4.1.1 条件概率-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 第四章 概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.1条件概率 例1(1)把一枚质地均匀的硬币投掷 学习目标 两次，事件A=“第一次出现正面”，B=“第二 1.通过对具体情境的分析，了解条件概 次出现正面”，则P(BA)= 率的定义， (2)集合A={1,2,3,4,5,6),甲、 2.掌握简单的条件概率的计算问题！ 乙两人各从A中任取一个数，若甲先取（不 3.能利用条件概率公式解决简单的实际： 放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下， 问题 求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 要点精析 要点1条件概率 名称 定义 符号表示 计算公式 般地，当事件B 发生的概率大于0 P(AIB)= P(A∩B) 条件（即P(B)>0)时，已 P(AIB) P(B) 概率知事件B发生的条 P(B)>0 件下事件A发生的 概率，称为条件概率 思考P(BA)和P(AIB)的意义相同吗？ 30)学 第四章概率与统计。 B变式训练① 变式训练② 若本例(2)改为：甲先取（放回），乙 某个班级共有学生40人，其中团员有 后取，若事件A:“甲抽到的数大于4”；事： 15人.全班分成四个小组，第一小组有学生 件B:“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求： 10人，其中团员有4人.如果要在班内任选 P(BIA). 1人当学生代表 (1)求这个代表恰好在第一小组的概率， (2)求这个代表恰好是团员代表的概率. (3)求这个代表恰好是第一小组团员的 概率. (4)现在要在班内任选1个团员代表， 问这个代表恰好在第一小组的概率. 反思感悟 条件概率的题目原型与求解方法： (1)题目原型：在题目条件中，若出 现“在…发生的条件下…发生的概率” 时，一般可认为是条件概率。 (2)求解方法： ①在原样本空间中，先计算P(A∩B), P(A),再利用公式P(BA)=P4∩B计算 P(A) 求得P(BA); ②若事件为古典概型，可利用公式 P(BA)=n4∩B),即在缩小后的样本空间 n(A) 中计算事件B发生的概率。 学(31 高中数学选择性必修第二册人教B版 髓，如图是《易经》后天八卦图（含乾、 川要点2条件概率的实际应用 坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一 例2一批同型号产品由甲、乙两厂生 卦可以看作由三根线组成（这里把一看作一 产，产品结构如下表： 根阳线，--看作一根阴线)，从八卦中任取 生产数量 两卦，记事件A=“两卦的六根线中恰有两 等级 根阳线”，B=“有一卦恰有一根阳线”，则 甲厂 乙F 合计 P(AIB)=（ 合格品 475 644 1119 离 次品 25 56 巴 合计 500 700 1200 从这批产品中随意地取一件，则这件产 品恰好是次品的概率是 已知取出 的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次 心 品的概率是 反思感悟 图4-1-1 条件概率实际应用问题的关注点： A 5 B. (1)关键：理清条件和结论，建立条 6 件概率模型， D (2)注意：B∩A事件的含义. (3)公式：P4IB)=P(AnB) 变式训练4 P(B) P(BA)=P(AOB) 某社区活动中心打算周末去照看养老院 P(A) 的老人，现有4个志愿者服务小组甲、乙、 丙、丁，和4个需要帮助的养老院可供选 B变式训练③ 择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事 晚会后，甲、乙、丙等五人站成一排合 件A=“4个志愿者小组去的养老院各不相 影留念，已知甲、乙二人相邻，则乙、丙二 同”，事件B=“小组甲独自去一个养老 人相邻的概率是 院”，则P(AIB)=() 数学文化 A司 B 例1《易经》是中国传统文化中的精 C.4 D哥 32)学参考答案。 (2)设第(k+1)项系数的绝对值最大，则 -C6+9C692℃6+9℃++9C81 9 C24≥C82-, 解得 3 =(1+9)0-1100-1 C2≥C82 又k∈{1,2,3，…，9}， k≥19 9 9 3 变式训练4解：(1)由题意，得2-1024，n=10,. k=7.当k=7时，Ts=-15360x言，又：当k=0时，T= 展开式的通项公式为T4=C6(V无)0(-无)=-(-1)C: x,当k=10时，1=(-2)9x号=1024号，系数的 学=-1yca片k-0,1,,10),令5名eZ. 绝对值最大的项为T,=-15360x云」 得k=0,6..有理项为T=C9x=x,T=Cx=210x4 (3)原式=10+9C+81Ci+…+90-C8 (2)C+C1=C1,.C1=C1-C,2项的系数为 =9C+92C+9Ci+…+90C18 C+C+…+C=(C8-C)+(C-C)+…+(Ci-Ci)=Ci-C= 164 第四章 概率与统计 >"4.1条件概率与事件的独立性 P)号古 变式训练2解：设A=“在班内任选1名学生，该学生 4.1.1条件概率 属于第一小组”，B=“在班内任选1名学生，该学生是团员”. 要点精析 )Pa)-8 例1(I)【解析】()：事件A所包含的基本事 件有（正，正），（正，反），事件A∩B所包含的基本 (2)P(B)=153 408 事件有（正，正），PA)子，P1nB)=4P)= 3)ranB)奇0 1 (4)方法一：P4B)=PAnB)-10_4 P(A) P(B) 315 4 (2)解：将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a, 方法二：PAB)=n(AnB)=4 n(B)15 b),甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4), 例2 400 0【解析】从这靴产品中随意取一件，则 (3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,6),共15个样本点.在这15个样本点 这件产品恰好是次品的展率是0品 中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)， 方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产 (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4), :品恰好是次品的概率是2点=1」 50020 (3,5),(3,6),(5,6),共9个样本点，.所求概 方法二：设事件A=“取出的产品是甲厂生产的”， 率r 事件B=”取出的产品为甲厂的次品”，则P4)0了 变式训练1解：甲抽到的数大于4的情形有(5,1)， (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), P1nB)0,∴这件产品恰好是甲厂生产的次品的 (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), 概率是PBA)=PAnB)=L (6,6),共12个样本点，其中甲、乙抽到的两数之和 P(A)20 等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个样本点.： 变式训练3子【解析】设“甲、乙二人相邻”为事件 39 高中数学选择性必修第二册人教B版 A,“乙、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B4),:品，事件C为废品，则2=AUB,且A,B互斥 而A袋-号，4nB表示事件甲、乙且乙、丙阳 D由题意，得Pa-8号，PB)-动号 505 1 A=10,于是P(B4)=10-1 邻”，故PAnB)=2A=1 P(CM)=0,P(CB)=办由全概率公式，得P(C) 2 4 5 P(A)P(CA)+P(B)P(CAB)=125 数学文化 30x1005 20x120 例1B【解析】由八卦图，可知八卦中全为阳线和全 (2)P1)-30x10+20x1209,PB)-30x100+20120 为阴线的卦各有一个，两阴一阳和两阳一阴的卦各有三 -号，rC1)品PCB)六由全概率公式，得PC 个，而事件A所包含的情况可分为两种，即第一种是取 到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；第二种是 PA)rCM+PPR)-号×a+号×分S 两卦中均为一阳两阴：而事件A∩B中只包含后者，即 例3解：设事件A表示“射手能通过选拔进人比赛”· PAn-号-京·事作B的概率P)=1-名-号 设事件B:表示“射手是第i级射手”(=1,2,3)，显然， C814 n-B++A,且PB)-8}Pa-8号，Pa ·PAIB)=28=1 96,故选B. 1 20,P(AIB,)-0.9,PAIB)-0.7,PAIB,)=05.由全概率 7 变式训练4A【解析】由题意，P(4)=A P(A0B)= 公式得到P(A)=P(AB)P(B)+P(AIB2)P(B2)+P(AIB)P(B) -09x号407x号+05x7068 (A).)) A 442 变式训练3解：(1)从甲箱中任取2个产品的样本点 P(B) 4×339 44 有C:=8?-28个，这2个产品都是次品的样本点有C 2 4.1.2乘法公式与全概率公式 要点精析 =3个，·这2个产品都是次品的概率为 28 例10.4【解析】记“射中第一个目标”为事件A, (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正 “射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B4)=0.5. 品”，事件B为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事 ∴P(AB)=P(B4)P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的 件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B,为 概率为0.4. “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B、事件 变式训练1【解析】设A,(=1,2)为第i次抽到 到；B。事件B3彼此互斥.P(B)=C=4,P(B)=CCI5 C28 合格品的事件，则有P百A,PiA)品器 Pa=-最P4B=号.P4A=号，P4B= 1 号，P4)-PB,)PAIB,)+PB,)PAIB,)+PB,PAB,)= 例2解：如果用A,A2分别表示居民所遇到的一位同： 5×2+15×5+3×4-7 14328928912 学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则2 例4解：记事件A=“该产品为甲厂生产的”，事件A2三 AUA2,且A1,A2互斥，BC2,由题意，可知P(A)= &a专，且rA “该产品为乙厂生产的”，事件A=“该产品为丙厂生产 3,P(B4,)= 3·由全概率 的”，事件B=“该产品是次品”，则2=A,UA2UA3,且 公式可知 A1,A2,A3两两互斥，由题设，知P(A)=45%,P(A2)= P(B)-P(A)P(BA)+P(A2)P(BA2)=5x3+3x1=1 35%,P(A3)=20%,P(BLA)=4%,P(BA2)=2%,P(BA3) 8x5+832 =5%. 变式训练2解：记事件A,B分别为甲、乙两厂的产： 40