4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

PrX2)答-合-号，PX=3答0则X的分布 列如下表 X 1 2 3 P 3 3 BX0-0x1+号2+0x3-=号 5 11.3【解析】抽到次品的个数专服从参数为15,3， 2的超几何分布，则E-得号，放E(+)-5E+ 1=3. 12.0.380.9【解析】第一次烧制后恰有一件工艺 品合格的概率P-0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1- 0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4-0.38.经过两次烧制后，甲 乙、丙三件工艺品合格的概率分别为P=0.5×0.6=0.3, P2=0.6×0.5=0.3,P3=0.4×0.75=0.3,.随机变量X~ B(3,0.3),故E(X)=3x0.3=0.9. 提升练习 13.解：(1)由频率分布直方图，可知数学成绩落 在区间[70,110)内的频率为(0.004+0.012+0.019+ 0.030)×10=0.65 .数学成绩落在区间[110,140]内的频率为 1-0.65=0.35. 数学成绩落在区间[110,120)，[120,130)， [130,140]内的频率之比为4：2：1，.数学成绩落在区 间[10.120)内的频率为42035-02.：数学成 绩落在区间[70,100)内的频率为(0.004+0.012+0.019) ×10=0.35,.中位数落在区间[100,110)内，设中位 数为x,则(x-100)×0.030=0.5-0.35,解得x=105,所以 估计抽取的这100名学生数学成绩的中位数为105. (2)由(1)知数学成绩落在区间[100,130)内的 颜率为0x10-022035-06,故X-B3.号. X的取值范用为0,1,2，，PX0-Cx号X1号广 念rI-号号-瓷.x=2-号 号-武，-3-cx1-号西 参考答案。 X的分布列如下表. 0 1 2 3 P 8 36 54 27 125 125 125 125 故E(X)=0x 8+资+离+x品号 14.解：(1)依题意，1天下午6点前的销售量不 少于350kg的概率P1-20-2 603 随机变量X的取值范围为{0,1,2}，P(X=0)=C× (号广g,P0x=I)-Cx号x3-号，Px-2)-Cx号户 号，X的分布列如下表 X 0 1 2 P 4 9 9 9 则B0X)-0xg+1号+2x号号 (2)当购进350kg这种有机蔬菜时，利润的期望值 为350x3×号+(30x3-502)×石+250x3-10x2)×6 925;当购进400kg这种有机蔬菜时，利润的期望值为 40x3x40+(350x3-50x2)×0+(300x3-100x2)×6+ 60 (2503-1302x。-2975-2 6 由925>2975_25s,解得5>16，teN,5+1 36 35,.17≤s≤34，s∈N,s的最小值是17. 第2课时离散型随机变量的方差 效果评价 1.C【解折】由题意，知E0X)-1x}0xg+1x+ 2x石3，故Dx)-3x0号ggX 4+2号x名8故选C 2.A【解析】设甲获胜的局数为，则了-B5,子)， 由题知X=I0Y,故D(X)=D(10Y)=10D(Y)10x5x号× 号120放选A 85 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.C【解析】~随机变量X服从参数为子的两点分 布，PX-0)=3,PX=1)=号，则EX)-0x写+1x号 子，x0=0-号xg+-号x号-号x=1) E(X)=号，故A中结论正确；E(3X+2)=3E(X)+2=4, 故B中结论正确；D(3X+2)=9D(X)=9x号-2，故C中 结论错误；D(X)=号，故D中结论正确.故选C 4.B【解析】由题意，可知X的取值范围为-2,0,2， Pr-2号x号-号，P-2)=号×gg,PrK-0)=C ×号x写号，EX0)=号2+(-2xg+号x0号，故 Dx)=2-号)x号+2-号xg+0-子x号- 故选B 5.A【解析】EX)=0+p号p:+号p1n,) 子X)-EXDX=3x0号n号p号户+ 号mp*-号’-子+号+号-多号， x)务号8号m8号 p-D(X).:E(X)-E(X2).D(X)-D(X). 选A. 6.C【解析】~随机变量X-B4,子)，E(X) 4x4-l,D(X)=4}×1-4,故A不正确，B不 正确；甲连续投篮4次相当于4次独立重复试验，而 甲每次投篮的命中率均为子，则命中次数XB4,子)， 故C正确；依题意，X不服从参数为4，子的二项分布， 故D不正确.故选C. 7.D【解析】由题意，知ah=号0<aK分，0<b分)， E(X)=ata2-a+26.E(X)-xta=t D(X)=E(X)-[E(X)-a2 86 d*a+4b-是d-6b-4h=a+a*4(分-a）小-- 6a分0)-43nj=4r-2a+1=}a-4-3,又0c 分，DX)e(G1小故选D. 8.AC【解析】对于A,由题得E(X)=(-1)×2+0x 号+1×右号，故A正确：对于B,由题得D(X) =-1+写×3+0+兮×兮+1+号x名哥，故B错 误；对于C,由已知得X的分布列如下表. XI 0 1 P 1 E(KI)=0x写+1x号号，放C正确：对于D, W=0-号写+1号号-号，放D错误放选 AC. 9.BC【解析】由题意，得4Cp+Cp2(1-p)=p+3p= 冬函数/p)=p+p在(0.1)上单调递增，且 宁)冬p宁，放A错误：EX)=四=3x分是 放B正确：DX)=m(1p)=3x2×1-号）产，放C正 确；E(Y)-1=E(2X+1)-1=2E(X)+1-1=3,D(Y)=2D(X) =3,则E(Y)-1=D(Y),故D错误.故选BC. 10.9【解桥】X-B(2,p),P(X≥1)=多，1 Cp1p司，解得=3.故D)=D(2X+10=4D(X0= 42(1-p)42xg×1-号}5 11.1(0,4)【解析】由题知E(5)=0·a+1-2a+ 2a=1.:E()=0×a+14×(1-2a)+24×a=1+14a,E(5)=0× a+1×(1-2a)+22xe1+2a,∴.D()=E()-[E()]P=1+14a-(1+ 2a2=-4d+10a,ae0,7.令fa)=-4+10,ae 0,号)，则a)在0，分上单调递增，得@)e(0,4), 故D()e(0,4)· 12.号25【解析】记成功次数为X,则X-810,p), D0K)=10p1p）≤10t-25,当且仅当p-1p, 即p=时，等号成立，故当p=弓时，成功次数的方差 最大，其最大值为25. 13.解：由题得E(X1)=0x0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04 0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,D(X1)= (0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2× 0.04=0.6064,D(X2)=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+ (2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.1=0.9264. E(X1)=E(X2),D(X)<D(X2),两台机床加工零 件的次品数的均值相同，A机床加工零件的次品数的方 差较小，数据更稳定，故A机床的质量比较好。 14.解：(1)由已知，得X的取值范围为0,1,2， Y的取值范围为{0,1,2}，则=X-Y的取值范围为 {-2,-1,0,1,2}, p6=-2-cx兮x号xcx兮x号 P=-1-cx号)x号xCx兮'x号)'+Cx 号号xxx号”景。 P6=-0-cx号x3xcx3x号Cx号x 号xx号×号4Cx号x号xcxx号 Pr1C号x}xcx号×号4cx号x (兮c号器 P2)-Cx号x号xCx3x号-9， 专的分布列如下表 -2 -1 0 2 32 16 8 87 8 87 故EG=(-2(-1x号+x+2x号 81 813 (2)由题意，随机变量服从两点分布，不妨设 参考答案⊙ P(n=1)=P,则P(7=0)=1-P 当a1时，P=号x号-专，则D-A(1-A-音× 多-引：当n2时.P=2x号××+号x刘号 (号2x兮×号-.则DA1-A)9×号8 故D(m)>D(2). 提升练习 15.C【解折】由题意，可得ab子，则b号a, 0c号.BX0-lx兮+0a+1x-b号号a,Ey)= -la0xb+1x号=号a,则D(X)-=3x-1+n-号+ a0号号xa号-*a-专ae3 号axa*号-r-+g,ny)-a-1+a号+ 号-ax0w+3×1*a号=alo号+号n× @写+3×a+号广+叶号X,y是两个相互 独立的随机变量，D(X+Y)=DX)+D(Y)=-2号a+9 ~函数y=-2+号+9的图象开口向下，且对称轴为直 线分函数)-2+号+9在0.方上单洞递增， 在（分，子）上单调递减，因此随者a的增大，D(X+V) 先增大后减小.故选C. 16.0.7【解析】由题意，知X~B(10,p).D(X)= 10p(1-p)=2.1, 21.P(X=3)<P(X-7).cip(p)Csp(-p). 解得 p=0.7. 4.2.5正态分布 效果评价 1.B【解析】p(x)=,e景=，1e毁，故u= V8元V2m2 0,U=2 2.A【解析】由两条正态曲线的对称轴的位置可知 2,又正态曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中，σ 越小，.01<02.故选A 87第2课时离散 效果评价 1.设随机变量X的分布列如下表所示， X -1 0 1 ◇ 1 多 6 则D(X)等于() A侣 B. C.is D尚 2.已知甲、乙两人进行五局比赛，甲每 局获胜的概率是子，且各局的胜负相互独 立.若甲胜一局的奖金为10元，设甲获得的 奖金总额为X元，则甲获得的奖金总额的方 差D(X)=( A.120 B.240 C.360 D.480 3.若随机变量X服从参数为2的两点 2 分布，E(X),D(X)分别为随机变量X的均 值与方差，则下列结论不正确的是() A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.x-号 4.小明参加某射击比赛，射中得1分， 未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为 子，记小明射击2次的得分为X,则DX) A.y B.16 第四章概率与统计。 型随机变量的方差 c. D. 5.已知随机变量X:(i=1,2)的分布列 如下表所示. X i 1+p P 3 其中0<号， 若p1<p2, 2 且p1+p2=3, 则() A.E(X)=E(X2),D(X)=D(X2) B.E(X1)>E(X2),D(X)>D(X2)》 C.E(X1)=E(X2),D(X)>D(X2) D.E(X)<E(X2),D(X)<D(X2) 6.已知随机变量X-B4,4,则下列 说法正确的是() A.E(X)=2 B.D(X) C.若甲每次投篮的命中率均为子，且 各次投篮结果互不影响，则X可以表示甲连 续投篮4次的命中次数 D.若一个不透明盒子中装有大小相同、 质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可 以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球 后抽到的绿球个数 7.已知随机变量X的分布列如下表所示 子 a 2 1 b 练 53 高中数学选择性必修第二册人教B版 则D(X)的取值范围是() A.[-3,+∞) B.[-3,1) C.16 D61 8.(多选题)已知随机变量X的分布列 如下表所示。 X -1 0 1 P 1 2 3 6 则下列结论正确的是( ) AB0X)=-3 BD0X)-29 CBW)=号 D.D(X) 9.(多选题)已知X~B(3,p)(0<1), 4P(X=3)+n(X-2-.且y-2X+1,则 ( A.p B.E(X)=3 C.D(X)=3 D.E(Y)-1=2D(Y) 10.已知随机变量X,Y满足X~B(2,P), 2X+1,且PX≥1，则DY归 11.下表是随机变量专的分布列，其中 0a<号，则E(E)归 D(2)∈ 0 1 2 a 1-2a 12.设一次试验成功的概率为p,则在 100次伯努利试验中，当p= 时，成 功次数的方差最大，其最大值为 54)练 13.A,B两台机床同时加工零件，每生 产一批数量较大的产品时，出次品的概率如 下表所示： A机床： 次品数X 0 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床： 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.1 试判断哪台机床的质量比较好. 14.上学期间，甲每天7：30之前到校的 概率为号，乙每天7：30之前到校的概率为 },假定甲、乙两位同学到校时间互不影 响，且任一同学每天到校时间相互独立. (1)在上学期间随机选择两天，记X为 甲7：30之前到校的天数，记Y为乙7：30之 前到校的天数，令=X-Y,求飞的分布列和 数学期望. (2)在上学期间随机选择n天，若在这 n天中，甲7：30之前到校的天数多于乙，则 记m=1,否则记=0，比较D(1),D(2) 的大小 第四章概率与统计。 提升练习 15.已知a,b∈R,两个相互独立的随 机变量X,Y的分布列分别如下表所示 -1 0 P 3 6 Y -1 0 1 P a b 1 则随着a的增大，D(X+Y)( A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 16.某学校开展以“拥抱春天，播种绿 色”为主题的植物种植实践体验活动.已知 某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是 否成活相互独立.该学校的某班种植了10株 此种盆栽植物，设X为其中成活的株数.若 X的方差D(X)=2.1,P(X=3)<P(X=7),则 p三 练(55