4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 4.3统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时相关关系与回归直线方程 盒)的数据如下表所示， 效果评价 月份x 1.若回归直线方程为y=2-1.5x,则变量 产量y历盒 x增加1个单位长度时() A.y平均增加1.5个单位长度 通过上面五组数据得到y关于x的回归 B.y平均增加2个单位长度 直线方程为y=0.7x+a,预测该制药厂今年7 C.y平均减少1.5个单位长度 月份甲胶囊的产量为() D.y平均减少2个单位长度 A.7.3万盒 B.7.8万盒 2.为了解某商品 C.8.3万盒 D.8.8万盒 250 的销售量y(件)与销 5.已知x,y之间的一组数据如下表 售价格x(元/件)的 150 100 T0090 所示 关系，统计了(x,y) 50 2 3 4 5 6 的10组数据，并画成 246810x 第2题图 3 4 6 8 9 散点图如图所示，则y 关于x的回归直线方程可能是( 则y关于x的回归直线方程是() A.=-10x-198B.y=-10x+198 A.y=x+1 B.y=2x-1 C.y=10x+198 D.=10x-198 cg-号 D产号41 3.具有线性相关关系的变量x,y的回 6.已知两个变量x和y之间具有线性相 归方程为y=2x,则下列选项正确的是(） 关关系，经调查得到如下样本数据 A.变量x与y是函数关系 3 4 5 6 7 B.变量x与y正相关 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3 C.当x=4时，y的预测值为2 根据表格中的数据求得回归直线方程为 D.若x增加1个单位长度，则y约减少 1个单位长度 y=bx+a,则下列说法中正确的是() 4.某同学在研究性学习中，收集到某制 A.a>0,b>0 B.a>0,6<0 药厂今年前5个月甲胶囊的产量（单位：万 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 68)练 第四章概率与统计。 7.由表中三个样本点通过最小二乘法计 10.某商品的广告费用x(万元)与销 算得到y关于x的回归直线方程为y=2x+ 售额y(万元)的统计数据如下表， 且当x=10时，=23，则2m-n=( 广告费用x万元 3 6 12 13 销售额y万元 28 31 41 m 27 25 n 根据表中数据可得回归直线方程为夕= A.6 B.-6 C.7 D.-7 5x+a,则预测当广告费用为8万元时，销售 8.(多选题)某公司为了增加某商品的 额为 万元 销售利润，调查了该商品投入的广告费用 11.某同学收集了具有线性相关关系的 x(万元)与销售利润y(万元)的统计数据 两个变量x,y的一组样本数据(x,y)(i= 如下表所示.由表中数据，得y关于x的回 1,2,…,10),经计算得到回归直线方程 0 10 归直线方程为=bx+a,则下列结论正确的是 为=-2x+a,且∑x=20, y=-25,则a= ( 广告费用x/万元 6 12.已知由一组样本数据确定的回归直 销售利润y万元 6 10 12 线方程为y=1.5x+1,且x=2,发现有两组数 A.6>0 据(2.2,2.9)与(1.8,5.1)的误差较大， 去掉这两组数据后，重新求得的回归直线的 B.a>0 斜率为1，那么当x=4时，y的估计值为 C.回归直线必过点(5,9)》 D.回归直线必过点(3,6) 13.为加强社区居民的垃圾分类意识， 9.(多选题)已知y关于x的回归直线 推动社区垃圾正确投放，某社区在健身广场 方程为y=0.7x+1.05,且变量x,y之间的一 举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分 组相关数据如下表所示，则下列说法正确的 类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动 是( ) 为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集 2 3 ·部分垃圾分类志愿者.某垃圾站的日垃圾 2.5 3 4.5 分拣量y(kg)与垃圾分类志愿者人数x的 m 数据统计如下 A.m=4 志愿者人数 B.回归直线必过点(3.5,3.5) x C.x与y正相关 日垃圾分拣量 25 30 40 45 60 D.当x=10时，y的估计值为9.05 y/kg 练 69 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 通过观察散点图，发现日垃圾分拣量 (1)试根据1至5月份的数据，建立y y(kg)与垃圾分类志愿者人数x具有线性 关于x的回归直线方程. 相关关系。 (2)若由回归直线方程得到的估计数据 (1)求y关于x的回归直线方程 与剩下的检验数据的误差不超过0.65，则认 (2)预测日垃圾分拣量为80kg时，需 为所得到的回归直线方程是理想的，试问 要的垃圾分类志愿者人数， (1)中所得到的回归直线方程是否理想， 6a-0 参考公式：6= -,a=y-c. 参考公式：在=6x+a中，6=il -,a=y 6元 5 5 参考数据： ∑x=392. ∑=502.5 i= 14.某科技公司研发了一项新产品A, 销售小组进行市场调研，对公司1月份至6 月份产品A的销售量及销售单价进行统计， 销售单价x(千元)和销售量y(千件)之 间的一组数据如下表所示 月份i 1 2 4 6 销售单价x/千元9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y千件 11 10 8 6 15 70)练 第四章概率与统计。 求得的线性回归方程为=3x+à.后为稳妥起 提升练习 见，研究小组又增加了2次试验，得到2个 15.某校为了解本校高一男生身高和体 偏差较小的样本点(2,11)，(6,22)，根 重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了 据这10个样本点重新求得线性回归方程为 7名男生，测量了他们的身高和体重统计得 y=nx+m 到下表. (1)求a的值. 身高x 167 173 175 177178 180 181 (单位：cm) (2)证明：回归直线y=x+m经过点 体重y (4,16.5). 90 54 59 64 (单位：kg) 6 72 76 由表格制作如图所示的散点图： ↑kg 100 90 70 60 ●●● 50 40 8 10 166168170172174176178180182x/cm 第15题图 由最小二乘法计算得到回归直线的方 程为=6x+a1;经过残差分析，点(167,90) 对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6 组数据计算得到回归直线l2的方程为y=62x+ a2,则下列选项正确的是() A.61<62,a>a B.61<62,a<a C.6>62,am<a2D.6>b2,a>a 16.已知两个变量y与x线性相关，某 研究小组为得到其具体的线性关系进行了 10次试验，得到10个样本点，研究小组去 掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8 个样本点(x,y）(i=1,2,3,…,8)满 足三=2，立=12，根据这8个样本点 练(71N 高中数学选择性必修第二册人教B版 E(E)=200x0.20+300×0.35+400x0.30+500x0.15=340(束).设 利润为m,则m=5ξ+1.6×(500-)-500x2.5=3.4花-450， ..E(m)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706（元）. 11.1.544【解析】X的取值分别为1,2,3,4.X= 1,表明此人第一次参加驾照考试就通过了，故P(X=1) =0.6.X=2,表明此人在第一次考试未通过，第二次通过 了，故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.X=3,表明此人在第 一、第二次考试未通过，第三次通过了，故P(X=3)= (1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.X=4,表明此人第一、第 二、第三次考试都未通过，故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7) ×(1-0.8)=0.024 ∴他一年内参加考试次数X的分布列如下表. X 1 2 3 4 0.6 0.28 0.096 0.024 .X的均值为E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024= 1.544. 12【解析】依题意，知专的所有可能值为 2,4,6,设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停 止的概率为号+兮广号若该轮结柬时比赛还将继 续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛 结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P=2)=5, Γ9 P4-音×g品P-6-号放EE2 9 +446x9-265 8181 13.解：()由已知，得小明中奖的概率为子，小 红中奖的概率为号，两人中奖与否互不影响，记“这2 人的累计得分X≤3”为事件A,则事件A的对立事件 为X=5”.P=)-号x号告4)1-A5 这两人的累计得分X≤3的概率为贵 11 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择 方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X,),选择方案乙 抽奖累计得分的数学期望为E(3X2). 由已知，得XrB2,子)，XB2,号)， 92 EX-2x号号EX)-2x号=号 E2X)-2EX,);,E3,=3EX)=号 :E(2X)>E(3X2),.他们都选择方案甲进行抽奖 时，累计得分的数学期望较大 14.解：(1)方法一：设“走L,路线至少遇到一次 红灯”为事作A,则PA)-Cx号x号+Cx号x写 +Cx号x兮”走L路线至少遇到一次红灯 的概率为26 7 方法二：设“走L,路线没有遇到红灯”为事件A, 则“走L路线至少遇到一次红灯”为事件A, 放4)--号11-号1号-写×写×写7 r面1-ril79 ·走L,路线至少遇到一次红灯的概率为26 27 (2)依题意，X的可能取值为0,1,2. P0X=0=1-子x1-号)0PX=0=×1-号 -×号-易2-子×号易 随机变量X的分布列如下表. X 0 1 2 P 1 9 9 10 20 8X000号x1+品2品 20 (3)设选择L路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y 服从二项分布，了-B3,号，BY)=3x号2EK, 3 .应选择L2路线 >4.3统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时相关关系与回归直线方程 效果评价 1.C【解析】回归直线方程为=-1.5x+2,回归直 线的斜率为-1.5，变量x增加1个单位长度时，y平均 减少1.5个单位长度.故选C 2.B【解析】设y关于x的回归直线方程为=6x+a, 则由题图知6<0，>0.故选B. 3.D【解析】变量x与y是相关关系，不是函数关 系，故A不正确；变量x与y负相关，故B不正确；当 x=4时，y的预测值为-2，故C不正确；若x增加1个 单位长度，则y约减少1个单位长度，故D正确.故 选D. 4.D【解析】由题知1+2+3+4+5=3，=5+5+6+6+8 5 =6,将其代入=0.7x+a中，得a=6-0.7×3=3.9,故y关于 x的回归直线方程为=0.7x+3.9,当x=7时，=0.7x7+ 3.9=8.8.故选D. 5.C【解析】由题得=2+345+6-4，了=3+4+6+8+9 5 6.经验证，可知=+1，-2-1，号，号+1 这四条直线巾过点(4,0的只有)令号放迹C 6.B【解析】由已知数据，可知y随着x的增大而 减小，则变量x和y负相关，6<0.=写×(3+4+5+6+ 7)-5,=写×3.5+24411-02-13)1.1,1.1=56+a,则 a=1.1-5b>0.故选B. 7.D【解析】当=10时，=23,23=20+，解得 看=3，即-2+3.7=2gB-25,275 3 3 52+n,52n-2x25+3,2m-n=-7.故选D. 3 3 3 8.ABC【解析】由表格数据，得元=3+4+6+7=5，= 4 6+8+10+129,回归直线必过点(5,9)，故C正确， D错误；6= (x-)0-） 6+1+1+6=1.4,则9=1.4× ∑x-x 4+1+1+4 5+a,解得a=2,故A,B正确.故选ABC. 9.ABC【解析】由题意，元=2+344+5-35，则= 4 参考答案。 0.7x3,5+1.05=35,又=25+3+m+4.5=10+m,10+m= 4 4 4 35,解得m=4,故A正确；回归直线必过点(3.5,3.5)， 故B正确；由回归直线方程为=0.7x+1.05,知x与y正 相关，故C正确；当x=10时，y=0.7×10+1.05=8.05,故 D错误.故选ABC 10.57【解析】由题意，知元=243+5+6=4，y 4 28+31+41+48=37,.37=5x4+a,解得=17，.预测当广 4 告费用为8万元时，销售额为5x8+17=57万元. 1号限1，新品2三 ,a=3+2x2 12.6【解析】x=2,=1.5×2+1=4.由题意，可知 去掉两组数据(2.2,2.9)和(1.8,5.1)后，x和y没变， 设重新求得的回归直线方程为=x+a,将(2,4)代人， 解得a=2,则=x+2,.当=4时，=4+2=6. 13.解：(1)由题意，知元=2+3+4+5+6=-4， 5 25+30+40+45+60-40, 0m=24x25-40 (3-4)×(30-40)+(4-4)×(40-40)+(5-4)×(45-40)+(6-4)× (60-40)=85, 立3-2-4-6444454 (6-4)2=10,6= ∑(x-)0-) 3-85,可-6饭-40- x-xP i=1 8.5×4=6.回归直线方程为=8.5x+6. (2)当y=80时，80=8.5x+6,解得x≈9. .需要的垃圾分类志愿者人数为9。 14.解：(1)元= 5×9+9.5+10+10.5+11)10,☑ 号x1+10+8+6+5)-8,6=200 502.5-5×102 =-3.2,∴.a=8- (-3.2)×10=40,y关于x的回归直线方程为=-3.2x+40. (2)当x=8时，=-3.2×8+40=14.4，则 -y=l14.4-15l=0.6<0.65, ∴.可以认为所得到的回归直线方程是理想的 93 高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 15.A【解析】身高的平均数为 元=1674173+175+17+178+180+181-1231≈176，：点 7 (167,90)的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相 对过大，∴.去掉(167,90)后回归直线的纵截距变小而 斜率变大，故6<b2,a>a.故选A 16)解：南题r5空安024了8名 8 日×132=165，则可-3=16.5-3x4=45. (2)证明：样本点(2,11)，(6,22)分别记为 (,),(x0,y),则这10个样本点横坐标的平均数 1 1 70=（+x1o+∑)=。×(2+6+32)=4，纵坐标 1 的平均数了'=02700+y+月 1 70×(1+2+ 132)=16.5, .回归直线=x+m经过点(4,16.5) 第2课时相关系数与非线性回归方程 效果评价 1.A【解析】由相关系数与回归直线的斜率之间的 关系，可知相关系数的取值范围是(0,1].故选A. 2.B【解析】散点图中的点集中在一条曲线附近， 且曲线的形状与函数y=Vx的图象相似，故选B. 3.C【解析】由题知模型3的相关系数为0.945，其 绝对值最接近于1，拟合效果最好.故选C 4.A【解析】由y,得z与x的回归直线方程为 =bx+lna.由散点图可知z与x正相关，b>0.由散点图 可知直线z=bx+na的纵截距大于0，即lna>0,.∴.a心1.故 选A. 5.D【解析】y=e1的两边取自然对数得ny=1+at, 令u=lny,则u=l+a.云=(nyr+lnya+lnyg)x写-2，i-(+te+ x写2,2=-2a+1,解得7，=1+分，则y-e"哈 当t=7时，=e5故选D. 6.D【解析】由题图，可知D(10,2)距离其他点 较远，且其他点大致分布在一条直线附近，去掉点 D(10,2)后，x与y的线性相关性变强.I越接近于1， 94 线性相关性越强，.去掉点D(10,2)后，相关系数r的 绝对值变大，故A错误，B错误；去掉点D(I0,2)后， x与y的线性相关程度变强，∴残差平方和变小，x与y 的相关性变强，故C错误，D正确.故选D. 7.A【解析】由y0,得10y心，两边同 时取对数，得n(100y)=kx+c.由表中数据，可知元= 1+2+3+4+5-3,1n(100y)的平均数为 43436445451442对于A,由y0em 4 得ln(100y)=0.043x+4.291,将x=3代入，可得ln(100y） =0.043×3+4.291=4.42,与题中数据吻合，故A正确；对 于B,由)7d0e,得h(10y-0434291,将 x=3代入，可得n(100y)=0.043×3-4.291=-4.162≠4.42， 故B错误；对于C,由y=eo0441,得lny=0.043x+4.291, 而表中所给数据为ln(100y)的相关量，故C错误；对于 D,由y=em842,得ny=0.043x-4.291,而表中所给数据 为n(I00y)的相关量，故D错误.故选A. 8.CD【解析】对于A,回归直线方程=6x+a对应的 回归直线有可能不经过其样本点数据中的任意一个点， 故A不正确；对于B,回归直线方程为=1.1x-5,则当 x增大1个单位长度时，增大1.1个单位长度，故B不 正确；对于C,设两个变量x,y之间的线性相关系数为 r,则=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线 上，故C正确；对于D,在残差的散点图中，残差分布 的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好， 故D正确.故选CD. 9.AB【解析】x=2+3+4+5+6=4,万 5 15+4.5+5.5+6.5+7=5,.直线8=1.3x+a过点(4,5)， 可得a=5-1.3×4=0.2,由z=lny,y=ce“,得z=ln(cer)=kx+ nc,.k=1.3,lnc=-0.2,即c=e2.故选AB. 立6k-36-7 10.0【解析】相关系数r= Vx-30-r ∑(x-用0y- 与6= 一的分子相同，故0. (x-