4.3.1 第2课时 相关系数与非线性回归方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时 相关系数 学习目标 1.了解非线性回归模型 2.会把非线性回归模型转化成线性回归 模型解决实际问题， 要点精析 川要点1幂函数回归模型 非线性回归方程：非线性回归方程的曲 线类型可以通过作出散点图进行猜测，回归 方程有时可以通过变量替换后，借助求回归 直线的过程确定.当然，确定了非线性回归 方程之后，也可以利用它进行预测. 温馨提示 一般地，有些非线性回归模型通过变： 换可以转化为线性回归模型，即借助于线 性回归模型研究非线性回归模型」 例1某电器企业统计了近10年的年利 润额y(千万元)与投入的年广告费用x (十万元)的相关数据，散点图如图，对数 据作出如下处理：令u,=lnx,v=lny,得到相 关数据如表所示. 30.5 的 15 46.5 年利润额/千万元 10 8 6 44 24681012141618202224262830 年广告费用/十万元 图4-3-3 70)学 与非线性回归方程 (1)从①y=bx+a,②y=mx(m>0,k>0) 两个函数中选择一个作为年广告费用x和年 利润额y的回归类型，判断哪个类型符合， 不必说明理由 (2)根据(1)中选择的回归类型求出y 与x的回归方程， 参考公式：6=白 (u-i)0-y -a=y-b1. 反思感悟 幂函数型y=ax(n为常数，a,x,y均 取正值)， 两边取常用对数lgy=lg(ax),即lgy= nlgx+lga, Yg,原方程变为y=nx+lga,然 令 Ix'-Igx, 后按线性回归模型求出n,lga. 变式训练① 某公司对某产品做市场调研，获得了该 产品的定价x(单位：万元)和一天销售量 y(单位：t)的一组数据，制作了如下的数 据统计表，并作出了散点图.表中=1 2 0.33 10 3 0.164 100 68 350 (1)根据散点图判断， y=a+bx与y=c+hx1哪一个 更适合作为y关于x的回 归方程.（给出判断即可， 图4-3-4 不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果，试建立y 关于x的回归方程 参考公式：回归方程y=bt+a,其中6= 2a-0) 立w- ，a=y-6. 2- 第四章概率与统计。 川要点2指数函数回归模型 例2下表是2014年至2021年中国高 铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高 铁近几年的飞速发展 年份 年份代码x 运营里程y万公里 2014 1 1.3 2015 2 1.6 2016 1.9 2017 4 2.2 2018 5 2.4 2019 6 2.9 2020 > 3.5 2021 P 3.9 根据以上数据，回答下面问题. (1)甲同学用曲线y=bx+a来拟合，并 算得相关系数=0.97，乙同学用曲线y=ce 来拟合，并算得转化为回归直线方程所对应 的相关系数r2=0.99,试问哪一个更适合作为 y关于x的回归方程类型. (2)根据(1)的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程.（系数精确到0.01） 参考公式：回归直线方程=bx+a中， 6空s)0 -a=y-bx; 立印 参考数据：y=2.48, 多x-)0g-5)150. -=4200 学(71 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 令w=lny,0=0.84, ∑-)m-o-60. 2(wm)=1.01.e1.13 反思感悟 指数型函数y=er和的处理方法：两边 取对数得lny=Ineta,即lny=bx+a.令z=lny, 把原始数据(x,y)转化为(x,),再根 据线性回归模型的方法求出a,b. (72)学 B变式训练② 对于指数曲线y=aex,令u=lny,c=lna, 经过非线性回归分析之后，可以转化成的形 式为() A.u=b+cx B.u=c+bx C.y=b+cx D.y=c+bx 川要点3对数函数回归模型 例3以下是2017年至2023年某村村 民每户平均可支配收入的统计数据 年份 2017201820192020202120222023 年份代码x 1 2 3 4 6 7 每户平均可 支配收入 22 26 29 31 32 y/千元 根据以上数据，绘制如图所示的散点图： y户均可支配收入千元 60 .1--1--1--1--- 50 --↓---1--}-------- 30 20 10 ---- 01234567年份代码 图4-3-5 (1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+ dnx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入 y(千元)关于年份代码x的回归方程模型 (给出判断即可，不必说明理由)，并建立y 关于x的回归方程（结果保留1位小数）· (2)从2017年至2023年中任选两年， 求事件A：“恰有一年的每户平均可支配收 入超过22（千元）”的概率. 参考数据：共中4=h,=号∑4 参考公式：回归直线方程=bx+a中， ∑(x-x)(0-） 6= a-y-bx. 立时 > 22.7 1.2 759 235.1 13.2 反思感悟 对数型函数y=blnr+a的处理方法：设 x'=lnx,原方程可化为y=bx'+a,再根据线 性回归模型的方法求出a,b. 第四章概率与统计。 变式训练③ 下列数据符合的函数模型为() 1 2 3 4 5 6 8 9 10 22.69 33.383.63.8 4 4.084.24.3 A.y=2+1 B.y=2e C.y=2e D.y=2+Inx 学(73高中数学选择性必修第二册人教B版 62+82=145, ∑=344+5+6+7135. 139-5x5x5 V145-5×5×V135-5x5 =7V2≈0.9899，故 10 0.75<<1,认为y与x线性相关性很强. 立对5网 (2)由(1)知6= 139-5x5x5-0.7,又 145-5×52 i=1 x=y=5,a=yx=5-0.7x5=1.5,故y关于x的回归直线方 程为y=0.7x+1.5,当x=10时，y=0.7×10+1.5=8.5,即10 年的失效费用估计为8.5万元. 变式训练7(1)D(2)0.3【解析】(1)越接近 1,相关性越强.故选D. (2)r 立-10网 V2-eV2-g 237-10x2.8×7.5 V3034-1028×V5985-10x75-03. 第2课时相关系数与非线性回归方程 要点精析 例1解：(1)由散点图，知年广告费用x和年利润额 y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x 呈正相关..选择回归类型y=mx更好. (2)对y=mx两边取自然对数，得ny=lnm+lnc, v=ny,u=nx,则v=nm+ku,由表中数据，得 Σ-1e = 30.5-10x1.5×1.51 46.5-10x1.5×1.53’ mm--u=15-151m .年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=ex 变式训练1解：(1)根据散点图，知y=c+kx更适合 作为y关于x的回归方程. r10时 (2)令=1，则y=+hz,则= 10 52 N 350-10x3x10-5,c=y-a=-5,=-5+5, 100-10x32 y关于x的回归方程为y=-5+三 例2解：(1)0<<2<1，∴y=ce更适合作为y关于 x的回归方程类型， (2)=1+2+3+45+6+7+8_36=45,由)=ce*,得 8 Iny=Inc+dx,w=Inc+dx, 立k-xu-0）-65-0.15, 则 ∑k- 42 nc-0-d-0.842x45014, .y=ce=ealeals=1.15e0s 变式训练2B【解析】u=lny=ln(aer)=lna+lne-lna+bx→ =C+bx,故选B. 例3解：(1)根据散点图，知y=c+dnx更适宜作为每 户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方 ∑4y-7y 程模型.由已知数据，得d=司 u-0- u- ∑-7m = 235.1-7x12x227≈14.2，故c=y-1m≈2.7-14.2×1.2≈ 13.2-7×1.2×1.2 5.7,故y关于x的回归方程为y=5.7+14.2nx. (2)由题意，知2017年到2023年共7年，其中一 年的每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰 有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为 P(A)=CIC=4 C号7 变式训练3D【解析】分别将x值代入解析式判断，知 满足y=2+lnx. 4.3.2独立性检验 要点精析 例1解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为 概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为20000× 40=4000. 200 (2)由题意可得2x2列联表如下.