4.2.5 正态分布-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 4.2.5 效果评价 1.已知正态曲线对应的函数为p(x)= Le专，xeR,则，o的值分别是 V8 A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和V2 2.随机变量X1,X2的正态曲线如图所 示，已知X对应的参数为1，σ1，X2对应 的参数为2,02，则() 2 1. X的正态曲线 1.0 0.81 0.6 X,的正态曲线 0.4 0.2 -1.0-0.5 00.51.0x 第2题图 A.12,01<02 B.12,1>02 C.1>2,01<2 D.12,01>02 3.已知随机变量X~N(10,σ2)，且P(X< 11)=0.7,则P(10≤X<11)=() A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4.设随机变量X的正态曲线关于直线 x=5对称，若正态曲线与x轴在区间(5,9) 内所围面积为0.45，则正态曲线与x轴在区 间(1，+∞)内所围面积为() A.0.05 B.0.45 C.0.3 D.0.95 (56)练 正态分布 5.如图是甲、乙、丙 三种品牌手表日走时误 差分布的正态曲线，则 0Ou=0 下列说法不正确的是 第5题图 () A.三种品牌的手表日走时误差的均值 相等 B.P(-1≤X乙≤0)<P(0≤X丙≤1) C.三种品牌的手表日走时误差的方差 从小到大依次为甲、乙、丙 D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好 6.为了检测自动包装线生产的罐装咖 啡，检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈ N)罐咖啡，并测量其质量（单位：g）)·由 于存在各种不可控制的因素，因此任意抽取 的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定 的误差，已知这条包装线在正常状态下，每 罐咖啡的质量服从正态分布N(,σ2)·假 设生产状态正常，记X表示每天抽取的k罐 咖啡中质量在(u-3σ，+3σ)之外的罐数， 若X的数学期望E(X)>0.030,则k的最小 值为() 附：若随机变量Y~N(u,σ2)，则P(u-3σ<Y< +3σ）≈0.997 A.10 B.11C.12D.13 7.我们将服从二项分布的随机变量称为 二项随机变量，服从正态分布的随机变量称 为正态随机变量.概率论中有一个重要的结 论：若随机变量Y~B(n,p),当n充分大 时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X 来近似地替代，且正态随机变量X的期望和 方差与二项随机变量Y的期望和方差相同. 法国数学家棣莫弗在1733年证明了p=)时 这个结论是成立的，法国数学家、物理学家 拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意 的实数p∈(0,1]都成立，因此人们把这个 结论称为棣莫弗-拉普拉斯极限定理.现抛掷 一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分 布估算硬币正面向上次数不少于1200次的 概率为() 附：若X~N(u,2),则P(u-o≤X≤+o）≈ 0.683,P(u-2σ≤X≤u+2σ)≈0.954，P(u-3o≤ X≤u+3o）≈0.997. A.0.954 B.0.977 C.0.841 D.0.658 8.(多选题)若随机变量X~N(1,σ)， Y~N(w2,σ)，X,Y Y的正 态曲线 的正态曲线如图所示， X的正 态曲线 则() A.2 07 B.σ1<02 第8题图 C.P(X≤+σ1)<P(Y≤2+O2) D.P(X≤+o2)<P(Y≤2+o1) 9.(多选题)数学家棣莫弗发现，如果 随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当 n比较大时，X近似服从正态分布N(u,σ)， 其概率密度函数为9)=1e等，xE V2To R.如果XN(u,σ2)，那么令Z=X业，则Z r N(0,1).当Z~W(0,1)时，对任意实数 x,记①(x)=P(Z<x),则（) A(x)+p(-)=号 第四章概率与统计。 B.当x>0时，P(-x≤ZKx)=2Φ(x)-1 C.若随机变量X~N(u,σ2)，则当u减 小，σ增大时，概率P(X-l<σ）保持不变 D.若随机变量X~N(u,σ)，则当4，σ 都增大时，概率P(X-<σ)增大 10.某校高二年级男生的身高X(单位： cm)服从正态分布N(165,52),现随机选 择一名本校高二年级男生，则P(170<X≤175) ≈ 附：P(u-≤X≤u+o）≈0.683，P(u-2σ≤X≤ u+2g）≈0.954 11.已知随机变量X~N(2,22),Y=aX+b, 若Y~N(0,1),则a,b的值分别为 12.某俱乐部计划招收一批9~14岁的青 少年参加集训，以选拔运动员，共有10000 名青少年报名参加测试，其测试成绩X(满 分100分)服从正态分布N(60,σ2)，成绩 为90分及以上者可以进入集训队，已知80 分及以上的人数为230，则估计进入集训队 的人数为」 附：若Y~N(,σ2)，则P(-o<Y+o)≈ 0.683,P(u-2σ<Y4+2o）≈0.954，P(u-3σ<Y4+ 3σ)≈0.997. 13.某制造商生产的5000根金属棒的长 度X近似服从正态分布N(6,σ)，其中恰 有114根金属棒的长度不小于6.04. (1)求σ. (2)如果允许制造商生产这种金属棒的 长度范围是(5.95,6.05)，那么估计这批金 属棒中不合格的金属棒有多少根？ 附：可供查阅的（部分）标准正态分布表 Φ(Z). 练 57 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Φ(Z) 0.8643 0.88490.90320.91920.9332 Z 1.6 1.7 1.8 1.9 Φ(Z) 0.94520.95540.96410.9713 Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Φ(Z) 0.97720.98210.98610.98930.9918 Z 2.5 2.6 2.7 2.8 Φ(Z) 0.9938 0.99530.99650.9974 58)练 14.李明上学有时坐公交车，有时骑自 行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车 所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平 均用时30min,样本方差为36；骑自行车 平均用时34min,样本方差为4.假设坐公 交车用时为随机变量X，骑自行车用时为随 机变量Y,且随机变量X和随机变量Y对 应的曲线都为正态曲线，如图所示. Y的正态曲线 X的正 态曲线 26303438 第14题图 (1)估计随机变量X,Y的样本均值和 标准差。 (2)如果某天有38min可用，李明应 选择哪种交通工具？如果某天只有34min可 用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由. 提升练习 15.(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平 致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广， 发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出 “两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技 术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和 世界粮食供给做出杰出贡献.某水稻种植研 究所调查某地水稻的株高，得出株高（单 位：cm)的正态曲线对应的函数为p(x)= ,1e,x∈(-0，+0)，则下列说 10V2π 法正确的是() A.该地水稻的平均株高为100cm 第四章概率与统计。 B.该地水稻株高的方差为10 C.该地水稻株高在120cm以上的数量 和株高在80cm以下的数量一样多 D.随机测量一株水稻，其株高（单位： cm)在(80,90)和在(100,110)的可能 性一样大 16.在某次大型人才招聘活动中，共有 2000人参加笔试，笔试成绩位于区间 [70,80),[80,90),[90,1001的人数 分别为682,272,46，已知此次笔试满分为 100分，且成绩服从正态分布，则笔试成绩 的标准差约为 参考数据：若X~N(μ，o),则P(u-2o≤X≤ u+2σ)≈0.954. 练（5912.号25【解析】记成功次数为X,则X-810,p), D0K)=10p1p）≤10t-25,当且仅当p-1p, 即p=时，等号成立，故当p=弓时，成功次数的方差 最大，其最大值为25. 13.解：由题得E(X1)=0x0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04 0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,D(X1)= (0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2× 0.04=0.6064,D(X2)=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+ (2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.1=0.9264. E(X1)=E(X2),D(X)<D(X2),两台机床加工零 件的次品数的均值相同，A机床加工零件的次品数的方 差较小，数据更稳定，故A机床的质量比较好。 14.解：(1)由已知，得X的取值范围为0,1,2， Y的取值范围为{0,1,2}，则=X-Y的取值范围为 {-2,-1,0,1,2}, p6=-2-cx兮x号xcx兮x号 P=-1-cx号)x号xCx兮'x号)'+Cx 号号xxx号”景。 P6=-0-cx号x3xcx3x号Cx号x 号xx号×号4Cx号x号xcxx号 Pr1C号x}xcx号×号4cx号x (兮c号器 P2)-Cx号x号xCx3x号-9， 专的分布列如下表 -2 -1 0 2 32 16 8 87 8 87 故EG=(-2(-1x号+x+2x号 81 813 (2)由题意，随机变量服从两点分布，不妨设 参考答案⊙ P(n=1)=P,则P(7=0)=1-P 当a1时，P=号x号-专，则D-A(1-A-音× 多-引：当n2时.P=2x号××+号x刘号 (号2x兮×号-.则DA1-A)9×号8 故D(m)>D(2). 提升练习 15.C【解折】由题意，可得ab子，则b号a, 0c号.BX0-lx兮+0a+1x-b号号a,Ey)= -la0xb+1x号=号a,则D(X)-=3x-1+n-号+ a0号号xa号-*a-专ae3 号axa*号-r-+g,ny)-a-1+a号+ 号-ax0w+3×1*a号=alo号+号n× @写+3×a+号广+叶号X,y是两个相互 独立的随机变量，D(X+Y)=DX)+D(Y)=-2号a+9 ~函数y=-2+号+9的图象开口向下，且对称轴为直 线分函数)-2+号+9在0.方上单洞递增， 在（分，子）上单调递减，因此随者a的增大，D(X+V) 先增大后减小.故选C. 16.0.7【解析】由题意，知X~B(10,p).D(X)= 10p(1-p)=2.1, 21.P(X=3)<P(X-7).cip(p)Csp(-p). 解得 p=0.7. 4.2.5正态分布 效果评价 1.B【解析】p(x)=,e景=，1e毁，故u= V8元V2m2 0,U=2 2.A【解析】由两条正态曲线的对称轴的位置可知 2,又正态曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中，σ 越小，.01<02.故选A 87 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.B【解析】由题可得P(10≤X<11)=P(X<11)- P(X<10)=0.7-0.5=0.2.故选B. 4.D【解析】由正态曲线的对称性，可得正态曲线 与x轴在区间[9，+)内所围面积为0.05，∴正态曲 线与x轴在区间(-∞，1]内所围面积为0.05，故正态 曲线与x轴在区间(1，+∞)内所围面积为0.95.故 选D. 5.B【解析】由题图，得三种品牌的手表日走时误 差的正态曲线的对称轴都是y轴，.三种品牌的手表日 走时误差的均值相等，A中说法正确；P(-1≤Xz≤ O)>P(0≤X网≤1)，B中说法不正确；：正态曲线越 “瘦”，0越小，甲<0z<0网，三种品牌的手表日走时 误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，.C中说法正 确；由0甲<0z<0网，以仰=zu网，可得甲品牌手表的质量 最好，D中说法正确.故选B. 6.B【解析】P(-3σ<Y+3w)≈0.997，∴.10.997= 0.003,故X-B(k,0.003),E(X)=0.003k>0.030,解得 k>10,keN,所以k的最小值为11.故选B. 7.B【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次， 设硬币正面向上的次数为X,则X-B2500,之)， EX)=p=250x7-1250,D(X0=m1-p)-250x7× (1-7)=625.由题得X-Nu,),且=E(X)=l250, 2=D(X)=625=252,Pu-2o≤X≤u+2o)≈0.954，即 P(1250-2x25≤X≤1250+2×25)≈0.954，.利用正态分 布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为 P(X≥1200)=PX≥1250-2x25)≈0.954+0.5=0.977.故 2 选B 8.AD【解析】由题图，知E(X)<E(Y),D(X)> D(Y),即山<，>2，故A正确，B错误；P(X≤+ n)+3Au≤X.PVto)子Pk 02≤Y≤2+02)，而P(1-01≤X≤1+01)=P2-02≤Y≤ +2),则P(X≤1+)=P(Y≤2+o2),故C错误；由 12,0>02,得u+02+01,+22+1,因此P(X≤ 1+o2)<P(X≤+1)=P(Y≤2+o2)<P(Y≤+1)，故D 正确.故选AD. 9.BC【解析】对于A,根据正态曲线的对称性，可 得(-x)=P(Z<-x)=P(Z≥x)=1-P(Z<x)=1-Φ(x),即 88 (x)+(-x)=1,故A不正确；对于B,当x>0时， P(-x≤Z<x)=1-P(Z≤-x)-P(Z≥x)=1-2P(Z≥x)=1-2[1- P(Z<x)]=2(x)-1,故B正确；对于C,D,易知X的 数值分布在(-o,u+o)的概率是常数，故由P(LXuk σ)=Pu-<X<0+w)可知，C正确，D错误.故选BC. 10.0.1355【解析】X-N165,52),=165,=5, :P170<X≤175)=Pu-2a≤X≤+2o)-Pu-g≤X≤+w) 2 ≈0.954-0.683-0.1355. 2 1宁-或宁，1懈标】~随机变量XN2,2. .∴E(X)=2,D(X)=22=4,.'E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=2a+ b-0,DY)=D+b)-D(X)=4rl,a=子，b=-l或 =号，l 12.15【解析】由X~N(60,σ2)，可知=60.80 分及以上的人数为230PX≥800002830，由正 态曲线的对称性，可得P(40<X<80)=1-2P(X≥80)= 0.954≈P-2o<X+20),得=10，∴P(30<X<90)≈ 0.997,则PX≥90)≈1-0,997=0.0015，则估计进人集训 2 队的人数为10000x0.0015=15. 1.解：)PX604)写05-28，< 604)209772,令Z-6,则p6<004=P2k0.04E 0972.则004-0972.004-2，放-002 (2)由题得P595<X605)-P-25<品25) 2Φ(2.5)-1≈2x0.9938-1=0.9876,故估计不合格的金属 棒有5000x(1-0.9876)=62根. 14.解：(1)随机变量X的样本均值为30，标准差 为6：随机变量Y的样本均值为34，标准差为2. (2)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工 具.由题图，可知随机变量X的正态曲线与x轴在区间 (-∞，38]内所围面积小于随机变量Y的正态曲线与x 轴在区间(-∞，38]内所围面积，随机变量X的正态曲 线与x轴在区间(-∞，34]内所围面积大于随机变量Y 的正态曲线与x轴在区间(-∞，34]内所围面积，即 P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34)，.如果有 38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑 自行车；如果只有34min可用，那么坐公交车不迟到的 概率大，应选择坐公交车。 提升练习 15.AC【解析】由p(x)=,。1一e0,可得u 10V2m 100,σ=10，即均值为100，标准差为10，方差为100， 故A正确，B错误；根据正态曲线的对称性可知C正 确，D错误.故选AC. 16.10【解析】设笔试成绩为X,则X~Nu,σ2)， 由70分及以上的人数为682+272+46=1000，得P(X≥ 70)=1000=1=P(X≥)，故u的值为70.P(X>u+2加)= Γ20002 1--20X≤202=023，面PrX=90)-200 2 0.023,故u+2g=90,故=+20)L_90-70=10. "阶段性练习卷（五） 1.C【解析】由分布列性质，可知a+b=号，而a b≥o-g,当且仅当-b}时取等号.故选C 4 2.A【解析】设随机变量X表示取出次品的件数， 则PX=0)=CC=2头.故选A. C1535 3.A【解析】CA=3x3x2x1=18.故选A. 4.D【解析】设这名学生在途中遇到红灯的次数为 X,则X-5,号 PX=k)-C(3(号，0.1,2.3,4,5 至少遇到-次红灯的概率为PX≥11-PX0)=1-(号广 架放选D 5.C【解析】设语文课本有n(n≥2)本，则数学课 本有(7-)本.则2本都是语文课本的概率为CC C 号，由组合数公式，得-12-0，解得=4(=-3舍 去)·故选C 6.C【解析】P(-3o≤专≤u+3o)≈0.997，∴.不属 于区间(u-3o,u+30)内的零件个数约为1000x(1- 参考答案。 0.997)=3.故选C. 7.ABD【解析】A,B显然满足独立重复试验的条 件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是 直到摸出白球为止，也就是说，前面摸出的一定是红球， 最后一次是白球，不符合二项分布的定义.D显然满足 超几何分布的条件.故选ABD. 8.ACD【解析】正态曲线在(-∞，80)上是增函 数，在(80，+∞)上为减函数，∴.正态曲线关于直线= 80对称，=80.P(72<X≤88)=0.683，结合Pu-<X≤ u+)≈0.683，可知σ=8.P(u-2o<X≤u+2o）≈0.954. 故选ACD. 9号或号【解折P(X=2)=Cp2(1-p)P=》,即 pp寺子号号引解得号或=子 10.号0.954【解析】~标准正态曲线的对称轴为 -0,P5≤0-Pg0=3 而P(-2<E<2)=P(-2w<E+2w）≈0.954. 11.0.954【解析】由题知u=10000,=400,.P9200< X≤10800)=P(10000-2×400<X≤10000+2×400)≈0.954. 12.(1)0.44(2)0.19【解析】由题意，甲向目 标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射 击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项 分布. (1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是 C3×0.72×(1-0.7)≈0.44. (2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中 2次的概率是[C×0.7×(1-0.7)]×[C×0.6×(1-0.6)]≈ 0.19. 13.解：(1)专的所有可能取值是0,1,2. n0=答7r1)器-寺P-2图- 号故专的分布列如下表 0 1 2 1 4 2 7 7 7 (2)数学期望是EE)-0x号+1x号+2x号-号， 方差为DG)=0x写+1-x号+2-× 89