4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

0.1359-0.8185..果实横径在[75,90)内的概率为 0.8185.故选C >“4.3统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时相关关系与回归直线方程 要点精析 例1解：(1)是函数关系.(2)是相关关系. (3)是相关关系 变式训练1C 例2D【解析】由题意，知A表示圆的周长与半径之 间的关系C=2mr,B表示球的体积与半径之间的关系V= 4r,C表示角度与它的正弦值之间的关系y=sin,都 3 是确定的函数关系，只有D是相关关系，故选D 变式训练2D【解析】函数关系与相关关系都是指两个 变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系 是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性 的关系.A选项中，V=d,B选项中，y=tana,C选项 中，y=ax(a>0,且a为常数)，∴.这三项均是函数关系. D项是相关关系 例3解：统计学意义上“最好”指的是所有误差平方 和最小的直线 变式训练30.92【解析】由题意，得x=4,y=5,又 (x,y)在直线=1.02x+a上，∴.=5-4×1.02=0.92. 例4解：散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出 散点图如图 120叶身高 110 100 80 04 1 4了6年龄 例4题答图 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关。 变式训练4AC【解析】A,C中的点分布在一条直线 附近，适合线性回归模型. 例5图1 参考答案。 变式训练5B【解析】越大，拟合效果越好，故选B. 例6解：(1)散点图如图所示. y4物理成绩 90H 80 70 60 657075808590 数学成绩 例6题答图 (2)写×(8+76+73+6+63)=732 =写×(78+65+71+6461)-678 ∑xY=88x78+76x65+73x71+66x64+63x61-2505 288+76+73+6+63-27174 ∑w-5 /25054-5×73.2x67.8≈0.625， 27174-5×73.22 a=y-6x≈67.8-0.625x73.2=22.05.∴y对x的回归直线 方程是y=0.625x+22.05. (3)x=96,则y=0.625×96+22.05≈82，即可以预测他 的物理成绩是82. 变式训练6解：作出散点图（图略），观察散点图可知 这些点散布在一条直线的附近，故可知x与Y线性相关 x=22+20+18+16+14_-18,y=37+41+43+50+56-45.4, 5 5 立r5网 ·b=i 3992-5×18×45.4=-2.35, -5x 1660-5×182 i1 a=45.4-(-2.35)×18=87.7..回归直线方程为y=-2.35x+ 87.7. 例7解：（)由表知，=行×24+56+8)5，=行× (3+4+5+6+7)=5， 0=2x3+44+5x5+6x6+8x7=139,∑=2+44 51 高中数学选择性必修第二册人教B版 62+82=145, ∑=344+5+6+7135. 139-5x5x5 V145-5×5×V135-5x5 =7V2≈0.9899，故 10 0.75<<1,认为y与x线性相关性很强. 立对5网 (2)由(1)知6= 139-5x5x5-0.7,又 145-5×52 i=1 x=y=5,a=yx=5-0.7x5=1.5,故y关于x的回归直线方 程为y=0.7x+1.5,当x=10时，y=0.7×10+1.5=8.5,即10 年的失效费用估计为8.5万元. 变式训练7(1)D(2)0.3【解析】(1)越接近 1,相关性越强.故选D. (2)r 立-10网 V2-eV2-g 237-10x2.8×7.5 V3034-1028×V5985-10x75-03. 第2课时相关系数与非线性回归方程 要点精析 例1解：(1)由散点图，知年广告费用x和年利润额 y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x 呈正相关..选择回归类型y=mx更好. (2)对y=mx两边取自然对数，得ny=lnm+lnc, v=ny,u=nx,则v=nm+ku,由表中数据，得 Σ-1e = 30.5-10x1.5×1.51 46.5-10x1.5×1.53’ mm--u=15-151m .年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=ex 变式训练1解：(1)根据散点图，知y=c+kx更适合 作为y关于x的回归方程. r10时 (2)令=1，则y=+hz,则= 10 52 N 350-10x3x10-5,c=y-a=-5,=-5+5, 100-10x32 y关于x的回归方程为y=-5+三 例2解：(1)0<<2<1，∴y=ce更适合作为y关于 x的回归方程类型， (2)=1+2+3+45+6+7+8_36=45,由)=ce*,得 8 Iny=Inc+dx,w=Inc+dx, 立k-xu-0）-65-0.15, 则 ∑k- 42 nc-0-d-0.842x45014, .y=ce=ealeals=1.15e0s 变式训练2B【解析】u=lny=ln(aer)=lna+lne-lna+bx→ =C+bx,故选B. 例3解：(1)根据散点图，知y=c+dnx更适宜作为每 户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方 ∑4y-7y 程模型.由已知数据，得d=司 u-0- u- ∑-7m = 235.1-7x12x227≈14.2，故c=y-1m≈2.7-14.2×1.2≈ 13.2-7×1.2×1.2 5.7,故y关于x的回归方程为y=5.7+14.2nx. (2)由题意，知2017年到2023年共7年，其中一 年的每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰 有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为 P(A)=CIC=4 C号7 变式训练3D【解析】分别将x值代入解析式判断，知 满足y=2+lnx. 4.3.2独立性检验 要点精析 例1解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为 概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为20000× 40=4000. 200 (2)由题意可得2x2列联表如下.第四章概率与统计。 4.3 统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时 相关关系与回归直线方程 关关系，否则不具有线性相关关系. 学习目标 例1思考并判断下列哪些是函数关系， 1.会利用散点图判断两个变量之间是否 哪些是相关关系 具有相关关系！ (1)圆的面积S与半径r之间的关系. 2.会求回归直线方程。 (2)商品销售量Q与销售价格P之间的 3.理解相关系数 关系 (3)平均学习时间t与学习成绩f之间 要点精析 的关系 川要点1相关关系与散点图 1.散点图：一般地，如果收集到了变量 x和变量y的n对数据（简称为成对数据）， 则在平面直角坐标系xOy中描出点(x,y), i=1,2,3,…,n,就可以得到这n对数据 的散点图 2.线性相关：如果变量x与变量y之间 的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称 x与y线性相关， 3.正相关与负相关 正相关 负相关 变式训练1 一个变量增大，另一个 一个变量增大，另一个 变量大体上也增大 变量大体上减小 对于变量x与y,当x取值一定时，y的 取值带有一定的随机性，x,y之间的这种非 温馨提示 确定性关系叫作() 画出散点图，若各点大致分布在一条 A.函数关系 B.线性关系 直线附近，就说明这两个变量具有线性相：： C.相关关系 D.回归关系 学 65 高中数学选择性必修第二册人教B版 例2下列两个变量之间是相关关系的 关系（可利用散点图来判断），否则求出的 是( 回归直线方程无意义： A.圆的周长与半径之间的关系 (2)回归直线一定过点(x,y) B.球的体积与半径之间的关系 例3散点图如图所示，可先在图中作 C.角度与它的正弦值之间的关系 ·条直线，使得成对数据构成的点分布在直 D.降雪量与交通事故的发生率之间的： 线的附近，满足什么条件的直线是“最好” 关系 的呢？ 反思感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关 关系是一种不确定关系，具有随机性；函 数关系是一种因果关系，而相关关系不一 12345.67 图4-3-1 定是因果关系，也可能是伴随关系 B变式训练② 下列两个变量间的关系不是函数关系的 变式训练3 是( 已知x,y的取值如下表 A.正方体的棱长与体积 2 3 5 6 B.角的度数与它的正切值 2.7 4.3 6.1 6.9 C.单产为常数时，土地面积与粮食总 产量 从散点图分析y与x具有线性相关关系， D.日照时间与水稻的单位产量 且回归直线方程为y=1.02x+a,则a 川要点2回归直线方程 例4某男孩的年龄与身高的统计数据 如下 回归直线方程：=x+a称为y关于x的 年龄岁 2 3 4 6 回归直线方程（对应的直线称为回归直 身高/cm 78 87 98 108115120 2（x-00- 线).= 画出散点图，并判断它们是否有相关关 系.如果有相关关系，是正相关还是负相关？ a=y-x.其中，6称为回归系数. 温馨提示 (1)用最小二乘法求回归直线方程的 前提是先判断所给数据是否具有线性相关 66)学 第四章概率与统计。 反思感悟 的r称为线性相关系数（简称相关系数）· 判断两个变量x和y间是否具有线性 2.相关系数的性质 相关关系，常用的简便方法就是绘制散点 I≤1，且y与x正相关的充要条件是r> 性质1 图.如果图上发现点的分布从整体上看大 0,y与x负相关的充要条件是r<0 致在一条直线附近，那么这两个变量就是 越小，两个变量之间的线性相关性越 线性相关的，注意不要受个别点位置的 性质2 弱，越大，两个变量之间的线性相关 性越强 影响 性质3 I=1的充要条件是成对数据构成的点都 变式训练④ 在回归直线上 (多选题)以下四个散点图中，两个变 温馨提示 量的关系适合用线性回归模型刻画的是 r越接近1，y与x之间的线性相关性 越强 例5下列哪一个图的线性相关关系强 -些？ 图1 图2 图4-3-2 川要点3相关系数 1.相关系数：统计学里一般用 2x-0- 变式训练5 V∑x-∑-9 已知两个变量x,y之间具有相关关系， 现选用a,b,c,d四个模型得到相应的回 ∑xy-n 归直线方程，并计算得到了相应的相关系数 r值分别为1a=0.80,b=0.98,r=0.93,ra= V∑-nm∑-网 0.86,那么拟合效果最好的模型为() 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里 A.a B.b C.c D.d 学 67 高中数学选择性必修第二册人教B版 例6某班5名学生的数学和物理成绩 如下表. 变式训练6 学生 在一段时间内，某网店一种商品的销售 A D 成绩 价格x(元)和日销售量y(件)之间的一 数学成绩分 88 76 73 66 63 组成对数据如下表 物理成绩y分 78 65 71 64 61 价格x/元 22 20 18 16 14 (1)画出散点图. 日销售量y/件 37 41 43 50 56 (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归 求出y关于x的回归直线方程 直线方程。 参考数据： (3)一名学生的数学成绩是96，试预测 392,160 他的物理成绩。 要点4相关系数 反思感悟 求线性回归直线方程的步骤： 例7某种机械设备随着使用年限的增 (1)列表，y,xy:以及x. 加，使用功能逐渐减退，使用价值逐年减 (2)计算x,y, , 小，通常把它使用价值逐年减小的“量”换 算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备 (3)代入公式计算B,a的值，公式为 的使用年限x(单位：年)与失效费y(单 ∑- 位：万元)的统计数据如表所示， 6= i= 使用年限x 5 Sew 失效费y a-y-bx. (1)根据上表数据，计算y与x的相关 (4)写出回归直线方程y=a+6x. 系数r,并说明y与x的线性相关性的强弱. 68)学 第四章概率与统计。 (已知：0.75≤r≤1，则认为y与x线 性相关性很强；0.3≤rl<0.75,则认为y与x 变式训练⑦ 线性相关性一般；<0.3，则认为y与x线 (1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 性相关性较弱) A,B两变量的线性相关性做试验，并用回 (2)求y关于x的回归直线方程，并估 归分析方法分别求得相关系数r如下表， 算该种机械设备使用10年的失效费. 甲 乙 丙 入 2k-0-列 0.82 0.78 0.69 0.85 参考公式： 则哪位同学的试验结果体现A，B两变 ∑w-n 量有更强的线性相关性() A.甲 B.乙 V空-eV空- C.丙 D.丁 (2)一唱片公司研究预支出费用x(十 -i0-）】 6= 万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系， 从其所发行的唱片中随机抽选了10千张， a=y-bx. 得到如下的资料： 2=28,=304. 10 10 y=5985,∑=237，则)y 与x的相关系数 反思感悟 求相关系数的注意点： (1)一般情况下，题目会给出求相关 系数的公式，注意代入计算。 (2)特别地，当=±1时，说明所有散 点均在一条直线上 学(69