3.1.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

第三章排列、组合与二项式定理。 N 第三章】 排列、组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.1基本计数原理 第1课时两个计数原理及其简单应用 5.a(b+b2)(c1+c2+c3)(d+d2+d3+d4)展开 效果评价 后的项数为() 1.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到 A.10 B.18 C.24 D.36 丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地 6.从1,2,3,4,5,6,7,9中，任 有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法的 取两个不同的数作对数的底数和真数，则所 种数为() 有不同的对数的值有() A.2+4+3 B.2×4+3 A.30个 B.42个 C.2×3+4 D.2x4x3 C.41个 D.39个 2.升旗班中有1人来自高一年级，有3 7.某班联欢会原定的3个节目已排成节 人来自高二年级，有3人来自高三年级，现： 日单，开演前又增加了2个新节目，如果将 从中任选2人参加升旗仪式，则2人来自不：这2个新节目排入节目单中，那么不同的排 同年级的选法种数为() 法种数为( A.12B.15C.20D.21 A.12 B.20 3.现有印有数字0,1,2,6,12,20， C.36 D.120 22,26的卡片，每种卡片均相同且有若干 8.(多选题)如图，用 A 张.若从中任选几张卡片并摆成一排，则数：种不同的颜色涂图中的矩 C 字20220126的摆放方式共有() 形A,B,C,D,要求相邻 A.12种 B.18种 的矩形涂色不同，不同的涂 D C.24种 D.28种 色方法种数记为s(n),则 第8题图 4.现有10元、20元、50元人民币各一 () 张，100元人民币两张，从中至少取一张， A.s(3)=12 B.s(4)=36 共可组成不同的币值种数是() C.s(5)=120 D.s(6)=600 A.15 B.31 9.满足a,b∈{-1,0,1,2}，且关于x C.24 D.23 :的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 (a,b)的个数为() 14.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3, A.14 B.13 4,从A,B中各取1个元素作为点P(x,y) C.12 D.10 的坐标 10.用0,1,2,3,4能组成 (1)可以得到多少个不同的点？ 个可以有重复数字的三位数.（用数字作答） (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 11.某高中寝室有4人，每个人各写了 一张祝福卡片，要求每个人不拿自己写的卡 片，则有 种情况。 12.一个杂技团有8名会表演魔术或口 技的演员，其中有6人会表演口技，有5人 会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表 演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同 的安排方法有 种 13.某单位组织职工义务献血，在体检 合格的人中，O型血的共有1人，A型血的 共有16人，B型血的共有15人，AB型血 的共有12人. (1)从中任选1人去献血，有多少种不 同的选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献 血，有多少种不同的选法？ (2)练 第三章排列、组合与二项式定理。 16.为亮化城市，现在要把一条路上的 提升练习 7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯 15.甲与其四位同事各有一辆私家车，：有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相 车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当：同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的 地某月5日至9日这5天的限行规定（奇数：路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安 日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾：装方法？ 数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行， 每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多 只能用一天，则不同的用车方案的种数为 A.64B.80C.96 D.120 练(3练习手册参芳答案 第三章排列、 "3.1排列与组合 3.1.1基本计数原理 第1课时两个计数原理及其简单应用 效果评价 1.B【解析】从甲地经乙地到丙地，有2×4种走法， 直接从甲地到丙地有3种走法，.从甲地到丙地的不同 走法种数为2x4+3.故选B. 2.B【解析】依题意，选中高一年级的学生有1×6 种选法，高一年级的学生没有被选中有3×3种方法，.·2 人来自不同年级的选法种数为1×6+3×3=15.故选B. 3.B【解析】数字20的摆放方式有2,0或20两 种；数字220的摆放方式有2,2,0或22,0或2,20 三种；数字126的摆放方式有1,2,6或12,6或 1,26三种.由分步乘法计数原理，知数字20220126的 摆放方式共有2x3x3=18种.故选B. 4.D【解析】除100元人民币以外的3张人民币中， 每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法 有不取、取一张和取两张3种情况，再减去5张人民币 全不取的1种情况，·.共有2×3-1=24-1=23种情况.故 选D. 5.C【解析】第二个因式(b1+b2)内含有2个字母 第三个因式(c1+c2+c3)内含有3个字母，第四个因式 (d+d2+d+d4)内含有4个字母，则展开后共有1×2x3× 4-24项.故选C. 6.D【解析】当取1时，则1只能为真数，此时这 个对数的值为0；当不取1时，底数有7种取法，真数 有6种取法，其中1og4=log9,log2=log3,1og23=log49, 1og2=1og4,此时有7x6-4=38个不同的对数值.综上， 共有38+1=39个不同的对数值.故选D. 7.B【解析】分两步：第一步，先排入第一个节目， 有4种方法；第二步，排人第二个节目，有5种方法. 因此不同的排法共有4×5=20种.故选B. 8.AD【解析】当n=3时，分四步：第一步，涂C 参考答案。 组合与二项式定理 处，有3种涂色方案；第二步，涂D处，有2种涂色方 案；第三步，涂A处，有2种涂色方案；第四步，涂B 处，有1种涂色方案.则不同的涂色方法种数为3×2×2× 1=12,s(3)=12,故A正确.当n=4时，分四步：第一 步，涂C处，有4种涂色方案；第二步，涂D处，有3 种涂色方案；第三步，涂A处，有3种涂色方案；第四 步，涂B处，有2种涂色方案.则不同的涂色方法种数 为4x3x3x2=72,.s(4)=72,故B错误.当n=5时，分四 步：第一步，涂C处，有5种涂色方案；第二步，涂D 处，有4种涂色方案；第三步，涂A处，有4种涂色方 案；第四步，涂B处，有3种涂色方案.则不同的涂色 方法种数为5×4x4×3=240,∴s(5)=240,故C错误.当n= 6时，分四步：第一步，涂C处，有6种涂色方案；第 二步，涂D处，有5种涂色方案；第三步，涂A处，有 5种涂色方案；第四步，涂B处，有4种涂色方案.则 不同的涂色方法种数为6x5x5×4=600,.s(6)=600,故D 正确.故选AD. 9.B【解析】由关于x的方程a2+2x+b=0有实数解， 得a=0,b∈R或a≠0，ab≤1.又a,b∈{-1,0,1,2}， 故当a=-1时，b=-1,0,1,2,有4种可能；当a=0 时，b=-1,0,1,2,有4种可能；当a=1时，b=-1,0, 1,有3种可能；当a=2时，b=-1,0,有2种可能.. 由分类加法计数原理，知有序数对(a,b)的个数为4+ 4+3+2=13. 10.100【解析】三位数的百位不能为0，故百位有 4种排法，十位、个位都有5种排法.因此，共能组成 4x5x5=100个可以有重复数字的三位数： 11.9【解析】任何一个人不拿自己写的卡片有3种 情况，取到的卡片对应的人再取也有3种情况，剩余两 个人和两张卡片，其中必有一个属于本人写的卡片，则 只有1种情况.综上，共有9种情况. 12.27【解析】由题可知有2人只会表演魔术，有3 人只会表演口技，有3人既会表演魔术又会表演口技， 先从只会表演魔术的人中选出1人表演魔术有2种选 57 高中数学选择性必修第二册人教B版 择，再从其他的6人中选出1人表演口技有6种选择， 故共有2×6=12种安排方法：从既会表演魔术又会表演 口技的3人中选出1人表演魔术，有3种选择，再从只 会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余 2人中选出1人表演口技，有5种选择，故共有3×5=15 种安排方法.故不同的安排方法有12+15=27种. 13.解：(1)从O型血的人中选1人有1种不同的 选法，从A型血的人中选1人有16种不同的选法，从 B型血的人中选1人有15种不同的选法，从AB型血的 人中选1人有12种不同的选法.由分类加法计数原理， 可知共有1+16+15+12=44种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选1人，由分步乘法计 数原理，可知共有1×16×15×12=2880种不同的选法. 14.解：(1)可分为两类：A中元素为x,B中元 素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×4+ 4×3=24个不同的点. (2)第一象限内的点，即x,y均为正数，.只能取 A,B中的正数，故共有2x2+2x2=8个不同的点位于第 一象限， 提升练习 15.B【解析】5日至9日有3天是奇数日，2天是 偶数日.第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择， 共有2×2=4种用车方案.第二步，安排奇数日出行，分 两类：第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他 车，有3×2×2=12种用车方案；第二类，不安排甲的车， 每天都有2种选择，有2=8种用车方案，故共有12+8= 20种用车方案.根据分步乘法计数原理，不同的用车方 案共有4×20=80种.故选B. 16.解：每种颜色的路灯至少要有2盏，.三种 颜色的路灯的分配情况是2,2,3的形式 不妨设红的路灯有3个，七个位置分别用1,2,3， 4,5,6,7表示，那么红的路灯可以排135,136,137， 146,147,157,246,247,257,357,共10种安装 方法. 135,136,146,247,257,357留下的4个位置， 有2个相邻，不能安装一样颜色的路灯，则这4个位置 有4种安装方法. 147留下的4个位置中，有2个2个相邻，有4种 安装方法. 58 137,157留下的4个位置中，有3个相邻，有2种 安装方法。 246留下的4个位置互不相邻，有6种安装方法. 综上，共有6×4+1×4+2x2+1×6=38种安装方法」 同理，当黄或蓝的路灯有3个时，各有38种安装 方法，故共有3×38=114种不同的安装方法. 第2课时两个计数原理的综合应用 效果评价 1.B【解析】由题意，可知百位数字为2或3，其 他数位在剩余3个数字中选择2个数字排序即可.由分 步乘法计数原理，可知比200大的3位数的个数为2×3× 2=12.故选B 2.D【解析】可按选派的女生人数分为两类：若选 派1名女生，则有2×3=6种不同的选派方案；若选派2 名女生，则有3种不同的选派方案.根据分类加法计数 原理，共有6+3=9种不同的选派方案.故选D。 3.B【解析】由分步乘法计数原理，用0,1，…， 9这十个数字组成的三位数共有9x10x10=900个，其中 无重复数字的三位数共有9x9x8=648个，因此有重复数 字的三位数的个数为900-648=252. 4.C【解析】：每个字的颜色都有2种选择，即分6 步，每步都有2种选法，.不考虑限制条件有2×2x2×2× 2×2=64种不同的写法，用同种颜色的笔写字只有2种写 法，∴要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有 64-2=62种.故选C. 5.D【解析】①不含“0”时，取一个奇数两个偶 数，共有2×3×2×1=12种情况；②含“0”时，另取一个 奇数一个偶数，此时“0”不能排首位，共有2x2x2x2= 16种情况..共有12+16=28种情况.故选D. 6.C【解析】将区域标号， ② 如图所示.·②③④两两相邻，依 次用不同的颜色涂色，则有6x5× ③ ④ 4=120种不同的涂色方法.若①与 第6题答图 ④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的 颜色不相同，则有3种不同的涂色方法..共有120×(1+ 3)=480种不同的涂色方法.故选C. 7.D【解析】若选取的是科普类读物和人文类读物， 则共有10x10=100种取法；若选取的是科普类读物和自 然类读物，则共有10×9=90种取法：若选取的是人文类