4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第四章概率与统计。 4.2.4随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 例1袋中有4个红球，3个黑球，现 学习目标 从袋中随机取出4个球，设取到1个红球得 1.理解随机变量均值—期望， 2分，取到1个黑球得1分，试求得分X的 2.会用期望做出科学预测。 均值。 3.理解期望和加权平均数之间的区别与 联系。 要点精析 要点1利用定义求离散型随机变量的 均值 1.离散型随机变量的均值的概念 一般地，如果离散型随机变量X的分布 列如下表所示。 X X2 P Pk Pn 则称E(X)=xP1+xP2+…+xP+…+xPn= ，为离散型随机变量X的均值或数学明 i=l 望（简称为期望）· 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概 反思感悟 率的加权平均数，它综合了随机变量的取 求随机变量X的均值的方法和步骤： 值和取值的概率，反映了随机变量取值的 (1)理解随机变量X的意义，写出X 平均水平 :所有可能的取值。 (2)求出X取每个值的概率P(X=k). (3)写出X的分布列 (4)利用均值的定义求E(X). 学 51 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 变式训练1 要点2离散型随机变量均值的性质」 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级 若Y=aX+b,其中a,b均是常数(X是 猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需 随机变量)，则Y也是随机变量，且有 要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目 E(aX+b)=aE(X)+b. 可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是 思考离散型随机变量的均值与样本 三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全 平均值之间的关系如何？ 部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道 例2已知随机变量X的分布列如下表 题目的概率分别为子，分，弓，且三道题 所示。 X -2 0 目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环 1 1 节中所得分数的分布列与均值. 4 3 5 m 20 若Y=-2X,则E(Y)= B变式训练2 例2中的条件不变，若=aX+3,且 E号，求a的值 52)学 第四章概率与统计。 变式训练3 变式训练④ 已知随机变量专和η，其中7=12+7， 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中 且E(?)=34,若的分布列如下表，则m的： 混有2节废电池 值为() (1)若无放回地每次取一节电池检验， 1 2 3 4 直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布 1 列及均值， 4 m 12 (2)若有放回地每次取一节电池检验， A号 B. 求检验4次取到好电池次数Y的均值. c D.g 川要点3常见的几种分布的均值 名称 两点分布 二项分布 超几何分布 公式 E(X)=p E(X)=n吧 E(X)=nM N 例3 (1)有10件产品，其中3件是 次品，从中任取2件，用X表示取到次品的 个数，则E(X)等于( A号 B c培 D.1 (2)某运动员投篮命中率为p=0.6 ①求投篮1次时命中次数X的均值， ②求重复5次投篮时，命中次数Y的 均值。 学(53 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点4均值的实际应用 变式训练⑤ 例4随机抽取某厂的某种产品200件， 受轿车在保修期内维修费等因素的影 经质检，其中有一等品126件、二等品50： 响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次 件、三等品20件、次品4件.已知生产1件： 出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产 一、二、三等品获得的利润分别为6万元、： 甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现 2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，：从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 设1件产品的利润（单位：万元）为X. 50辆，统计数据如下： (1)求X的分布列. 品牌 (2)求1件产品的平均利润（即X的 甲 乙 均值)· 首次出现故 0Kx≤1 1<x≤2 x>2 0Kx≤2 >2 (3)经技术革新后，仍有四个等级的产 障时间x/年 品，但次品率降为1%，一等品率提高为 轿车数量/辆 3 45 5 45 70%.若此时要求1件产品的平均利润不小 每辆利润/ 2 3 1.8 2.9 于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 万元 将频率视为概率，解答下列问题 (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽 取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内 的概率。 (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生 产一辆甲品牌轿车的利润为X,生产一辆乙 品牌轿车的利润为X2,分别求X,X2的分 布列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销 量相当，受资金限制，只能生产其中一种品 牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为 应该生产哪种品牌的轿车？请说明理由」 54)学 第四章概率与统计。 数学文化 例“博弈”原指下棋，出自我国《论 语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即 一些个人、团队或组织，在一定规则约束 下，同时或先后，一次或多次，在各自允许 选择的策略下进行选择和实施，并从中各自 取得相应结果或收益的过程.生活中有很多 游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩亮 硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面， 则乙得3分，甲得-3分，若同时亮出反面， 则乙得1分，甲得-1分，若亮出结果是一 正一反，则甲得2分，乙得-2分. (1)若两人各自随机亮出正反面，求乙 收益的期望 (2)因为各自亮出正反面，而不是抛出 正反面，所以可以控制亮出正面或反面的频 率（假设进行多次游戏，频率可以代替概 率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲、 乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正 面的概率，进而增加自己赢得收益的期望， 以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该 如何选择亮出正面的概率，才能让结果对自 己最有利？并分析游戏规则是否公平. 学(55N 高中数学选择性必修第二册人教B版 X 0 1 P 2 7 1 40 40 120 ②设“抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件 数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品” 为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好 取出3件一等品”为事件A.由于事件A1,A2,A3彼此 互E,且Ad,UA.UA..PA,)-C=最Pa Ci P2A)3P)APA PM,高前+o动 即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件 数的微率为动 变式训练3号号【解析】若放回抽取，设取得红球 5 的个数为X,则X-82,号，取出2个颜色不同的球 即事件“X=1”,P(X=1)=C×名x2=是.若不放回抽 5×5=25 取，设取得红球的个数为Y,则Y~H(5,2,3),.取到 的2个球颜色不同的概率PCC=3 数学文化 例解：(1)根据频率分布直方图，可得 (0,10]的频率为0.010×10=0.1； (10,20]的频率为0.020×10=0.2； (20,30]的频率为0.030x10-03: (30,40]的频率为0.025×10=0.25： (40,50]的频率为0.015×10=0.15 ..x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5. (2)根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于 (0,30]内的概率为02403=-05，X-B4,,X 的可能取值为0,1,2,3,4，故 PX=0-c26,PXI)=C34, PX-2-c38,PX=3-C3上4 PX=4-c3广6 46 .X的分布列如下表」 X 0 2 3 4 1 1 3 1 1 16 4 4 16 8 4.2.4随机变量的数字特征 第1课时离散型随机变量的均值 要点精析 例1解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8 分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5 分，因比.PX=5)-者.PX=6)-℃-袋 PrX=7)=C最.PX=8)CC石故X的分布列 如下表 X 5 6 7 8 器 号 80-5×6器7×号5号 变式训练1解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分 数”，则X的可能取值为-4,1,3,6. PX=41-号x1-×1-号=g.Px=1) 1=2=1.X的分布列如下表. 31891 4 1 3 6 7 7 1 9 18 9 B0X=(-4xg+1x3+3x+6x-5 18 18 99 例2名【解析】由随机变量分布列的性质，得子+兮 +写m+0=l,解得m=石，(X0=(-2x4+(-1x写 0x写+1xG+2x0品由Y-2X,得EY)-2E0X0. 即EY)=-2x名)-品 3043 变式训练2解：E(传)=E(aN+3)=aE(X)+3=-1g 号，a=15 变式训练3A【解析】7=12+7，则E(7)=12E(传)+7， 即E(m=12k+2m3n*4位}+7=34.2m+3n=亭.① 又m*ntbl,m+n号，② 由①②可解得m了故选A 例3（)号【解析】方法-：PX-0)=8名 PrX=I0=答-3PX-2560Ix名2x 方法二：由题意，知X服从N=10,M=3,n=2的超 几何分布，则E)-兴号 (2)解：①投篮1次，命中次数X的分布列如下表. X 0 P 0.4 0.6 则E(X)=0.6. ②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项 分布，即Y~B(5,0.6),则E(Y)=p=5x0.6=3. 变式训练4解：(1)由题意，X可取的值为1,2,3， 则P0K=I=号，P0K=2)=号x-rX=3)=号×好 10 抽取次数X的分布列如下表. 2 5 10 10 参考答案。 BCX0-ix号+2x0+3x0号 (2)由题意，每次检验取到好电池的概率均为 5 故-B4,子，则EY)=4x号-号 5=5 例4解：(1)X的所有可能取值有6,2,1，-2， PX=6)=-063,PX=20-025,P0X=178 200 0.1,P(X=-2)= 4=0.02.故X的分布列如下表 200 6 1 3 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34 (万元). (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产 品的平均利润为E(X)=6×0.7+2(1-0.7-0.01-x)+x+(-2) ×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即 4.76-x≥4.73，解得x≤0.03，.三等品率最多为3%. 变式训练5解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障 发生在保修期内”为事件A,则P(4)上2+3- 50101 (2)依题意，得X的分布列如下表 X 1 2 3 P 5 品 10 X2的分布列如下表 X2 1.8 2.9 10 10 3)由(2)得EX,)I×5+2×0+3x品-2.86（万 元).6X18x02x号-279（万元）. E(X)>E(X2),应生产甲品牌轿车. 数学文化 例解：()：是各自随机亮出正反面，∴甲、乙亮出 正面的概率均可认为是？，设乙在此游戏中的得分为随 机变量专，则专的可能取值为-2,1,3，.可得乙得分 47 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 的分布列如下表 -2 3 1 2 4 BE)-2x7+x+3x40 (2)假设甲以p(0≤p≤1)的概率亮出正面，乙以 g(0≤q≤1)的概率亮出正面，甲得分的随机变量为X, 乙得分的随机变量为Y,此时甲得分的分布列如下表 2 -1 -3 p(1-q)+9(1-p) (1-p)(1-9) pq .甲的收益期望为E(X)=2[p(1-q)+9(1-p)]-(1-p)· (1-q)-3pq=(3-8g)p+3g-1.同理，可得乙得分的分布列 如下表 -2 1 3 p(1-q)+q(1-p) (1-p)(1-q) pq .乙得分期望为E(Y)=-2[p(1-g)+9(1-p)]+(1-p) (1-q)+3pq=(8p-3)q-3p+1. 根据甲的得分期望，可知乙的最优策略是亮出正面 的概率为，否则若<≤1，有3-<0，甲的得分 期望E(X)=(3-8g)p+3g-1,甲可以选择都亮出反面的策 略，即p-0,达到预期得分最大，此时E(X)=3y-少令 若0≤q<冬，则甲选择都亮出正面的策略，即=1，达 到预期得分最大，BX)2-5g>g·同理，可知甲的最优 策略是亮出正面的概率为令，“最终两人的决策为保持 亮出正面的概率都为令而当令时，EX)名，E （Y)=日，此时游戏结果对两人都是最有利的，但是 规则不公平 第2课时离散型随机变量的方差 要点精析 例1解：(1)专的分布列如下表. 48 IN 0 1 2 3 4 2 20 1 20 5 则BE)-0x号+1x7+2x0+3x易+4x15.D)= 0-15x分+1-15×0+2-15x0+(3-15×易+ (415x5-275 (2)由D()=d2D(),得x2.75=11,得a=±2.又由 E(n)=aE(5)+b,得1.5a+b=1,.当a=2时，由1=2×1.5+ b,得b=-2;当a=-2时，由1=-2×1.5+b,得b=4. a=2,a=-2, 或 b=-2b=4. 变式训练1解：(DE)=(-1x+0x写+1×石 36 VD)-5 3 2)Em-2Eg)+3子，Dm=40E)-9 例2(1)0.16()6方【解折】()依题意， 知X服从两点分布，D(X)=0.8(1-0.8)=0.16. (2)由题意，知X服从二项分布B(n,p),由E(X) =0=3,DX)=咖1p)号，得1p3,p=分，=6 变式训练2解：(1)用专表示抽得的正品数，则= 0,1.专服从两点分布，且P(5=0)=0.02,P(5=1)=0.98, .D(5)=p(1-p)=0.98(1-0.98)=0.0196. (2)用X表示抽得的正品数，则X~B(10,0.98), .D(X)=10x0.98×0.02-0.196,标准差为VD(X)≈0.44. 例3解：E(传1)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+ 135x0.2=125. E(ξ2)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2= 125. D(5)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125- 125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2-50. D(52)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125- 125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165. 由此可见E(传)=E(5),D(5)<D(5),