3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 个，安排在百位、十位，有A种选法，则可以组成3× 5×A=300个无重复数字的四位奇数，故B正确：对于 C,比3400大的四位数分三类，第一类是千位是比3 大的数，其他三位任意排，有AA=360个，第二类是千 位是3，百位是比4大的数，其他两位任意排，有AA= 40个，第三类是千位是3，百位是4，其他两位任意排， 有A=20个，则比3400大的四位数共有360+40+20=420 个，故C不正确；对于D,能被25整除的四位数分两 类，第一类形如口口25，共有A:A=16个，第二类 形如☐□50，共有A=20个，则能被25整除的四位数 共有16+20=36个，故D正确.故选ABD. 10.72【解析】A参加竞赛时，参赛方案有2A=48 种；A不参加竞赛时，参赛方案有A=24种.∴.不同的参 赛方案的种数为48+24=72. 11.1296【解析】将每家人看作一个整体，安排座 位，有A种情况，3个家庭所有成员内部的座位排法共 有AAA种情况，.不同的坐法种数为(A)A=1296. 12.420【解析】当选择3种月季种植时，先种植① ④⑤区域，有A种种植方法，再种植②区域，必和④区 域相同，有1种种植方法，最后种植③区域，必和①区 域相同，有1种种植方法，故选择3种月季种植时，有 A×1×1=60种种植方法.当选择4种月季种植时，先种 植①④⑤区域，有A种种植方法，再把还没有用过的2 种月季选1种种植下去，有②③两个区域可供种植，有 2×2=4种种植方法，最后种植最后一个区域，有1种种 植方法，故选择4种月季种植时，有Ax4×1=240种种植 方法.当选择5种月季种植时，有A=120种种植方法 综上，共有60+240+120=420种种植方法. 13.解：(1)可以分为两类：第一类，首位为奇数。 第一步，把1,3,5三个数字排在奇数位上，有A种方 法；第二步，把0,2,4三个数字排在偶数位上，有A 种方法.故首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数有AA=36个」 第二类，首位为偶数.第一步，把1,3,5三个数 字排在偶数位上，有A种方法；第二步，把0,2,4三 个数字排在奇数位上，有2A种方法. 故首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位 数有Ax2A=24个. 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 36+24=60个. 62 (2)可以分为两类：第一类，当数字1排在首位上 时，其他数字全排列，满足条件的六位数共有A=120 个；第二类，当数字1不排在首位上时，根据数字1只 能排在奇数位上，可知数字1有2种选择，数字0不能 排在首位上，有4种选择，其他数字不受条件限制， 排列方法有A种，.满足条件的六位数共有2×4×A= 192个. 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 120+192=312个. 14.解：(1)4个歌舞类节目全排列形成5个空， .·语言类节目不能排在第一，且不相邻，∴.有AA=288 种排法. (2)若前4个节目中没有语言类节目，则有A4A种 排法， .前4个节目中有语言类节目的排法有A。-AA= 672种. 提升练习 15.48【解析】将6个数分三组(1,6)，(2,5)， (3,4),每组中的两个数填人一对相对面上，共有Ax 2×2×2=48种不同的填法. 16.解：(1)若5对夫妇都相邻，A,B相邻，则 可将每对夫妇划分为1组，将A,B划分为1组，再将 这6组围坐成一圈，共有A种坐法. .:每一组的2人有2种坐法，.·.共有Ax2=7680种 坐法」 (2)分成三步：第一步，排甲、乙二人的太太的座 位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定： 第二步，排其余3对夫妇的座位，有2A种坐法： 第三步，排A,B二人的座位，有A种坐法.根据 分步乘法计数原理，可知共有2x2AxA=1152种坐法， 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 效果评价 1D【牌折】对是-C-C微选D 2.B【解析】从8人中选出6人进行组合即可，则 有C种分法.故选B. 3.C【解析】利用间接法，可得男、女学生都要有 的选法种数为CC-C=70.故选C 4D[懈折】C点CC之心-6微速D 5.C【解析】C5C,n(n-Dn-2)(m-3) 4x3x2x1 n(m-1)(n-2)m-3)(m-4)m-5】,.(m-4)(n-5)<30,即 6x5×4x3×2x1 n2-9m-10<0,解得-1<n<10,又n≥6，n∈N,∴n可取 的值有6,7,8,9，共4个.故选C 6.A【解析】至少有2个黑球的取法种数是CC+ CC6+C=90+24+1=115.故选A. 7.B【解析】C+C=C1,.C+C+…+C=-C+C+ C+…+C-1=C+C+…+C号-1=…=C1-1=119.故选B. 8ABD懈标】对于A。aA=”a aA,放A正确；对于B,n (n+1)！ n(n-1)!=（m-l)n-2)1=(n-2)1,故B正确；对于C, n(n-1) -1 C,而m与不一定相等，“与不一定相 m n 等，故C不正确；对于D,1A1·。n! n-m ”n-m(n-m-1)刀 A,放D正确，放选ABD 9.BC【解析】根据题意，可知抽取的4件产品中 至少有1件是不合格品包括以下三种情况：①1件不合 格品和3件合格品，共有CC种抽法；②2件不合格品 和2件合格品，共有CC,种抽法；③3件不合格品和1 件合格品，共有CC种抽法..至少有一件是不合格品 的抽法有(CC+CC+CC)种，故B正确.还可以采 用正难则反的思想，即间接法，“至少有1件是不合格 品”与“全都是合格品”是对立事件，总的抽法共有C 种，全都是合格品的抽法共有C”种，所以至少有1件是 不合格品的抽法有(C-C,)种，故C正确.故选BC. 10.48【解析】甲去完成A项工作，有C:CCC=24 种不同的安排方式；甲不去完成A项工作，有CCCC =24种不同的安排方式.故共有24+24=48种不同的安排 方式. 0≤x≤10. 0≤x-2≤8， 11.3或4【解析】由题意，得0≤x-1≤8，解得 0≤2x-3≤9， x∈N, 参考答案。 2≤x≤6，x∈N..Ci0=C-2+Cg+Cg-3,.Ci0=Cg+C号-3， C。-Cg=Cg3,.C=Cg3,x=2x-3或x+2x-3=9,解得 =3或=4. 12.4【解析】由题知+x(x-1)(x-2)=2xx-l)x+1 3 可得x2-6x+8=0,解得x=2或=4，又x≥3，..x=4. 13.解：(1)至少有1名队长含有两种情况，有一 名队长和有两名队长，故共有CC1+CC=825种选法. (2)至多有2名女生含有三种情况，有2名女生、 有1名女生、没有女生，故共有CC+CC+C=966种 选法 14解：0瓷-”-5 n≥3， n≥2， (2)由题意，得 'n≥3且neN. n+1≥2， n∈N, 3A-6A3-4C,3n(m-1)0-2)-6nm-1)=4xn+lm 2 即3(n-1)(n-2)-6(n-1)=2n+2,解得n=5或n= 3 (舍去)，故n=5. n≥4， (3)由题意，得n≥6，n≥6且n∈N. inEN, .A≥24C%, .n(0m-1)(n-2)(n-3)≥24nm-l)m-2)n-3)n-4)m-5) 6x5×4x3x2x1 .(n-4)n-5)≤1，整理，得2-9n-10≤0， 30 解得-1≤n≤10，又n≥6且n∈N, .不等式的解集为{6,7,8,9,10}· 提升练习 15.252【解析】构成句子“爱国荣校做市西卓越学 生”的不同读法需10步完成（从上一个字到下一个字 为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是 从上往右下角方向读，故共有不同读法C=252种. 16.解：(1)由题意，可得C= (-12)×(-13)×(-14)x(-15)=1365. 4 22-仕6w 63 高中数学选择性必修第二册人教B版 0.当子，即=号时，怎取得最小值 (3)性质①不能推广，例如当x=V2时，C有定 义，但C无意义. 性质②能推广，它的推广形式是C+C=C,x∈ R,m是正整数，事实上，当m=l时，C+C=x+l=C; 当m≥2时，C+C=x-l小-m+l+x(x-1)…(x-m+2= m! (m-1)！ x(x-l)(-m+2）-m+1+1）=x(x-1)…(x-m+2)(+1) (m-1)！ m m! =C 综上，C+C-C,x∈R,m是正整数. 第2课时组合数的应用 效果评价 1.A【解析】由题意，可知不同的安排方式有CCA =180种.故选A 2.C【解析】将5名志愿者分为4组，有C=10种分 组方法，将分好的4组安排给4个志愿活动，有A=24 种情况，则共有10x24=240种分配方法.故选C 3.D【解析】可以看成将5个相同对象分成3组 采用隔板法即可，故每个班级至少得到1个名额的不同 分法种数是C=6.故选D. 4.B【解析】方法一：若高二(1)班有1名家长发 言，则有CC种可能情况，若高二(1)班没有家长发 言，则有C种可能情况，·.发言的3名家长来自3个不 同班级的可能情况共有CC+C=30种.故选B. 方法二：从7名家长中任选3人，有C种情况，高 二(1)班2名家长都发言的情况有CC种，.发言的3 名家长来自3个不同班级的可能情况有C-CC=30种. 故选B. 5.D【解析】先选出2名志愿者安排到A社区，有Cg 种方法，再把剩下的4名志愿者分成两组，有CC+CC A 种分法，则不同的安排方法共有CCS+CC)A-210 种.故选D. 6.A【解析】先挂2盏吊灯有A=2种挂法，再在2 盏吊灯之间挂3盏纱灯有A=6种挂法，最后将宫灯插 空挂.当4盏宫灯分成2,2两份插空时，有C-1=5种 挂法；当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时，有CC= 12种挂法；当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时， 64 有1种挂法.综上，共有2×6x(5+12+1)-=216种不同的挂 法.故选A 7.C【解析】若甲单独一组，先排甲有C=2种方 法，再将其余5人分成两组有C+C=15种方法，分配到 另外两个体育馆共有A=2种方法，∴.此类情况共有2× 15x2=60种方法.若甲与其他志愿者一组，先安排甲有C =2种方法，然后将其余5人分成三组有CCC+CCC A A =25种方法，再将三组分配到三个体育馆有A=6种方 法，·.此类情况共有2×25×6=300种方法.综上，不同的 分配方法共有60+300=360种.故选C. 8.AD【解析】对于A,一个平面对应着从8个点 中取出3个点的一个组合，故可以作C=56个不同的平 面，故A正确；对于B,每一条直线都可以与另外的9 条直线相交，最多就有9个交点，但都重复了一次， 最多共有9x10÷2=45个交点，故B不正确；对于C,首 先从8个顶点中选4个，共有C种结果，在这些结果 中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6 个对角面有6个四点共面，∴.满足条件的结果有C-6- 6=58个，故C不正确；对于D,先从第一组5条平行线 中任选2条作为平行四边形的一组对边，有C种取法， 再从另一组4条平行线中任选2条作为平行四边形的另 一组对边，有C种取法，.可以构成CC=60个平行四 边形，故D正确.故选AD. 9.ABC【解析】甲、乙都不选的方案共有CCA= 432种，故A正确；选甲不选乙的方案共有CCCA= 216种，故B正确：甲、乙都选，乙排在星期一的方案共 有CCCA=48种，乙不排星期一的方案共有ACCA 48种，则甲、乙都选的方案共有48+48=96种，故C正 确；选乙不选甲的方案共有CCCA=216种，则这个单 位安排夜晚值班的方案共有432+216+216+96=960种， 故D错误.故选ABC. 10.60【解析】先从5人中选出4人值班，再从4 人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、第二 天，·.不同安排方法的种数为CCA=60. 11.15【解析】先在编号为2,3的盒子中分别放人 1,2个小球，编号为1的盒子不放球，再在每个盒子至 少放入1个小球，用隔板法，将余下7个小球排成一排 有6个空，插入2个隔板，有C=15种放法. 12.36【解析】根据题意，分以下两步进行分析：N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.1.3组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 8.(多选题)下列等式一定正确的是 效果评价 1.10x9x8xx4可表示为(） A.(n+1)A=A 1×2×3x…×7 n(n-1)=(n-2)1 B. n! A.Afo B.Aio C.Cfo D.Cio 2.将6本相同的书分给8名学生，每人 C.Cr=AZ 至多分1本，而且书必须分完，则不同的分 n! 法种数是() D.-1-A:=A: n-m A.Ag B.CC.6 D.86 9.(多选题)在50件产品中，有47件 3.从4名男学生、5名女学生中选出3 合格品，3件不合格品，从这50件产品中任 名学生，男、女学生都有的选法有（) A.140种 B.44种 意抽取4件，则下列结论正确的有() A.抽取的4件产品中至少有1件是不 C.70种 D.252种 合格品的抽法有(C0+CC,)种 4.计算： Aiol Cioo+Coo B.抽取的4件产品中至少有1件是不合 A.1 B.101 格品的抽法有(CC,+CC+CC,)种 6 C.抽取的4件产品中至少有1件是不合 c D.6 格品的抽法有(C-C,)种 5.满足条件C4>C的正整数n的个数是 D.抽取的4件产品中至少有1件是不 ( 合格品的抽法有CC,种 A.10 B.9 C.4 D.3 10.安排5名志愿者完成A,B,C,D 6.现有6个不同的白球、4个不同的黑： 四项工作，其中A项工作需2人，B项工作 球，从中任取4个，则至少有2个黑球的取 不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配 法种数是（) 了工作，且每项工作均有人完成，则不同的 A.115 B.90 安排方法共有 种 C.210 D.385 11.已知C6=C2+Cg+C?-3,则x的值 7.C号+C+…+C%=() 为 A.120 B.119 12.若xC+A=4C,则x的值为 C.110 D.109 12)练 第三章排列、组合与二项式定理。 13.课外活动小组共有13人，其中男生 8人，女生5人，并且男、女生各有1名队 提升练习 长，现从中选5人参加某项活动，依下列条 15.按图从上往下读（不能跳读，即念 件各有多少种选法？ 完标号为②的国字后只能念下一行标号为③ (1)至少有1名队长参加该活动. 或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接 (2)至多有2名女生参加该活动. 在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国 荣校做市西卓越学生”的不同读法种数为 国荣国2荣 校 做 校做 市 市西 市西 校做 西 卓越 卓越 卓 西市 市 学生 学 第15题图 16.规定C=x(x-l)(x-m+),其中 m! x∈R,m是正整数，且C=1,这是组合数 C(n,m是正整数，且m≤n)的一种推广. 14.(山计算：A+C (1)求C42的值 A-A (2)解方程：3A-6A2=4C. (2)设0，当x为何值时，C取得 (3)解关于n的不等式A≥24C% 最小值？ (3)组合数的两个性质：①Cm=C"; ②C%+Cm=C是否都能推广到Cw(x∈R,m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广 的形式并给出证明：若不能，则说明理由 练 13