4.1.2 乘法公式与全概率公式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da, Db,ab,共有15个， 记“男生甲被选中”为事件M,则M包含的样本点 有AB,AC,AD,AaAb,共有5个，放R言 (2)记“女生乙被选中”为事件N,则M∩N表示 男生甲和女生乙被选中，M∩N包含的样本点共有1个， 放PMnW=5,由（山知P(M)=号，故PM) P(MON)1 P(M)51 (3)记“选中的2人中有1男1女”为事件S,则 事件S包含的样本点有8个，P(S)=答，SnN包含的 样本点有4个，P(5nN)-号，放PNMS)=沿 P(S) 分 14.解：设事件C为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3 的倍数”. 则所求概率为P(A UBIC)=P(AIC)+P(BIC)-P(A∩BI C)=P(A0C)+P(BOC)-P(A0B0C)-2x25+16 P(C) P(C) P(C) 100100 833 100=50 提升练习 15.A【解析】设黑球有x(0<x<10,x∈N)个，则 白球有(10-x)个.从袋中任意摸出2个球，.·至少有1 个白球的概率为号、设有白球的概率为1一号希，即 x(x-1) 号-器后又0e0eN,4.袋中 有4个黑球和6个白球.设事件A为“第2次取得白 球”，事件B为“第1次取得黑球”，则P4)=CC+CC A品 品号.4n)瓷-务吉在第2次取得白 球的条件下，第1次取得黑球的概率P(BA)=P4nB) P(A) 4 154 3=9 5 16.解：设事件A为“其中一瓶是蓝色墨水”，事件 72 B为“其中一瓶是红色墨水”，事件C为“其中一瓶是 黑色墨水”，事件D为“其中一瓶不是蓝色墨水”， 则A)-CC-名MnB-S-5,RinG) 2-号，故P(DA)P(BUC)A)=P(BA)+PC P(A∩B)+P(A∩C2)=6 P(A) P(A) -7 4.1.2乘法公式与全概率公式 效果评价 1.B【解析】设事件A为“抽取的芯片为优质品”， 则P4-名x08+2808+2x07-0.20.8+04x0804x 25 0.7=0.76,∴.该芯片为优质品的概率为0.76.故选B. 2.C【解析】设事件A为“血检呈阳性”，事件B 为“患该种疾病”，依题意知P(B)=0.03,P(AB)=0.87, .P(AB)=P(B)P(AIB)=0.03x0.87=0.0261.故选C. 3.C【解析】设“选到第一个袋子”为事件A1, “选到第二个袋子”为事件A2,“随机摸出2个球，恰 好摸出1个红球和1个黑球”为事件B,则P(A)= i)-号，P8H:答-号PmaM-答- c2, PB-aP)PM产)-宁×房+号×分品 故选C 4.A【解析】千位有1,5两种选择，百位、十位、 个位有0,1,5三种选择，要使表示的四位数为偶数， 则个位应该是0，可得P4)了，要使表示的四位数为 偶数且大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个 位是0，可得P8×号×兮号，放代) P(A) 1 9=1.故选A 13 3 5.A【解析】设事件A,为“王同学早餐在A餐厅用 餐”，事件B为“王同学早餐在B餐厅用餐”，事件A2 为“王同学午餐在A餐厅用餐”，事件B,为“王同学午 餐在B餐厅用餐”.易知P(A1)+P(B)=1,根据题意， 得PA,=圣PB)=,PaM,)=,PA,B)=4 由全概率公式，可得P(A2)=P(A1)P(A,lA1)+P(B)· PAB=子×星+子×好名，则RB1意-是放选A 6.D【解析】设事件A为“小孩诚实”，事件B为 “小孩说谎”，则P(B4)=0.1,P(B4)=0.5,P(A)=0.9, P(A)=0.1,则P(AB)=P(A)P(BA)=0.9x0.1=0.09,P(AB)= P(A)P(BIA)=0.1×0.5=0.05,故P(B)=P(AB)+P(AB)= 014,放PB)-8g-是放选D 7.C【解析】设事件B为“该车中途停车修理”，事 件A,为“该车是货车”，事件A2为“该车是客车”，则 PA号，PA,)=3,PB1,)-002,PB4:)-0.01,由 贝叶斯公式，得PAB)=PA)P(BM)+P(A2)PBM,) P(A)P(BIA) 子×002 =0.8.故选C 号×002+写x0.01 8.ACD【解析】若Pr(BM)=PHB-PB,则PAB P(A) P(B) =PM)PMB),故A正确；P(AUB)+P(A IB)-PAB)+PAB) P(B) =PB=1,故B错误；若B和C是两个互斥事件， P(B) 则P(BUCA)=P(BM)+P(CA),故C正确；：P(4B)>0, P(A)P(AB)>0.P(A)P(BA)P(CAB)=P(A)xP(AB)x P(A) P(ABC=P(ABC),故D正确.故选ACD. P(AB) 9.ABC【解析】设事件D1,D2,D分别表示一个人 患有疾病D,D2,D3,事件S表示病人出现症状S,则 P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S1D1)=0.4, P(SID2)=0.18,P(SD)=0.6.由全概率公式，得P(S)= PDP6SD=0.02X0.4+005x0I8+0.05x0.6=0.02 故A正确；由贝叶斯公式，得PD,S)=PD)PSD) P(S) 0.02x0.40.4,故B正确；由贝叶斯公式，得P(D,1S)= 0.02 P(D)P(SD2=0.05×0.18-0.45,故C正确；由贝叶斯公 P(S) 0.02 式，得PD,S)=PD,PsD2_0.005x06=0.15,故D错 P(S) 0.02 误.故选ABC. 10.BD【解析】易知事件A:(i=1,2,3)的发生对 事件B的发生有影响，故A错误；由题意，得P(A,)号， 参考答案⊙ Pa=号，Pa,)=g号，PBH)-0号，PB: 高PBu,)0故Pa,B)-PBP4,)-号×号 袋放B正确：PAB)=P(BM,P4s)=×号5 KAB)=代，PA)高兮0放rB=,rA) +P(BM:P(d)+P(BA,P4)-3引≠号.放C缩误： 32 P(A:B)=P(AB)-P(BA)P(A:)_109_6 P(B) P(B) 动引放D正确 90 故选BD. I山.号【解析】记事件A为“第1球投进”，事件B 为“第2球投进，则PM)=号，P(面=写，PBM) 子，P(Bi=3,则PB)=PAB)+P(AB)=PA)P(BM) +n酒m-号x号+兮-号 12.0.1060.189【解析】设事件A为“患高血压”， 事件B为“肥胖者”，事件B2为“中等体型者”，事件 B3为“消瘦者”，根据题意，得P(B)=10%,P(B2)=82%, P(B)=8%,且P(AIB1)=0.2,P(AIB2)=0.1,P(AIB)=0.05. 由全概率公式有P(A)=P(B1)P(AIB1)+P(B)P(AIB2)+ P(B3)P(A1B)=0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05=0.106,.该 城市居民患高血压的概率为0106.由贝叶斯公式，得 P(B,M)=P(B)PAB)-01X02≈0.189，该居民是肥 P(A) 0.106 胖者的概率是0.189. 13.解：(1)设事件A1为“第一台车床加工的零 件”，事件A,为“第二台车床加工的零件”，事件B为 “这个零件是次品” 由题意，可得P4,=号-04，PA,)=号-06，PB A)=0.06,P(BA2)=0.05. 由全概率公式，可得P(B)=P(A,)P(BIA)+P(A2)· P(B4A2)=0.4x0.06+0.6x0.05=0.054. (2)已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的 概率为P(A1B)=PAB)=P4P(B4_0.024_4 P(B) P(B) 0.05491 14.解：设事件A表示取到的产品为正品，事件B, 73 高中数学选择性必修第二册人教B版 B2,B,分别表示取到的产品由甲厂、乙厂、丙厂生产. 由已知，得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B)=0.5, P(AIB)=0.95,P(AIB2)=0.9,P(AIB3)=0.8. (1)由全概率公式，得 P4)=∑P(B,)PAIB,)=02×0.95+0.3x0.9+0.5×0.8= 0.86. (2)由贝叶斯公式，得 PBM)=PB)P4IB2_0,2x095≈0.221. P(A) 0.86 P(B4)=PB,)PAB_0,3x09≈0.314， P(A) 0.86 PB4)=PB,)PAB,=05x0.8≈0.465. P(A) 0.86 则P(B,A)>P(B,M)>P(B,M),故这件产品由丙厂生 产的可能性最大 提升练习 15.?号【解析】若奖品在3号箱里，则主持人 只能打开2,4号箱，放PB1由题得PA,PA, P(4,)-PA,)=4.若奖品在1号箱里，则主持人可打开 2,3,4号箱，故PB1,)=了；若奖品在2号箱里，则 主持人打开2号箱的概率为0，故P(BA2)=0;若奖品 在3号箱里，则主持人只能打开2,4号箱，故P(B,4) =分；若奖品在4号箱里，则主持人只能打开2,3号 箱，故P(BM:)?由全概率公式，可得PB)=∑PA,) Pra4)子×兮0宁+号）3 16.()胎(2)石【解析】设事件A为“第一 次未摸到白球”，事件B为“第二次未摸到白球”，事件 C为“第三次摸到白球”，则事件“第三次才摸到白球” 为ABC. ()由题知PA)=号，PBA)=号，PCMB)=, 则P4BC)-PGAR)P(BA)RA)5×号×号货 (2)由题知PA)=专，PBMA)=号，PGMB)=子， 则RHC-PCABA)子×号-名 74 4.1.3独立性与条件概率的关系 效果评价 1.C【解析】P(BM)+P(B)=P(BIA)+1-P(B)=1, PBA)=PB),即P4B-PB,则PAB)=PA)PB),. P(A) 事件A与事件B相互独立.故选C 2.A【解析】事件A与事件B相互独立，P(AB) ).()(B)=1- P(A) P)号放选A 3.D【解析】甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内 独立复原魔方的概率为0.7×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.7)× 0.6×(1-0.5)+(1-0.7)×(1-0.6)×0.5+(1-0.7)×(1-0.6)×(1- 0.5)=0.35.故选D. 4.C【解析】若甲只投中1次，则他获胜的概率为 2x宁×1-号×1-号一务：若甲投中2次，则他获鞋 的概率为分)×[1-号+x兮×兮']多故甲最 后获胜的概率为号+号分放选C 5.D【解析】·.甲、乙、丙三人被该公司录取的概 率分别是石，子，弓，且三人的录取结果相互之间没 有影响，他们三人都没有被录取的概率为1-石)× (-}×-号)音，放他们三人中至少有一人被录取 的概率为1音品放选D 6.A【解析】由已知，可得青蛙按逆时针方向跳一 次的概率为号，按顺时针方向跳一次的概率为号，则青 蛙按逆时针方向跳三次落在A荷叶上的概率A一=号×子× 号-多，方蛙按限时针方向跳三次落在A药叶上的概率 P~号×兮×分分成青维跳三次之后落在A街叶上的 概率P+受+分行枝选A 7.A【解析】记事件A为“在某次通电后M,N有 且只有一个需要更换”，事件B为“M需要更换”，则 P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(AB)=0.3×(1-4.1.2乘法公 效果评价 1.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产 线均生产8nm规格的芯片.现有25块该规 格的芯片，其中由甲、乙、丙生产的芯片数 量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙 生产的芯片的优质品率分别为0.8,0.8,0.7， 则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片 为优质品的概率是() A.0.78 B.0.76 C.0.64 D.0.58 2.某种病毒使人患病的概率为0.03，已 知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率 为0.87，则患该种疾病且血检呈阳性的概率 为() A B.0.9 C.0.0261 D.0.251 3.现有两个袋子，第一个袋子中有2个 红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球 和3个黑球.随机选择一个袋子，然后从中 随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1 个黑球的概率为() A号 B.2 C. D.3 4.算盘是我国一类 上珠 ·梁 重要的计算工具.如图 >下珠 是一把算盘的初始状 第4题图 态，自右向左前四位分别表示个位、十位、 百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代 第四章概率与统计。 式与全概率公式 表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1， 即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的 代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁 上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁 上，表示数字105.现将算盘的千位拨动一 粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨 动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动. 设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件 B=“表示的四位数大于5050”，则P(B1A)= () A司 B. 12 c号 D. 6 5.学校有A,B两个餐厅，如果王同学 早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐 厅用餐的概率是子：如果他早餐在B餐厅 用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是 4,若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是 子，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是 () A含 B.8 C.16 D品 6.“狼来了”的故事大家小时候应该都 听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信 了，但去了之后发现没有狼；第二次喊 “狼来了”，大家又信了，但去了之后又发 现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个 练(29 高中数学选择性必修第二册人教B版 小孩再喊“狼来了”就没人信了.从数学的 角度解释这一变化：若小孩是诚实的，则他 出于某种特殊的原因说谎的概率为01；若 小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最 初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大 家心目中每个小孩都是诚实的概率是0.9.已 知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的 概率是（) A子 B Ci D.9 14 7.设某公路上经过的货车与客车的数量 之比为2：1，货车中途停车修理的概率为 0.02,客车中途停车修理的概率为0.01，现 有一辆车中途停车修理，则该车是货车的概 率是（) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 8.(多选题)已知A,B为两个随机事 件，且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确 的是() A.若P(BA)=P(B),则P(AIB)=P(A) B.P(AIB)+P(AIB)=0 C.若B和C是两个互斥事件，则 P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA) D.当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)· P(BIA)P(CIAB) 9.(多选题)在某一季节，疾病D的发 病率为2%，病人中有40%表现出症状S, 疾病D2的发病率为5%，病人中有18%表 现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%，病 人中有60%表现出症状S.假设只有患疾 (30)练 病D1,D2,D3的病人才会表现出症状S, 则() A.任意一个人有症状S的概率为0.02 B.病人有症状S时患疾病D,的概率为 0.4 C.病人有症状S时患疾病D2的概率为 0.45 D.病人有症状S时患疾病D3的概率为 0.25 10.(多选题)甲箱中有4个红球、2个 白球和3个黑球，乙箱中有3个红球、3个 白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球 放入乙箱，分别以A1,A2和A3表示由甲箱 取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从 乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取 出的球是红球的事件.则下列结论正确的是 () A.事件B与事件A:(i=1,2,3)相互 独立 B.PA) C.P(B) D.P(AB) 11.小王同学进行投篮练习，若他第1 球投进，则第2球投进的概率为子：若他第 1球投不进，则第2球投进的概率为了·若 他第1球投进的概率为号，则他第2球投进 的概率为 12.经统计，某城市肥胖者占10%，中 等体型者占82%，消瘦者占8%.已知肥胖 者患高血压的概率为0.2，中等体型者患高 血压的概率为0.1，消瘦者患高血压的概率 为0.05，则该城市居民患高血压的概率为 ；若该城市有一居民患有高血压， 那么该居民是肥胖者的概率是 ·(保 留三位有效数字) 13.现有两台车床加工同一型号的零件， 第一台车床加工的零件次品率为6%，第二 台车床加工的零件次品率为5%，加工出来 的零件混放在一起，已知第一台车床加工的 零件数与第二台车床加工的零件数之比为2：3， 从这些零件中任取一个 (1)求这个零件是次品的概率 (2)已知这个零件是次品，求它是第一 台车床加工的概率. 第四章概率与统计。 14.同一种产品由甲、乙、丙三个工厂 供应，已知甲厂、乙厂、丙厂产品的正品率 分别为0.95,0.9,0.8，甲厂、乙厂、丙 的产品数量之比为2：3：5，将三个工厂的产 品混合在一起 (1)从中任取一件，求此产品为正品的 概率. (2)现取到一件产品为正品，则它由 甲、乙、丙三个工厂中哪个工厂生产的可能 性最大？ 练（31 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 15.在一个抽奖游戏中，主持人从编号 为1,2,3,4且外观相同的空箱子中随机 选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭， 即只有主持人知道奖品在哪个箱子里.当抽 奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前， 主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子， 并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲 选择了1号箱，若用A:表示i号箱有奖品 (32)练 (i=1,2,3,4),用B表示主持人打开i号 箱子(i=2,3,4),则P(B2lA3)= -,P(B)= 16.设袋中有5个红球、3个黑球、2个 白球（除颜色外完全相同）. (1)有放回地摸球三次，每次摸1个球， 则第三次才摸到白球的概率为 (2)不放回地摸球三次，每次摸1个球， 则第三次才摸到白球的概率为