4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 PPw.即.即PN>PM. 变式训练3解：用A,B,C分别表示这三列火车正点 到达的事件，则P(A)=0.8,P(B)=0.8,P(C)=0.9, ∴P(A)=0.2,P(B)=0.2,P(C)=0.1. (1)由题意，得A,B,C之间互相独立，恰好 有两列正点到达的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2x 0.8×0.9+0.8×0.2×0.9+0.8×0.8×0.1=0.352 (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P,=1- P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.2x0.2x0.1=0.996. 数学文化 例B【解析】先求连续两球，甲、乙各赢一个的概率， 不妨设甲先发球，此时可能是甲赢乙赢或者乙赢甲赢， 两球各藏一个的概率为m×号+1-，×7，若 p2=0.5,设打了2n个球，则两人不能结束比赛的概率为 (分广，则两人能在两球后结束比赛的概率为1-（分卜， 与p1无关，∴.命题①错误； 设打了2个球，则两人能在两球后结束比赛的概 率为1-分人，与：无关，命题②错误 不妨设甲先发球，第二球分出胜负，即两球要么 是甲赢，要么是乙赢，∴.第二球分出胜负的概率为 PP2+(1-P1)(1-P2)=1-P1-P2+2印P2,在第二球没有分出胜 负的情况下进而第四球分出胜负的概率是条件概率， 第二球没有分出胜负，说明前两球各赢一个球，其概 率为p1(1-p2)+(1-p1)p2=p1+p2-2pP2,在第二球没有分 出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率为 [p+pr2ppl[pp+l上2p）】=1-p1-p+2pp2,.第 Pr+p2-2p P2 二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下 进而第四球分出胜负的概率相同，.命题③正确： 不妨设甲先发球，第二球分出胜负的概率为 Pp+(1-p1)(1-p2)=1-p1-p2+2pp2,在第2n球没有分 出胜负的概率为 [pm(1-p2)+(1-pup2][pp+(1-p)(1-P2)] [p(1-p2)+(1-p1p2]z =1-p1P+2印P2,∴.第二球分出胜负的概率与在第2n 球没有分出胜负的情况下进而第(2+2)球分出胜负的 42 概率相同，命题④正确.故选B. >n4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 要点精析 例1解：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能 为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量， 也是离散型随机变量： (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0,1,2,3,…,是随机变化的，因此是随机变量，也 是离散型随机变量. (3)2025年5月1日到6月1日期间，所查酒驾的 人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随 机变量，也是离散型随机变量. (4)由于果汁的容量在498~502mL之间波动，是 随机变量，但不是离散型随机变量 变式训练1解：(1)只要取出一张，便有一个号码， 因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机 变量的定义 (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几 种：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑 球、3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随 机变量的定义 (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取 (0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机 变量. (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列 出，不是离散型随机变量. 例2(1)0.7【解析】专可能取值为0,1，当=0时， 表明该射手在本次射击中没有击中目标；当飞=1时，表 明该射手在本次射击中击中目标.这两个事件是对立的， ∴.P(5=1)=1-P(=0)=0.7. (2)解：X的可能取值为0,1000,3000,6000. X=0,表示第一关就没有通过；X=1000,表示第一关通 过，而第二关没有通过；X=3000,表示第一、第二关 通过，而第三关没有通过：X=6000,表示三关都通过. 变式训练2解：(1)X可能取的值为0,1,2,3. (2)X=1表示的事件为“第一次取得次品，第二次 取得正品”· (8RX=0n品 例3C【解析】由表知P(X=1)=P(Y=4),.a+b=4,① P(X=2)=P(Y=7),..2a+b=7,② 由①②，得a=3,b=1,.a+2b=5.故选C. 变式训练30.30.7【解析】当X=2时，Y=2X-3=1, .P(X=2)=P(Y=1)=0.3;当X=4时，Y=2X-3=5, .∴.P(Y=5)=P(X=4)=0.7. 数学文化 例解：(1)当X=1200时，Y=1200x3+1200=4800 (元)· (2)Y=3X+1200 (3)当X≤2000时，Y≤7200， .P(X≤2000)=P(Y≤7200)=0.6， .P(Y>7200)=1-P(Y≤7200)=1-0.6=0.4. 4.2.2离散型随机变量的分布列 要点精析 例1解：由题意，所给分布列如下表. 2 3 4 1 5 5 5 P a 2a 3a Aa 5a (1)由分布列的性质，得a+2a+3a+4a+5a=1,解得 1 a15 (2)方法-：PX≥子-=PX=+PK=号+ PX-10房告+号 方法二：PK≥号=1-P《≤号=15房)-号 变式训练1解：0X<品行X号， 号00-p5Px号-5 2,32 1515-5 变式训练2解：由已知，可得9c2-c+3-8c=1,.9c2 9+20,c=号或c=号检验：当c=号时，x2-c9x (兮日号0,33-号寸0：当号时， 参考答案。 =9x号了子1,3-&3-0（不适合，合去）.放 故所求分布列如下表。 X 0 3 例2解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 了的取值只有0和1两种情况.八-忌-志号， 则PK-0=1-X=Il号号因此X的分布列如下表. X 0 1 P 5 变式训练3解：由题意，知X服从两点分布，P(X=0) 10100·随机变量X的分 二C”=80PX=1D=1282=1 布列如下表 X 0 1 P 99 100 100 例3解：由=25、知对于专取不同的值-2，-1,0， 1,2,3时，m的值分别为-1，分，0，，1，多， 的分布列如下表。 、 0 1 3 2 2 1 1 1 1 12 4 12 6 12 由2=，知对于专的不同取值-2,2及-1,1,2 分别取相同的值4与1，即2取4这个值的概率应是专 取-2与2的概率与上的和，取1这个值的概率应 126 是专分别取-1与1的概米}与弓的和，：的分布列知 43N 高中数学选择性必修第二册人教B版 4.2 随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 例1下列变量中，哪些是随机变量？ 学习目标 哪些是离散型随机变量？并说明理由。 1.通过实例，了解离散型随机变量的 (1)某机场一年中每天运送乘客的 概念。 数量 2.通过实例，理解离散型随机变量与事 (2)某单位办公室一天中接到电话的 件的联系。 次数。 (3)2025年5月1日到6月1日期间所 要点精析 查酒驾的人数， (4)一瓶果汁的容量为(500±2)mL. 要点1随机变量的概念及分类 一般地，如果随机试验的样本空间为2， 而且对于2中的每一个样本点，变量X都 概念 对应有唯一确定的实数值，就称X为一个 随机变量 变式训练1 随机变量一般用大写英文字母X,Y, 指出下列随机变量是不是离散型随机变 表示 Z,…或小写希腊字母专，刀，，…表示 量，并说明理由。 取值随机变量的取值由随机试验的结果决定 (1)从10张已编好号码的卡片(1号到 10号)中任取一张，被取出的卡片的号数. 取值随机变量所有可能的取值组成的集合，称 范围为这个随机变量的取值范围 (2)一个袋中装有5个白球和5个黑 球，从中任取3个，其中所含白球的个数. 离散型随机 随机变量的所有可能取值可以 (3)某林场的树木最高达30m,则此 变量 列举出来 分类 林场中树木的高度， 连续型随机 随机变量的取值范围包含一个 (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与 变量 区间，不能一一列举出来 规定的外径尺寸之差. 思考随机变量与随机试验的结果的 关系是怎样的？ 40)学 第四章概率与统计。 反思感悟 川要点2随机变量的取值及其表示的事件： 随机变量的取值及表示的事件问题的 随机变量与事件的关系：一般地，如果 关注点： X是一个随机变量，a,b都是任意实数，那 (1)关键：明确随机变量的所有可能 么X=a,X≤b,X>b等都表示事件，而且： 取值，以及取每一个值时对应的意义，即 (1)当a≠b时，事件X=a与X=b互斥； 一个随机变量的取值可能对应一个或多个 (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此 随机试验的结果 P(X≤a)+P(X>a)=1. (2)注意：解答过程中不要漏掉某些 例2(1)射手对目标进行射击，击中 试验结果 目标得1分，未击中目标得0分，该射手在 (3)公式：互斥事件与对立事件的概 一次射击中的得分用飞表示，已知P(飞=0)= 率公式」 0.3,则P(5=1)= (2)某人参加一次比赛，比赛共设三 ⑧变式训练2 关，第一、第二关各有两个必答题，如果每 盒中有9个正品和3个次品零件，每次 关两个问题都答对，可进入下一关，第三关： 从中取一个零件，如果取出的是次品，则不 有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯： 再放回，直到取出正品为止.设取得正品前 关成功.每过一关可一次性获得价值分别为： 已取出的次品数为X. 1000元、3000元、6000元的奖品（不重复 (1)写出X的所有可能取值. 设奖)，用X表示此人所获奖品的价值，写出 (2)写出X=1所表示的事件. X的所有可能取值及每个值所表示的事件」 (3)求X=1的概率. 学 41 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点3随机变量之间的关系 数学文化 般地，如果X是一个随机变量，a,b 例某快递员按下述方式获取税前月工 都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机： 资的底薪1200元，每送一件商品获取3 变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此 元，从该快递公司中任取一名快递员，设其 P(X=t)=P(Y=at+b). 月送商品件数为X件，获取的税前月工资为 例3已知随机变量X与Y的不同取值：Y元 及对应的概率如下表，则a+2b等于( (1)当X=1200时，求Y的值 X (2)写出X,Y之间的关系式 1 2 (3)若P(X≤2000)=-0.6，求P(Y>7200) P(X) 0.4 0.6 的值 Y=aX+b 4 7 P(Y) 0.4 0.6 A.3 B.4 C.5 D.6 B变式训练3 把下表补充完整. 表1 X 2 P(X) 0.7 表2 Y=2X-3 1 P(Y) 0.3 42)学