, .∴n=1+5=6. 选③，所有二项式系数的和为64,2-64，n=6. T4=C(-2x)'=(-2)yCx,=3,T=(-2)C8x=-160x (2)令x=1,得a+a+a+…+a=(-1)1, 令x=-1,得a-a+-…+a6=3=729, 相减，得2(a+a+a5)=-728,.∴.a+a+a=-364. 一"第四章章末测试卷 1.A【解析】设事件A为“合格品”，事件B 为“一级品”，则P(A)=90%,P(B1A)=20%,∴P(B)= P(AB)=P(A)P(BA)=90%×20%=18%,故选A. 2A【解析】由题得最多1人被感染的概率为C(专十 C号)（号广256256识.故选A 625625