4.3.1 第2课时 相关系数与非线性回归方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 15.A【解析】身高的平均数为 元=1674173+175+17+178+180+181-1231≈176，：点 7 (167,90)的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相 对过大，∴.去掉(167,90)后回归直线的纵截距变小而 斜率变大，故6<b2,a>a.故选A 16)解：南题r5空安024了8名 8 日×132=165，则可-3=16.5-3x4=45. (2)证明：样本点(2,11)，(6,22)分别记为 (,),(x0,y),则这10个样本点横坐标的平均数 1 1 70=（+x1o+∑)=。×(2+6+32)=4，纵坐标 1 的平均数了'=02700+y+月 1 70×(1+2+ 132)=16.5, .回归直线=x+m经过点(4,16.5) 第2课时相关系数与非线性回归方程 效果评价 1.A【解析】由相关系数与回归直线的斜率之间的 关系，可知相关系数的取值范围是(0,1].故选A. 2.B【解析】散点图中的点集中在一条曲线附近， 且曲线的形状与函数y=Vx的图象相似，故选B. 3.C【解析】由题知模型3的相关系数为0.945，其 绝对值最接近于1，拟合效果最好.故选C 4.A【解析】由y,得z与x的回归直线方程为 =bx+lna.由散点图可知z与x正相关，b>0.由散点图 可知直线z=bx+na的纵截距大于0，即lna>0,.∴.a心1.故 选A. 5.D【解析】y=e1的两边取自然对数得ny=1+at, 令u=lny,则u=l+a.云=(nyr+lnya+lnyg)x写-2，i-(+te+ x写2,2=-2a+1,解得7，=1+分，则y-e"哈 当t=7时，=e5故选D. 6.D【解析】由题图，可知D(10,2)距离其他点 较远，且其他点大致分布在一条直线附近，去掉点 D(10,2)后，x与y的线性相关性变强.I越接近于1， 94 线性相关性越强，.去掉点D(10,2)后，相关系数r的 绝对值变大，故A错误，B错误；去掉点D(I0,2)后， x与y的线性相关程度变强，∴残差平方和变小，x与y 的相关性变强，故C错误，D正确.故选D. 7.A【解析】由y0,得10y心，两边同 时取对数，得n(100y)=kx+c.由表中数据，可知元= 1+2+3+4+5-3,1n(100y)的平均数为 43436445451442对于A,由y0em 4 得ln(100y)=0.043x+4.291,将x=3代入，可得ln(100y） =0.043×3+4.291=4.42,与题中数据吻合，故A正确；对 于B,由)7d0e,得h(10y-0434291,将 x=3代入，可得n(100y)=0.043×3-4.291=-4.162≠4.42， 故B错误；对于C,由y=eo0441,得lny=0.043x+4.291, 而表中所给数据为ln(100y)的相关量，故C错误；对于 D,由y=em842,得ny=0.043x-4.291,而表中所给数据 为n(I00y)的相关量，故D错误.故选A. 8.CD【解析】对于A,回归直线方程=6x+a对应的 回归直线有可能不经过其样本点数据中的任意一个点， 故A不正确；对于B,回归直线方程为=1.1x-5,则当 x增大1个单位长度时，增大1.1个单位长度，故B不 正确；对于C,设两个变量x,y之间的线性相关系数为 r,则=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线 上，故C正确；对于D,在残差的散点图中，残差分布 的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好， 故D正确.故选CD. 9.AB【解析】x=2+3+4+5+6=4,万 5 15+4.5+5.5+6.5+7=5,.直线8=1.3x+a过点(4,5)， 可得a=5-1.3×4=0.2,由z=lny,y=ce“,得z=ln(cer)=kx+ nc,.k=1.3,lnc=-0.2,即c=e2.故选AB. 立6k-36-7 10.0【解析】相关系数r= Vx-30-r ∑(x-用0y- 与6= 一的分子相同，故0. (x- 11.正0.99【解析】由表中数据，得y随x的增 大而增大，“该人每次最多答对题数y与次数x之间是 ∑-7x) 正相关， V-7V- 600-7×4×19 68 17 V140-7x4xV2695-7x192V72V427x2.45 ≈0.99. 12.e0【解析】令z=lny,由题得=-a元=1+2+3+4 4 =号，346号，小号-0，解得a一-2，+ 4 2.将x=8代人上式，得z=10,y=e,预估第8个月 预制菜市场规模为eo万元 13.解：(1)由条形统计图，得元=写×(1+2+3+4+ 5)-3,了=5×(204+204298+396+482)=320， ∑，(x-=(1-3P+(2-3+(3-3P+(4-3)2+5 10,∑(x-30-列=(-2)x(-16)+(-1)×(-100)+0x(-22) 2司g-刀 +1×76+2×162=732. VΣ2-V 732 732 732 ≈0.98 V10xV5596020V1339 748 州接近1，∴y与x具有很强的线性相关关系. (-习(-刀 (2).6=i日 732=73.2,.=-6= 三an时 10 320-73.2×3=100.4,.∴=73.2x+100.4. 由题意，知2026年对应的年份代码为7，当x=7 时，=73.2x7+100.4=612.8, 故预测2026年该公司的研发人数约为613. 14.解：(1)由=cd,得lny=lnc+xlnd,令w=ny, 则w=lnc+xlnd,由题意，可得其相关系数 ∑(x-x)(u-） 76 -=0.95. 1V4000×1.6 参考答案。 由=a+bx2,u=x2,得=a+bu,由题意，可得其相关 8 (u-m(0-列 系数 6x105 ≈0.96. VΣu-mΣ- 1V3×10×1296 0.96>0.95,y与u的线性相关性较强，∴回归方程= a+bx2更合适. (2)由(1)可知=a+6x2更适合作为这个地区未成年 男性体重y与身高x的回归方程，令u=x2,则=+6u,则 u-m（g-0 6=引 七x10-0.002,i-6m=35.7-0.002x 立（4-可 18750=-1.8,.∴=0.002x2-1.8. (3)当x=170时，y=0.002×1702-1.8=56. 56×0.8=448,56×1.2=67.2,.该未成年男性的体 重应控制在[44.8,67.2]内. 提升练习 15.C【解析】由已知，可得x=346+7=5, 4 2+2.5+4.5+7=4,4=1.2x5+a,解得a=-2,=1.2x-2. 4 由z=lny,得lny=1.2x-2,y=e2-2=e2e2,则c=e2.故 选C. l6.e3【解析】对y=ce两边同时取对数，可得 Iny=In(ce*)=Inci+Ine*=cx+Inc,=cxx+Inc=0.3x+, 可得-03，ca角立-60. ∑n=120,可得x- 30,lny=z=6,代入=0.3x+a,可得a=-3,则lnc=i=-3, ∴.Ce3. 4.3.2独立性检验 效果评价 1.C【解析】X2=7.213>6.635,.有99%的把握认 为两个随机事件有关.故选C 2.C【解析】在犯错误的概率不超过0.01的前提 下认为这个结论是成立的，.有99%的把握认为“高血 压与肥胖有关”，只是该结论成立的可能性为99%，与 有多少个人患高血压无关，更谈不上概率，故A,B,D 不正确，C正确.故选C 3.B【解析】由表可知女生有21人，其中经常锻炼 95N 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时相关系 效果评价 1.若回归直线的斜率6∈(0，+∞)，则 相关系数r的取值范围是() A.(0,1] B.[-1,0) C.(0,+∞) D.无法确定 2.在一项调查中有两个变量x和y,如 图是由这两个变量近8年来的取值数据得到 的散点图，那么适宜作为y关于x的回归模 型的是( 580 360 540 520 500 03.84.04.24.44.64.85.05.2545.6x 第2题图 A.y=a+bx B.y=c+dVx C.y=m+nx2 D.y=p+9c*(q>0) 3.在建立两个变量y与x的回归模型 时，分别选取了4个不同的模型，模型1的 相关系数为0.88，模型2的相关系数为0.66， 模型3的相关系数为0.945，模型4的相关 系数为0.01，其中拟合效果最好的模型是 () A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 4.某科技公司为加强研发能力，研发费 用逐年增加，最近6年的研发费用y(单位： 72)练 数与非线性回归方程 亿元)与年份编号x的样本数据为(x,y) (i=1,2,3,4,5,6),令z,=lny,并将 (x,)绘制成如图所示的散点图.若用方程 y=aer对y与x的关系进行拟合，则() 1.5 1- 0.54 0 123456x 第4题图 A.>1,b>0 B.a>1,b<0 C.0ka<1,b>0 D.0ka<1,b<0 5.下表为某外来物种入侵某河流生态系 统后前3个月的繁殖数量y(单位：百只)的 数据，通过相关理论进行分析，可用模型y= e(a∈R)对y与t的关系进行拟合，则根 据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖 数量为( 第t个月 2 繁殖数量y(单位：百只) e22 e24 A.e3百只 B.e35百只 C.e4百只 D.e45百只 6.某兴趣小组研究光照时长x(单位： h)和向日葵种子发芽数量y(单位：颗)之 间的关系，采集到5组数据，作出如图所示 的散点图.若去掉点D(10,2)后，下列说 法正确的是（) y E(8,11) 82,6) ●C(3,5) A1.4 ·D(10,2) 0 第6题图 A.相关系数的绝对值变小 B.相关系数r的值不变 C.残差平方和变大 D.x与y的线性相关性变强 7.某企业推出了一款新食品，为了解该 食品中某种营养成分的含量x(g)与顾客的 满意率y的关系，通过调查研究发现可选择 函数模型)0e“来拟合y与x的关系， 根据以下数据可求得y关于x的回归方程为 营养成分含量xg 1 ln(100y) 4.344.364.444.45 4.51 A.=,e0a429 B. C.Y=e00434.291 D.Y=e043x-4291 8.(多选题)下列说法正确的是() A.回归直线方程y=bx+a对应的回归直 线至少经过其样本点数据中的一个点 B.若回归直线方程为y=1.1x-5,则当x 增大1个单位长度时，y增大1.1个单位长度 C.设两个变量x,y之间的线性相关系 第四章概率与统计。 数为r,则r=1的充要条件是成对数据构成 的点都在回归直线上 D.在残差的散点图中，残差分布的水 平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果 越好 9.(多选题)为了研究某种病毒在特定 环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些 数据，绘制成散点图，发现用模型y=cer拟 合比较合适.令z=lny,得到z=1.3x+a,经计 算发现x,z满足下表，则（ 2 3 5 6 1.5 4.5 5.5 6.5 7 A.c=e-02 B.k=1.3 C.c=e2 D.k=-1.3 10.若回归直线方程中的回归系数6=0， 则相关系数r= 11.为宣传环保知识，加强垃圾分类的 意识，某单位举行了环保知识问答竞赛，某 人很喜欢“挑战答题”模块，他记录了自己 连续七次每次最多答对的题数如下表. 第x次 1 4 5 6 7 每次最多答对 题数y 6 16 18 2124 27 参考数据：x=4,少=19， =l40,i 2695, ∑=600，V6=2.45,相关系数1 ∑(-0)0列 ∑依可 V2x√2oVaV 练 73 高中数学选择性必修第二册人教B版 由表中数据可知该人每次最多答对题数 y与次数x之间是 相关（填“正” 或“负”)，其相关系数≈ ·(保留 两位小数) 12.近几年预制菜市场快速增长.某城市 调查近4个月的预制菜市场规模y(万元) 得到如表所示的数据，根据数据得到y关于 时间代码x的非线性回归方程为=e. 2 3 e e 按照这样的速度，预估第8个月的预制 菜市场规模为 万元.（结果用e表示） 13.某公司为适应市场并增强市场竞争 力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新 能力持续提升，现对该公司2020~2024年的 研发人数作了相关统计，如图 2020~2024年公司的研发人数情况 (年份代码1~5分别对应2020-2024年)】 研发人数y 482 3 12345年份代码x 第13题图 (1)根据条形统计图中的数据，计算该 公司研发人数y与年份代码x的相关系数r, 并由此判断其相关性的强弱， (2)试求出y关于x的线性回归方程， 并预测2026年该公司的研发人数.（结果取 整数) (74)练 参考数据： (y-y)2=55960,V1399≈ 37.4. 参考公式：相关系数 立-06-刀 i= V2-V2- (x-x(y-习 回归直线方程的斜率6= 截距a= y-6x. 附： Irl [0,0.25] (0.25,0.75) [0.75,1] 相关性 弱 一般 强 14.某机构调查了本地区不同身高x (单位：cm)的未成年男性，得到他们的体 重y(单位：kg)的平均值，并对数据做了 初步处理，得到下面的散点图（如图）及一 些统计量的值. y o u 135 35.7 3.4 18750 2(w,-2 (u-02 4000 1.6 3×10 1296 含c6牙 8 2u西 u-r列 2375 76 6×105 (其中w=lny,u=x2) (1)根据散点图判断回归方程①=c, ②=a+bx2都可以作为这个地区未成年男性 体重y与身高x的回归方程.请结合相关系 数判断哪一个回归方程更合适？并说明理由 (2)根据(1)的判断结果及表中的数 据写出体重y与身高x的回归方程， (3)若体重超过相同身高男性体重的平 均值的1.2倍为偏胖，低于平均值的0.8为 偏瘦，现该地区有一名身高170cm的未成 年男性，根据(2)中的结果请你给出一个 合理建议，指出他的体重应该控制在多少千 克的范围内。 第四章概率与统计。 4体重ykg % 30 20 10 0 0100110120130140150160170身高xcm 第14题图 练(75 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 15.为研究某池塘中水生植物的覆盖面 积x(单位：dm)与水生植物的株数y(单 位：株)之间的相关关系，收集了4组数 据，用模型y=ce(c>0)去拟合x与y的关 系.设=lny,x与z的数据如下表所示，得 到x与z的回归直线方程为=1.2x+a,则c= 3 6 2 2.5 4.5 (76)练 A.-2 B.-1 C.e2 D.e- 16.害虫防控对于提高农作物产量具有 重要意义.已知某种害虫产卵数y(单位： 个)与温度x(单位：℃)有关，测得一组 数据(，y)(i=1,2,…,20),可用模 型y=ce进行拟合，利用z=lny变换得到的 回归直线方程为0,3x+i.若三=60， ∑nv20,则c1的值为