3.2 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 及二项式定理的应用 效果评价 1.D【解析】n=6,∴其展开式中有7项，∴.展开 式中二项式系数最大的项为第4项.故选D. 2.C【解析】在(2-x)6=+a(1+x)+a2(1+x)2+…+ a6(1+x)6中，令x-0,得ao+a1+a2+a+a+a+a。=2=64.故选C. 3A解折】aV区广a为常数)的候开 式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，∴.(a-1) 2么解得3，V左jBV八则其 展开式的通项公式为C(GVr左-Cg. (-1x号，令15-5r-0,得3，·该展开式中的常数 6 项为Cx35-×(-1)3=-90.故选A. 4.D【解析】.展开式中只有第6项的二项式系数 最大，.=10，又奇数项的二项式系数之和等于偶数项 的二项式系数之和，.展开式中的奇数项的二项式系数 之和为写2故选D, 5.C【解析】令x=1,得(1+2-1)=64，解得n=6, 则原式=(1+2x-x)6=C8(1+2x)6+C6(1+2x)5(-x2)+…+ C(-2)6,显然只有前两项的展开式中包含x2项.(2x+1)= C8(2x)+C6(2x)卢+…+C8(2x)°，其中含x的项的系数为 C8x23=160;(2x+1)5-=C9(2x)5+C(2x)4+…+C(2x)°，其 中含x的项的系数为Cx2=10.故(1+2x-x2)"的展开式 中含x2的项的系数为C8×160+C6×10x(-1)=100.故选C. 6.A【解析】4)‘的展开式的通项公式为T= C(x(是'Cdx+,由题可知 Cia>Cia, 解得 CaCi.a. 音子放选A 4 7.A【解析】·(1+x)的展开式的通项公式为T4= C,AwCa=C.Bn为(1+x)的展开式中各二项 式系数的和，.Bn=2Am≥Bn,.C1≥2-，即n(n+1） ≥2”.当n=1时，1x2≥2，满足题意；当n=2时，2×3≥ 22,满足题意；当n=3时，3×4≥2，满足题意；当n=4 时，4×5≥24，满足题意；当n=5时，5×6<2，不满足题 意.根据指数函数y=2和二次函数y=x2+x的图象，可知 68 当n≥5时，n(n+1)<2,故正整数n的最大值为4. 8.ACD【解析】对于A,由题知C92+C22+…+C =(1+1)2=22,故A正确；对于B,当x=1时，有a叶 a1+a+…+23=-1,，当x=-1时，有a0-a1+a2-+…+am @=32,则a1a+as+…02=-1+32 2,故B错误； 2 对于C,a+a2+a4+…+2m= 31,故C正确；对于 2 D,(1-2x)2的展开式的通项公式为T,41=Cm(-2x)= (-2CeX,则a=(-2)lCs,a=(-2)2.Ce3,…,2m= (-2y@.C器，六号+受+2++2器=-Ca+Ca-Ce+ …+C-C2=(1-1)23-C2=-1,故D正确.故选ACD. 9.ACD【解析】左边=1+C+C+C-1+6+2×+3x2x 7x6,8x7×6 =84,右边=C9x8x7=84,故A正确.由图可知，第n 3x2x1 行有+1个数字，若n是奇数，则第个和第生+1 2 个数字最大；若n是偶数，则第乃+1个数字最大.故第 2022行最大的数是第1012个数，故B错误.第6行、 第7行、第8行的第7个数分别为1,7,28，其和为 36,第9行第8个数就是36，故C正确.第34行第14 个数是cC心1認n,第4行第15个数是C14 34 341 器--号，放D正确放选ACD 34！ 14!×20！ 10.-280【解析】由题得2=128，解得n=7,则 -是)的展开式的通项公式为工=C是)广 C(-2x4,令7-3=-2，解得=3，故二的系数为C(-2)月 -8x35=-280】 11.aom【解析】由题知n=2023为奇数，且展开式 中的各项的系数的绝对值与各项的二项式系数相等， 展开式中二项式系数最大的项为第+1+1项与第1+1 2 2 项，la1oEa12l,又a42>0,a1o<0,.系数a,a1,…, a2e中最小的是a4o 12.二【解析】第11行中从左至右第5个数与第6 11×10x9x8 个数分别为C,Ci,而S 4x3x2×1 5 Ci11×10x9x8×7 7，第 5x4x3x2x1 1行中从左至右第5个数与第6个数的比值为号 13.解：(1)选条件①.令x=1,得展开式中的所有 项的系数之和为3”，又展开式中的二项式系数之和为 2,3:2-243:32,解得n=5. 选条件②.由题得C+C+C=16,化简，得n2+n-30= 0,∴n=5. ..展开式中的二项式系数最大的项为第3、第4项， 24)的展开式的通项公武为7=C)(2z) C2x0- 则T3=C22x06=80x4,T4=C23x09=40x C2-≥C125-+, (2)由 得1≤r≤2，又r∈N C2-r≥C5125-0, ∴=1或=2，.展开式中系数最大的项为T=C2x0= 80x7,T3=C25-2x0-6=80x4 14.解：(1)令=0，可得a=(-1)0-1. (2)令x=1,可得a+a++…+0=1,a=1,.∴a1+ a2+…+a4o=0. (3)令x=-1,可得a-a+-…+00=(-3)0-310, 又a+a+a2t…+a0l, .2(a+a2+a4+a6+a%+a0)=3I0+1,2(a1+a3+a+a7+a)=1- 30, 又(2x-1)0的展开式的通项公式为T,1=Ca(2x)0 (-1),.当r为奇数时，项的系数为负数， la+la+l++al=3+l+上-3 2+2=3 提升练习 15.62【解析】根据题意，设所求的行数为n∈N, 则存在正整数k,使得C:C:C-3:4:5,即、 n-k+1 子，-青，解得-7，A6配，放第2行会出现满足 条件的三个相邻的数」 16.解：(1)选条件①..第3项与第7项的二项 式系数相等，.C-C,n=2+6=8. 令1，则2x广1.展开武中各项系 数的和为1. 参考答案。 选条件②.：只有第5项的二项式系数最大，乃 4,解得n=8. 令1，则2x1广1，展开式中客项系 数的和为1. 选条件③..·所有项的二项式系数的和为256，.2= 256,解得n=8. 令=1，则2x12-,18 =1=1,展开式中各项系 数的和为1. ②二项式2行∫的根开式的短项公式为几 C(22)(-方y=(-1)2-C5x6子， 依题意，可知当=0,3,6时，二项展开式的项都 是有理项 当=0时，T=256x6；当=3时，T4=-1792x; 当=6时，T=112x2. ∴.展开式中的有理项分别为T=256x6,T4=-1792x, T=112x2 >"阶段性练习卷（二） 1.C【解析】原式=(2+1)-3”故选C 2C【解析】+是)(1+)展开式中含2的项为 Cr+·Cr30,故的系数为30故选C 3.B【解析】（√元+V元）P的展开式的通项公式为 T+=C(V元)P-(Vxy=C6首(0≤r≤12)，6-6 (0≤r≤12)为正整数，有3项，即r=0,r=6,r=12.故 选B. 4C【解析】四-的展开式的通项公式为7 c(m)(1C当=3时，帝数项为 (-1)3cC=-20,解得a=1.故选C. 5.B【解析】由题图知，下一行的数是其肩上两数 的和，，4+a=10,得a=6.故选B. 6.D【解析】由已知得b+1=b[(c-1)+1]+1=+a(x- 1)++a.(x-l)”,a4=C1.b=nb=9,=C2.b=nn=lb= 2 36,n-1=8,n=9,.b=1.故选D. 69第2课时 二项式系数的性质、 效果评价 1.在(2+x)的展开式中二项式系数最 大的项是() A.第3项和第4项 B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项 2.设（2-x)6=a+a1(1+x）+2(1+x)2+…+ a6(1+x)6,则ao+a1++a3+a4+a5+a6=() A.4 B.-71 C.64 D.199 3.已知aVx- 115 (a为常数)的 展开式中所有项的系数之和与二项式系数之 和相等，则该展开式中的常数项为() A.-90 B.-10 C.10 D.90 4.已知(1+x)”的展开式中只有第6项 的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的 二项式系数之和为() A.22 B.24 C.20 D.29 5.（1+2x-x2)n的展开式中各项系数的和 为64，则该展开式中含x的项的系数为 A.-60 B.-30 C.100 D.160 6.已知4°(>0)的展开式中第5 项的系数最大，则a的取值范围是() 第三章排列、组合与二项式定理 杨辉三角及二项式定理的应用 A号多 B告引 c停， D号，引 7.设An为(1+x)的展开式中含x1项 的系数，Bn为(1+x)1的展开式中各项二项 式系数的和，则能使An≥Bn成立的正整数n 的最大值是() A.4 B.5 C.6 D.8 8.(多选题)已知（1-2x)223=a+ax+ ax2+…+22x2,则下列说法中正确的是 () A.展开式中所有项的二项式系数的和 为2202 B.展开式中所有奇次项系数的和为 32023+1 2 C.展开式中所有偶次项系数的和为 32023-1 2 D.号+是+爱++爱器=-1 2 23 9.(多选题)我国南宋数学家杨辉所著 的《详解九章算法》一书中展示了二项式系 数表，数字爱好者对杨辉三角做了广泛的 研究，如图，则下列结论正确的是() 练 21 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 杨辉三角 第0行 1 第1行 11 121 1331 第4行 146 41 第5行 15101051 第6行 16152015.6_1 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 第9行 193684126126843691 第10行，1104512021025221012045101 第11行1115516533046246233016555111 第9题图 A.1+C6+C+C8=C8 B.第2022行中从左向右数第1011个 数最大 C.第6行、第7行、第8行的第7个数 之和等于第9行的第8个数 D.第34行中从左到右第14个数与第 15个数之比为2：3 10.在x是广的展开式中，所有项的二 项式系数之和为128，则1的系数为 11.已知（1-x)223=a+a比+a22+…+ 2x2,则系数a0,1,…,223中最小的 是 12.如图示，在杨辉三角中，第11行 中从左至右第5个数与第6个数的比值为 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 … 第12题图 (22)练 13.在下列两个条件中任选一个条件， 补充在下面问题中的横线上，并完成解答. ①展开式中的所有项的系数之和与二项 式系数之和的比为243：32：②展开式中的 前三项的二项式系数之和为16. 问题：已知二项式2x41”, x, (1)求展开式中的二项式系数最大的项. (2)求展开式中的系数最大的项！ 14.若（2x-1)10=+ax+a2x2+…+aox10, x∈R. (1)求a的值 (2)求a1+a+…+o的值 (3)求lal+a,+lal+…+lad的值. 提升练习 15.在杨辉三角中，每一个数都是它 “肩上”两个数的和，它的开头几行如图所 示.那么，在杨辉三角中，第行会 出现三个相邻的数，其比为3：4：5. 第0行 1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 … 第三章排列、组合与二项式定理。 16.在下面三个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并对其求解。 条件①：第3项与第7项的二项式系数 相等； 条件②：只有第5项的二项式系数最大； 条件③：所有项的二项式系数的和为 256. 问题：在2”ueN)的展开 式中， (1)求n的值与展开式中各项系数的和. (2)这个展开式中是否存在有理项？若 存在，将其一一列出；若不存在，请说明 理由. 练(23