4.2.5 正态分布-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 则f(2)-f3)=(兮)于-(3)产<0，当k≥3时，fk+1) 太-（本应， 令gx)=-(x≥3)，g(x)=,当x≥3时， g'(x)>0,则g(x)在[3，+∞)上单调递增， 则当≥3时，一<h(+1).即名)产< (中)应，则当k≥3时.+1))0，则f23) >f4)>f5)…,即当k=3时，f(k)有最大值，最大值为 f3)1-3)】 4.2.5正态分布 要点精析 例1(1)202(2)BCD【解析】(1)从给出的 正态曲线，可知该正态曲线关于直线x=20对称，最大 2V元，u=20,1 值是1 -1 σV2m2Vπ ，解得σ= V2,因此总体的均值u=20,方差=(V2)P=2. (2)由题中图象，可知三科总体的平均数（均值） 相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态 曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科 总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 变式训练1ABD【解析】只有C错误，当u一定时， 曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体 分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分 散.故选ABD. 例2解：N(1,2),=1,=2. (1)P(-1≤E≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2) =Pu-0≤车≤+）≈0.683. (2)P(3≤5≤5)=P(-3≤5≤-1)，.P(3≤≤5)= [P(-3≤5≤5)-P(-1≤≤3)]=7[P(1-4≤≤1+4) P(1-2≤5≤1+2)]=7[P-2a≤5≤+2o)-Pu-o≤5≤ u+o)]=号×0.954-0.683)-0.1355. 变式训练2解：P⑤5)-P5-3)=[1-P(-3≤5≤5)] =2[1-P1-4≤5≤1+4)] 50 =[1-Pu-2≤6≤4+2n7 =7x1-0954)-023. 变式训练3C【解析】随机变量专服从正态分布 N(2,2),u=2,对称轴是专=2.P(5<4)=0.8, .P(5≥4)=P(5≤0)=0.2，∴.P(0<ξ<4)=0.6，.P(0<ξ<2)= 0.3.故选C. 例3解：(1)X-N(20,4),=20,=2,-0= 18,u+o=22,于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百 分比大约是68.3%. (2)u-30=14,u+30=26,u-2=16,u+2=24, 尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是 99.7%-95.4%=2.15%..尺寸在2426mm间的零件大 2 约有5000x2.15%≈108个. 变式训练4解：成绩服从正态分布N(80,5), .u=80,0=5,则-=75，u+0=85. .成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.3%， 成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.15%. 设该班有x名同学，则34.15%x=17,解得x≈50. u-20=80-10=70,u+2σ=80+10=90， .成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.4%， 成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%. 即有50×2.3%≈1人，即成绩在90分以上的仅有 1人. 例4解：(1)XN0,1), (-3)-<-31-P-3≤X≤3 =2×1-097)-0015. (2).X~N(0,1)且Φ(0.42)=0.6628，..由Φ(-a) +Φ(a)=1,得Φ(-0.42)=1-Φ(0.42)=1-0.6628=0.3372. 变式训练5解：(1)中(-0.25)=1-Φ(0.25)=1-0.5987= 0.4013. (2)P(0.25<X≤0.51)=P(X<0.51)-P(X<0.25)= Φ(0.51)-(0.25)=0.6915-0.5987=0.0928. 数学文化 例C【解析】由题意，u=80,=5,则P(75<X≤85)= 0.6826,P(70<X≤90)=0.9544.P(85<X≤90)=3× (0.9544-0.6826)=0.1359.∴.P(75<X≤90)=0.6826+ 0.1359-0.8185..果实横径在[75,90)内的概率为 0.8185.故选C >“4.3统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时相关关系与回归直线方程 要点精析 例1解：(1)是函数关系.(2)是相关关系. (3)是相关关系 变式训练1C 例2D【解析】由题意，知A表示圆的周长与半径之 间的关系C=2mr,B表示球的体积与半径之间的关系V= 4r,C表示角度与它的正弦值之间的关系y=sin,都 3 是确定的函数关系，只有D是相关关系，故选D 变式训练2D【解析】函数关系与相关关系都是指两个 变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系 是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性 的关系.A选项中，V=d,B选项中，y=tana,C选项 中，y=ax(a>0,且a为常数)，∴.这三项均是函数关系. D项是相关关系 例3解：统计学意义上“最好”指的是所有误差平方 和最小的直线 变式训练30.92【解析】由题意，得x=4,y=5,又 (x,y)在直线=1.02x+a上，∴.=5-4×1.02=0.92. 例4解：散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出 散点图如图 120叶身高 110 100 80 04 1 4了6年龄 例4题答图 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关。 变式训练4AC【解析】A,C中的点分布在一条直线 附近，适合线性回归模型. 例5图1 参考答案。 变式训练5B【解析】越大，拟合效果越好，故选B. 例6解：(1)散点图如图所示. y4物理成绩 90H 80 70 60 657075808590 数学成绩 例6题答图 (2)写×(8+76+73+6+63)=732 =写×(78+65+71+6461)-678 ∑xY=88x78+76x65+73x71+66x64+63x61-2505 288+76+73+6+63-27174 ∑w-5 /25054-5×73.2x67.8≈0.625， 27174-5×73.22 a=y-6x≈67.8-0.625x73.2=22.05.∴y对x的回归直线 方程是y=0.625x+22.05. (3)x=96,则y=0.625×96+22.05≈82，即可以预测他 的物理成绩是82. 变式训练6解：作出散点图（图略），观察散点图可知 这些点散布在一条直线的附近，故可知x与Y线性相关 x=22+20+18+16+14_-18,y=37+41+43+50+56-45.4, 5 5 立r5网 ·b=i 3992-5×18×45.4=-2.35, -5x 1660-5×182 i1 a=45.4-(-2.35)×18=87.7..回归直线方程为y=-2.35x+ 87.7. 例7解：（)由表知，=行×24+56+8)5，=行× (3+4+5+6+7)=5， 0=2x3+44+5x5+6x6+8x7=139,∑=2+44 514.2.5 学习目标 1.了解二项分布与正态曲线的关系，了 解正态分布与标准正态分布的概念， 2.了解概率密度函数，理解正态曲线的 性质 3.掌握利用正态曲线的性质解决简单的 求概率或面积问题 要点精析 川要点1正态曲线 1.定义：当n充分大时，随机变量 X~B(n,p)的直观表示总是具有中间高、 两边低的“钟形”，称为正态曲线，它对应 的函数为9a(x)=1e器，其中u= σV2m E(X),=VD(X). 2.性质： (1)正态曲线关于直线x=对称（即 决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、 两边低的特点 (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积 为1. (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”，σ越 大，说明标准差越大，数据的集中程度越 弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准 差越小，数据的集中程度越强，所以曲线 越“瘦” 3.面积：正态曲线与x轴在区间[u, u+σ]内所围的面积约为0.3413，在区间 第四章概率与统计。 正态分布 [+σ，+2σ]内所围的面积约为0.1359， 在区间[4+2σ，M+3σ]内所围面积约为 0.0215.如图： 0.341 0.0215 0.135￥ -30-20-04+0 +2σ+3 图4-2-2 例1(1)已知随机变量服从正态分 布，其正态曲线如图所示，则总体的均值 儿= 方差σ2= 0510152025303540x 图4-2-3 (2)(多选题)一次教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所 示，下列说法中不正确的是() 图4-2-4 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲 小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 学(61 高中数学选择性必修第二册人教B版 反思感悟 利用正态曲线的特点求参数山，σ： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线 x对称，由此特点结合图象求出山 (2)正态曲线在x处达到峰值 1 ，由此特点结合图象可求出 V2T B变式训练① (多选题)下面给出的关于正态曲线的 四个叙述中，正确的有() A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当>时，曲线下降，当x<时，曲 线上升 C.当一定时，σ越小，总体分布越分 散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x=弘对称，且当x= 时，位于最高点 川要点2利用正态分布求概率 1.正态分布定义 一般地，如果随机变量X落在区间[a, b]内的概率，总是等于P.(x)对应的正态 曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积， 则称X服从参数为与σ的正态分布，记 作X~N(u,o2),此时P.(x)称为X的概率 密度函数，是X的均值，σ是X的标准 差，σ2是X的方差 2.三个特殊区间内取值的概率值 P(X-u≤σ)=P-σ≤X≤+σ)≈68.3%， P(IX-ul≤2σ)=P(-2σ≤X≤u+2σ)≈95.4%， P(lX-≤3σ)=P(u-3σ≤X≤+3o)≈99.7%. 3.“3σ原则” 62)学 X约有99.7%的可能会落在距均值3个 标准差的范围之内，也就是说，只有约 0.3%的可能会落入这一范围之外（这样的事 件可看成小概率事件)·这一结论通常称为 正态分布的“3σ原则” 例2设~N(1,22),试求： (1)P(-1≤≤3)· (2)P(3≤≤5). B变式训练2 若例2条件不变，求P(>5)的值. 反思感悟 利用正态分布的对称性求概率： 由于正态曲线是关于直线x=私对称的， 且概率的和为1，故关于直线x=对称的区 间上概率相等.如： ①P(X<a)=l-P(X≥a); ②P(X-a)=P(X>+a): P变式训练③ 已知随机变量专服从正态分布N(2, σ2)，且P(4)=0.8,则P(0<2)等于() A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 川要点3正态分布的应用 例3有一种精密零件，其尺寸X(单 位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批 零件共有5000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18~22mm间的 零件所占的百分比， (2)若规定尺寸在24~26mm间的零件 不合格，则这批零件中不合格的零件大约有 多少个？ 反思感悟 求正态变量X在某区间内取值的概率 的基本方法： (1)根据题目中给出的条件确定4与 σ的值： （2)将待求问题向[u-σ，u+o], [-2o,u+2o],[-30,u+3o]这三个区 间进行转化. (3)利用X在上述区间的概率、正态 曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1 求出最后结果 第四章概率与统计。 B变式训练④ 在某次大型考试中，某班同学的成绩服 从正态分布N(80,52),现在已知该班同学 中成绩在80~85分的有17人，该班成绩在 90分以上的同学有多少人？ 川要点4标准正态分布 1.标准正态分布的定义：u=0且σ=1的 正态分布称为标准正态分布 2.Φ(a)的概念：如果X~N(0,1),那 么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X<a),即 Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴 在区间(-∞，a)内所围的面积 3.Φ(a)的性质：D(-a)+Φ(a)=1. 学(63 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 例4设随机变量X~N(0,1). (1)求Φ(-3)的值. (2)若Φ(0.42)=0.6628，求Φ(-0.42). 反思感悟 求标准正态分布的概率问题的关注，点： (1)标准正态曲线特点：关于y轴对 称，=1 (2)Φ(a)的含义：Φ(a)=P(X<a). (3)理论基础： ①当a=±1，±2，±3时，利用P(w-0≤ X≤u+o),P(-2σ≤X≤+2o),P(u-3o≤ X≤u+3σ）的概率值； ②当a为其他值时，可查表求解 64)学 B变式训练⑤ 设随机变量X~N(0,1),Φ(0.25)= 0.5987,Φ(0.51)=0.6915，求： (1)Φ(-0.25)· (2)P(0.25<X≤0.51). 数学文化 例重庆奉节县的柑橘栽培始于汉代， 历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥， 酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业 部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣 誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位： mm)服从正态分布N(80,52),则果实横径 在[75,90)的概率为() 附：若X~N(u,σ2)，则P(u-o<X≤u+o)= 0.6826,P(u-2σ<X≤+2σ)=0.9544. A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544