3.1.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 择，再从其他的6人中选出1人表演口技有6种选择， 故共有2×6=12种安排方法：从既会表演魔术又会表演 口技的3人中选出1人表演魔术，有3种选择，再从只 会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余 2人中选出1人表演口技，有5种选择，故共有3×5=15 种安排方法.故不同的安排方法有12+15=27种. 13.解：(1)从O型血的人中选1人有1种不同的 选法，从A型血的人中选1人有16种不同的选法，从 B型血的人中选1人有15种不同的选法，从AB型血的 人中选1人有12种不同的选法.由分类加法计数原理， 可知共有1+16+15+12=44种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选1人，由分步乘法计 数原理，可知共有1×16×15×12=2880种不同的选法. 14.解：(1)可分为两类：A中元素为x,B中元 素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×4+ 4×3=24个不同的点. (2)第一象限内的点，即x,y均为正数，.只能取 A,B中的正数，故共有2x2+2x2=8个不同的点位于第 一象限， 提升练习 15.B【解析】5日至9日有3天是奇数日，2天是 偶数日.第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择， 共有2×2=4种用车方案.第二步，安排奇数日出行，分 两类：第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他 车，有3×2×2=12种用车方案；第二类，不安排甲的车， 每天都有2种选择，有2=8种用车方案，故共有12+8= 20种用车方案.根据分步乘法计数原理，不同的用车方 案共有4×20=80种.故选B. 16.解：每种颜色的路灯至少要有2盏，.三种 颜色的路灯的分配情况是2,2,3的形式 不妨设红的路灯有3个，七个位置分别用1,2,3， 4,5,6,7表示，那么红的路灯可以排135,136,137， 146,147,157,246,247,257,357,共10种安装 方法. 135,136,146,247,257,357留下的4个位置， 有2个相邻，不能安装一样颜色的路灯，则这4个位置 有4种安装方法. 147留下的4个位置中，有2个2个相邻，有4种 安装方法. 58 137,157留下的4个位置中，有3个相邻，有2种 安装方法。 246留下的4个位置互不相邻，有6种安装方法. 综上，共有6×4+1×4+2x2+1×6=38种安装方法」 同理，当黄或蓝的路灯有3个时，各有38种安装 方法，故共有3×38=114种不同的安装方法. 第2课时两个计数原理的综合应用 效果评价 1.B【解析】由题意，可知百位数字为2或3，其 他数位在剩余3个数字中选择2个数字排序即可.由分 步乘法计数原理，可知比200大的3位数的个数为2×3× 2=12.故选B 2.D【解析】可按选派的女生人数分为两类：若选 派1名女生，则有2×3=6种不同的选派方案；若选派2 名女生，则有3种不同的选派方案.根据分类加法计数 原理，共有6+3=9种不同的选派方案.故选D。 3.B【解析】由分步乘法计数原理，用0,1，…， 9这十个数字组成的三位数共有9x10x10=900个，其中 无重复数字的三位数共有9x9x8=648个，因此有重复数 字的三位数的个数为900-648=252. 4.C【解析】：每个字的颜色都有2种选择，即分6 步，每步都有2种选法，.不考虑限制条件有2×2x2×2× 2×2=64种不同的写法，用同种颜色的笔写字只有2种写 法，∴要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有 64-2=62种.故选C. 5.D【解析】①不含“0”时，取一个奇数两个偶 数，共有2×3×2×1=12种情况；②含“0”时，另取一个 奇数一个偶数，此时“0”不能排首位，共有2x2x2x2= 16种情况..共有12+16=28种情况.故选D. 6.C【解析】将区域标号， ② 如图所示.·②③④两两相邻，依 次用不同的颜色涂色，则有6x5× ③ ④ 4=120种不同的涂色方法.若①与 第6题答图 ④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的 颜色不相同，则有3种不同的涂色方法..共有120×(1+ 3)=480种不同的涂色方法.故选C. 7.D【解析】若选取的是科普类读物和人文类读物， 则共有10x10=100种取法；若选取的是科普类读物和自 然类读物，则共有10×9=90种取法：若选取的是人文类 读物和自然类读物，则共有10×9=90种取法.综上，共 有100+90+90=280种不同的取法.故选D. 8.ABC【解析】对于A,分三类，选老师有3种选 法，选男同学有8种选法，选女同学有5种选法，故共 有3+8+5=16种不同的选法，故A正确；对于B,分三 步，第一步选老师，第二步选男同学，第三步选女同 学，故共有3×8×5=120种不同的选法，故B正确；对于 C,分两步，第一步选老师，第二步选同学，第二步又 分为两类，第一类选男同学，第二类选女同学，故共有 3×(8+5)=39种不同的选法，故C正确；对于D,若需3 名老师和1名同学参加，则有8+5=13种不同的选法， 故D错误.故选ABC. 9.AB【解析】对于A,可以组成4x5×5x5=500个 四位数，故A正确；对于B,可以组成4×4×3×2=96个 无重复数字的四位数，故B正确；对于C,若个位数为 0,则有4x3x2=24个，若个位数不为0，则有2x3×3x2= 36个，.∴.可以组成24+36=60个无重复数字的四位偶数 故C错误；对于D,可以组成4×2x5×3=120个百位是奇 数的四位偶数，故D错误.故选AB。 10.120【解析】由题意，知阳数为1,3,5,7,9， 阴数为2,4,6,8，第一位数的选法有5种，第二位数 的选法有4种，第三位数和第四位数的组合有(1,6)， (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6 种情况.根据分步乘法计数原理，符合题意的四位数共 有5×4×6=120个. 11.4【解析】若选甲、乙两人，包括甲操作A车 床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床， 共有2种选派方法.若选甲、丙二人，则只有甲操作B 车床，丙操作A车床这1种选派方法.若选乙、丙二人， 则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法 故共有2+1+1=4种不同的选派方法 12.540【解析】如图，给5块不同的区域标上字 母，可先在A中布置花卉，有5种不同的布置方案，再 在B中布置花卉，有4种不同的 B 布置方案，再在D中布置花卉， D 有3种不同的布置方案.若区域 A B,E布置同种花卉，则C有3种 E 不同的布置方案；若区域B,E布 第12题答图 置不同的花卉，则E有2种不同的布置方案，C有3种 不同的布置方案.故不同的布置方案有5×4x3×(3+2×3)= 参考答案⊙ 540种 13.解：当取a1,a2时，取退烧药有4种方案，此 时不同的试验方案有4种： 当不取a1,a2且取a时，取另一种消炎药有2种 方案，由于a,b,两种药不能同时使用，∴取退烧药有 3种方案，此时不同的试验方案有2×3=6种； 当取a4,a时，取退烧药有4种方案，此时不同的 试验方案有4种 综上所述，不同的试验方案共有4+6+4=14种 14.解：(1)A区域有3种涂法，B,C,D区域各 有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理，可得将A, B,C,D四个区域涂色共有3×2×2×2=24种不同的涂色 方案 (2)恰好用3种不同的颜色涂四个区域，则A,C 区域或A,D区域或B,D区域同色，由分类加法计数 原理，可得恰好用3种不同的颜色涂四个区域共有3×2× 1+3×2×1+3×2×1=18种不同的涂色方案 (3)若恰好用2种不同的颜色涂四个区域，则A, C区域同色，且B,D区域同色，先从3种不同的颜色 中任取2种颜色，共有3种不同的取法，然后用所取的 2种颜色涂四个区域，共有2种不同的涂法， 由分步乘法计数原理，可得恰好用2种不同的颜色 涂完四个区域共有3×2=6种不同的涂色方案」 提升练习 15.C【解析】由题意，拨动三枚算珠，有4种拨 法：①个位拨动三枚，有2种结果3,7；②十位拨动一 枚，个位拨动两枚，有4种结果12,16,52,56；③十 位拨动两枚，个位拨动一枚，有4种结果21,25,61， 65；④十位拨动三枚，有2种结果30,70.综上，拨动 题图1中算盘的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为 2+4+4+2=12.故选C. 16.96【解析】还原回正方体后，D,B为正方体 前、后两个对面，A,E为正方体左、右两个对面，F, C为正方体上、下两个对面.先涂A有4种涂法，当C 与F同色时，涂C与F有3种涂法，若D与B同色， 则D与B有2种涂法，最后涂E有2种涂法，若D与 B不同色，则D与B有2种涂法，最后涂E有1种涂 法，则有4×3×(2×2+2×1)=72种涂法；当C与F不同色 时，涂C有3种涂法，涂F有2种涂法，此时D与B 必同色且只有1种涂法，E也只有1种涂法，则有4x3× 59 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 2×1×1=24种涂法.综上，共有72+24=96种涂法. 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 效果评价 1.B【解析】对于A,从10名学生中选取2名去参 加知识竞赛，选出的2人并未排序，.不是排列问题， 故A错误；对于B,10个人互相通信一次，选出2人要 分出寄信人和收信人，是排列问题，故B正确；对于 C,平面上有5个点，任意3点不共线，从中任选2个 点即可确定1条直线，这2个点不分顺序，∴不是排列 问题，故C错误；对于D,从1,2,3,4四个数字中， 任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺 序，.不是排列问题，故D错误.故选B. 2.C【解析】由A1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,解 得-1<n<5,neN且n-1≥2，∴.该不等式的解集为 {3,4.故选C 3.A【解析】由已知，可得+3≤2n, 解得n=3, n+1≤4， .A-A=A-A=720-24=696.故选A 4.B【解析】由A+-5n<5,得(n+1)n-5n<5,即 n2-4n-5<0,解得-1<n<5,又n+1≥2，n∈N,.∴.不等式 A1-5n<5的解集为{1,2,3,4}.故选B. 5.B【解析】方法一（列举法）：根据0的位置分 类，可分为三类：第一类，0在个位上，有2110,1210， 1120,共3个；第二类，0在十位上，有2101,1201， 1102,共3个；第三类，0在百位上，有2011,1021， 1012,共3个.故由这四张卡片可组成不同的四位数的 个数为3+3+3=9.故选B. 方法二（树形图法）：画出树形图如图，可知满足 条件的四位数共有9个.故选B, 第5题答图 6.D【解析】由xA>3A,得 1x[x(x-1)(x-2)]>3x(x-1), {x≥3， x∈N. (60 解得x>3,x∈N,故不等式xA>3A的解集是 {xl>3,xeN.故选D. 7.A【解析】记其余的3位员工分别为a,b,c,由 题意，可知这3位员工只能安排在周三、周四、周五在 办公室办公，所有的安排方法为(ab,ac,bc),(ab, be,ac),(ac,ab,bc),(ac,bc,ab),(bc,ac, ab),(bc,ab,ac),共6种.故选A 8.ACD【解析】根据双阶乘的定义，可得209！× 208!!=(209x207×…×3×1)×(208×206x…×4×2)=209！,故 A正确；208！1=208×206×…×4×2=204×104！，故B错误； 易知208！=208×206×…×10×8×6×4×2能被10整除，则 个位数字为0，故C正确；易知209！=209×207×…×5× 3×1能被5整除，则个位数字为5或0，又209！是奇数， .个位数字为5，故D正确.故选ACD. 9ACD【解标】对于A,A n(-1)！ =nA,放A正确；对于B,A=nmmA= 故B绮误：对于CA n-m 1 n! ·mm!A,故C正确；对于D,A mA=n! mn!(n-mt1)n!tmn(nt1)! Gm！(n-m+1)！ (n-m+1)！ (n+1-m)! =A1,故D正确.故选ACD. 10.1416【解析】由题意，可得，A22-A=58,即 (n+2)(n+1)-n(n-1)=58,解得n=14.故原有车站14个， 现有车站16个. 0≤x≤8， 11.8【解析】由题意，可知 解得2≤ 0≤x-2≤8， 8原不等式可化为88化简得产 19x+84<0,解得7<x<12,..7<x≤8，又x∈N,.x=8. 12.18【解析】从1,2,3,4,5这五个数中每次 取两个不同的数作为A,B的值，有A=20种结果，当 A=1,B=2时和当A=2,B=4时，两直线重合，当A=2, B=1时和当A=4,B=2时，两直线重合，.所得不同直 线的条数是20-2=18. 13.解：(1)5名篮球队员排成一排共有A=5×4× 3×2×1=120种排法 (2)若甲必须站在排头，则有A4=4×3×2×1=24种 排法.N 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时两个计 效果评价 1.用数字0,1,2,3组成没有重复数 字的3位数，其中比200大的有() A.24个 B.12个 C.18个 D.6个 2.某年级要从3名男生、2名女生中选 派3人参加某次社区活动，如果要求至少有 1名女生，那么不同的选派方案有() A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 3.用0,1，…，9这十个数字，可以组 成有重复数字的三位数的个数为() A.243B.252C.261D.279 4.在校园艺术节才艺展示活动中，小明 书写“求真、崇善、唯美”6个字，有2种 不同颜色的笔供小明选择，要求每个字是同 1种颜色且不能只用1种颜色的笔，则不同 的写法共有() A.34种 B.30种 C.62种 D.63种 5.由0,1,2,3,4这五个数字组成的 没有重复数字的三位数中，各位数字之和为 奇数的种数为() A.12 B.16 C.20 D.28 6.用6种不同的颜色 给如图所示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜 第6题图 色，则不同的涂色方法有 () A.240种 B.360种 4 练 数原理的综合应用 C.480种 D.600种 7.一个书架上放置了科普类读物10本， 人文类读物10本，自然类读物9本，每本 书各不相同，从中取出2本不同类别的书， 则不同的取法共有() A.720种 B.29种 C.900种 D.280种 8.(多选题)现有3名老师，8名男同 学和5名女同学共16人，有一项活动需派 人参加，则下列说法中正确的是（) A.若只需1人参加，则有16种不同的 选法 B.若需老师、男同学、女同学各1人参 加，则有120种不同的选法 C.若需1名老师和1名同学参加，则有 39种不同的选法 D.若需3名老师和1名同学参加，则有 56种不同的选法 9.(多选题)已知数字0,1,2,3,4，由 它们组成四位数，下列说法正确的有() A.可以组成500个四位数 B.可以组成96个无重复数字的四位数 C.可以组成66个无重复数字的四位偶数 D.可以组成28个百位是奇数的四位偶数 10.《洛书》古称龟书，传说有神龟出于 洛水，其甲壳上有如图所示 (洛书) 的图象，结构是戴九履一， ◇90000-0000月 左三右七，二四为肩，六八 为足，以五居中，五方白圈 皆阳数，四隅黑点为阴数 (图中白圈为阳数，黑点为 第10题图 阴数)·现利用阴数和阳数构成一个四位数， 规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数， 第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴 一阳和为7，则这样的四位数有 个 11.现有A,B两种类型的车床各一台， 甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作 两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从 这三名工人中选两名分别去操作以上车床， 不同的选派方法有 种 12.某社区计划在该 小区内如图所示的一块空 地布置花卉，要求相邻区 域布置的花卉种类不同， 且每个区域只布置一种花 第12题图 卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同 的布置方案有 种 13.某药品研究所研制了5种消炎药a1, a2,a,a4,a5,4种退烧药b1,b2,b3,b4, 现从中取出2种消炎药和1种退烧药同时使 用进行疗效试验.已知a1,a两种药必须同 时使用，且a3,b,两种药不能同时使用，则 不同的试验方案有多少种？ 第三章排列、组合与二项式定理。 14.将如图所示的A,B,C,D区域按 照下列要求涂色。 A BC D 第14题图 (1)用3种不同的颜色填涂图中A,B, C,D四个区域，且使相邻区域不同色，若 按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色 方案？ (2)若恰好用3种不同的颜色给A,B, C,D四个区域涂色，且相邻区域不同色， 共有多少种不同的涂色方案？ (3)若有3种不同的颜色，恰好用2种 不同的颜色涂完四个区域，且相邻区域不同 色，共有多少种不同的涂色方案？ 练(5 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 15.算盘是中国古代的一项重要发明， 现有一种算盘（如图1），共两档，自右向 左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上 一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨 珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）， 如果拨动图1中算盘的三枚算珠，可以表示 不同整数的个数为() 十位个位 十位个位 图1 图2 第15题图 A.16 B.15 C.12 D.10 (6)练 16.某数学兴趣小组用纸板制作正方体 教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂 色，有红、橙、黄、绿四种颜 色可选，要求制作出的正方体 EF 相邻面所涂颜色均不同，共有 D 种不同的涂色方法. 第16题图