4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 A.21 B.7 效果评价 C.24 D.56 1.袋中有3个白球和5个黑球，从中任 5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中 取2个，则可以作为随机变量的是() 有三道抢答题，规定：对于每一道题，没有 A.至少取到1个白球 抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的 B.取到白球的个数 得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即 C.至多取到1个白球 得-1分)·若X是甲队在该轮比赛获胜时的 D.取到的球的个数 得分（分数高者胜），则X的所有可能取值 2.先后抛掷一个骰子两次，记随机变量：之和是( 专为两次掷出的点数之和，则的取值范围 A.3 B.4 是() C.5 D.6 A.{1,2,3,4,5,6 6.下列叙述中是离散型随机变量的为 B.{2,3,4,5,6,7} () C.{2,4,6,8,10,12) A.将一枚质地均匀的硬币抛掷五次， D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 出现正面和反面向上的次数之和 3.袋中有除颜色外完全相同的红球6 B.某人早晨在车站等出租车的时间 个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球 C.连续不断地射击，首次命中目标所需 (不放回)，直到取出的球是白色为止，记取：要的次数 球停止时取到的红球个数为随机变量X,则 D.袋中有2个黑球和6个红球，任取2 表示“第5次取到白球”的事件为（) :个，取得1个红球的可能性 A.X=3 7.若P(传≤n)=1-a,P(5≥m)=1-b,其 B.X=4 中m<n,则P(m≤≤n)等于() C.X=5 A.atb D.X=4或X=5 B.1-(a+b) 4.一个木箱中装有8个同样大小的篮 C.1-(a-b) 球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8， D.a-b 现从中随机取出3个篮球，用X表示取出的： 8.(多选题)已知X是一个离散型随机 篮球的最大号码，则“X=8”表示的试验结 :变量，则下列说法中正确的是() 果的种数为（) A.X取每一个可能值的概率都是非负数 40)练 第四章概率与统计。 B.X取所有可能值的概率之和为1 (2)若规定每抽到一个白球加5分，抽 C.X取某两个可能值的概率等于取其中：到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上 每个值的概率之和 6分，求最终得分？的取值范围，并判定7 D.X在某一范围内取值的概率大于它 的随机变量类型， 取这个范围内各个值的概率之和 9.(多选题)已知随机变量X的取值范 围为0,1,2，且P(X=0)=,P(X=I)= 子，PX-2)=a若随机变量Y满足y-3X 1,则下列说法正确的是（) A= B.(1) CPY=2)=) D.P(Y<2)=0 10.已知X,Y均为离散型随机变量，且 X=2Y,若X的取值范围为{0,2,4，则Y 的取值范围为 11.从4名男生和2名女生中任选3人 参加演讲比赛，用随机变量X表示所选3人 中女生的人数，则“X≤1”表示 12.将4把串在一起的钥匙逐一试开1 把锁，其中只有1把钥匙能打开锁，依次试 验，打不开锁的钥匙扔掉，直到找到能打开 锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取 值为 13.一个袋中装有5个白球和5个黑球， 从中任取3个，其中所含白球的个数为 (1)列表说明可能出现的结果与对应的 专的值、 练(41 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 14.写出下列随机变量的取值范围，并 16.某校数学期末考试中有8道单项选 说明随机变量取值所表示的随机试验的结果.： 择题，满分40分，每道题有4个选项，其 (1)在10件产品中有2件是次品，8件： 中有且仅有一个是正确的，评分标准规定： 是正品，任取3件，取到正品的件数 答对得5分，不答或者答错得0分.某考生 (2)在10件产品中有2件次品，8件正： 每道选择题都选出了一个答案，能确定其中 品，每次取1件，取后不放回，直到取出2：有4道题的答案是正确的，而其余4道题 件次品为止，抽取的次数专 中，有1道题可以排除2个错误选项，有2 (3)在10件产品中有8件正品，2件次：道题都能排除1个错误选项，还有1道题因 品，每次取1件，取后放回，直到取到两件： 题意理解不清，只能随机猜测. 次品为止，抽取的次数 (1)求该考生单项选择题得40分的 (4)在10件产品中有8件正品，2件次：概率. 品，每次取1件，取后放回，共取5次，取 (2)该考生单项选择题得多少分的概率 到正品的件数 最大？ 提升练习 15.在一次比赛中，需回答三个问题， 比赛规定：每题回答正确得100分，回答不 正确得-100分，则选手甲正确回答这三个 问题的题数X的取值范围是 选手甲回答这三个问题的总得分Y的取值范 围是 42)练2 =PAB)-53 P(A) 25 方法二：.n(AB)=12,n(A)=20, ∴.P(B4)=n(4B)-123 (A)205 14.解：设A=“第一次患病心肌受损害”，A=“第 二次患病心肌受损害”，则所求概率为P(AA2).由题意 可知P(A)=0.3,P(AA)=0.6.又P(A)=1-P(A)=0.7, P(AA)=1-P(4A1)=0.4, .P(AA2)=P(A)P(Az4)=0.7×0.4=0.28. >"4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 效果评价 1.B【解析】根据随机变量的定义，知选项B是随 机变量，其可能取值为0,1,2，其他三个选项均不能 作为随机变量.故选B. 2.D【解析】：随机变量专表示两次掷出的点数之 和，.专的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9， 10,11,12,故的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8， 9,10,11,12}.故选D. 3.B【解析】从袋中每次任意取出1个球，直到取 出的球是白色为止，则“第5次取到白球”表示前面4 次均取到红球，故可表示为X=4.故选B. 4.A【解析】由题知“X=8”表示3个篮球中有1 个篮球的编号是8，另外2个从剩余7个篮球中任选， 有C=21种选法，即“X=8”表示的试验结果有21种 故选A. 5.C【解析】若甲抢到一道题但答错，乙抢到两道 题都答错，则X=-1；若甲没抢到题，乙抢到三道题但 答错两道题或全答错，或甲抢到两道题，答题结果为一 对一错，乙抢到一道题但答错，则X=0;若甲抢到一道 题并答对，乙抢到两道题，答题结果为一对一错或全 错，或甲抢到三道题，答题结果为两对一错，则X=1; 若甲抢到两道题且全答对，则X=2:若甲抢到三道题且 全答对，则X=3.故X的所有可能取值之和为-1+0+1+ 2+3=5.故选C. 6.C【解析】对于A,抛掷硬币只有正面向上和反 面向上两种结果，则抛掷五次出现正面和反面向上的次 参考答案。 数之和为5，是常量，A错误；对于B,等出租车的时 间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变 量，B错误；对于C,连续不断地射击，首次命中目标 所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型 随机变量，C正确；对于D,事件发生的可能性不是随 机变量，D错误.故选C 7.B【解析】P(m≤ξ≤n)=1-P(n)-P(5<m)=1-[1- (1-a)]-[1-(1-b)]=1-(a+b).故选B. 8.ABC【解析】对于A选项，X取每一个可能值的 概率是非负数，故A选项正确；对于B选项，X取所有 可能值的概率之和为1，故B选项正确；对于C选项， X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之 和，故C选项正确；对于D选项，X在某一范围内取值 的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选 项错误.故选ABC. 9AC【解析】由题可知号+号+a=l,解得a=石， 故A正确：PX>1)=P(X=2)=石，放B错误；PY-2) PK=I)=号，故C正确：P(Y2)=P(X<1)=PX=0)=了， 故D错误.故选AC. 10.0,12【解标】X=-2Y,Y=2X,又X的 取值范围为0,2,4}，Y的取值范围为0,1,2}· 11.所选3人中至多有1名女生【解析】“X≤1” 包含“X=1”和“X=0”两种情况，故“X≤1”表示所 选3人中至多有1名女生， 12.3【解析】由于是依次试验，因此可能前3次都 打不开锁，则剩下的最后一把钥匙一定能打开锁，.试 验次数X的最大可能取值为3. 13.解：(1) 0 1 2 3 取得1个取得2个 取得3个 取得3个 结果 白球，1 黑球 白球，2 白球 个黑球 个黑球 (2)由题意，可得-55+6，‘专的取值范围为0,1， 2,3},.m的取值范围为{6,11,16,21}，显然7为离 散型随机变量. 14.解：(1)的取值范围为{1,2,3}，=k(k= 1,2,3)表示取到k件正品. 79 高中数学选择性必修第二册人教B版 (2)飞的取值范围为2,3,4，…，10，ξ=k(k= 2,3,…,10)表示取了k次，第k次取得次品，前 (k-1)次只取得1件次品. (3)专的取值范围为{2,3,4，…}，专=k(k= 2,3,4,…)表示取了k次，前(k-1)次取得1件次 品，第飞次取得次品. (4)专的取值范围为{0,1,2,3,4,5}，=k(= 0,1,2,3,4,5)表示抽取5次共取得k件正品. 提升练习 15.3,2,1,01300,100,-100,-300}【解 析】易知X的取值范围是{3,2,1,0，相应得分为 300分、100分、-100分、-300分，因此甲回答这三个 问题的总得分Y的取值范围为300,100，-100，-300}· 16.解：(1)由题设，知在其余4道题中，有1道 题答对的概率为分，有2道题答对的概率为了，还有1 道题答对的概率为子，该考生单项选择题得40分的 概*为7×兮×？×好7 (2)设该考生单项选择题的得分为X,则X的取值 范围为{20,25,30,35,40，·依题意，得P(X=20)= ×号×号×-6，P-25)号×号×号×2x}× 月×号×子+号×号×号×分3同理，可得rX0) 3PX-35)g,PX=40)7 -72 ·.P(X=25)>P(X=30)>P(X=20)>P(X=35)>P(X=40), .该考生单项选择题得25分的概率最大。 4.2.2离散型随机变量的分布列 效果评价 1.C【解析】依题意，得+1-24+2-242-2+弓=1， 即4-4g+1=(2g-1)-0,解得q=子.故选C 2.A【解析】P(X<4)=PX=I)+PX=2)+PX=3)=+ 1+1=3-0.6,解得n=5.故选A nnn 3.C【解析】由题知0.1+m+0.3+2m=1,解得m=0.2. .P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2=0.3.故选C 80 4B【解析】由题意，得0.21+0.20+0.05+0+0.10+ 0.10+0+0.10=l,化简，得10x+-24,又，yeN且 x,ye[0,9],x=2,y=4,P<X<=P(X=2+ P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故选B. 5.A【解析】由题意，得P(传=1)+P(5=2)+P(飞=3)= m+2m+3m=1,解得m-石，P5≤多PG=1)+G2) 石+60分微选N 6.D【解析】由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= 号+名++品l,解得a=,放P川分PX=I)） +PX=2)=点+克=三.故选D. -82461 7.D【解析】“X=3”表示前2次未抽到中奖彩票， 第3放抽到中奖彩界，放PX3)=C--石改 选D. 8.ABD【解析】对于A,由分布列的性质，可得 0.2+m+n+0.1=1,则m+n=0.7,故A正确；对于B,若 m=0.3,则n=0.4,P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.4+0.1= 0.5,故B正确；对于C,由概率的定义及分布列的相关 性质可知0.7≥m≥0,0.7≥n≥0，故C不正确；对于D, 由已知，得P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,P(X=1)=2P(X= 6),故D正确.故选ABD. 9.ABC【解析】y随机变量专的概率分布为P专专 =k(k=l,2,3,4,5),P6写)+P6=号+P5 +P5号)+P(5I)=a+2a+3a+4a+5a=15a=l,解得a=5, 故A正确：P2号)=P6号3x5写，放B正 确：P品号)P55+P号)古+2x5,故 C正确：代=1)-5x5了≠高放D错误故选ABC 10.号【解析】由题意，得随机变量X的分布列如 下表。 2 3 5 a 2a 3a Aa 5a