3.1.2 第2课时 排列数的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

曲线，故是排列问题， (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列 问题. 例2解：树形图如下（如图）. 例2答图 由树形图，知所有排法有BADC,BCDA,BDAC, CADB.CDAB.CDBA.DABC.DCAB.DCBA. 变式训练2解：(1)由题意画树形图，如图1. 个个小个 图1 故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31 32,34,41,42,43,共有12个. (2)由题意画树形图，如图2 合食 图2 变式训练2答图 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd, cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个. 例3解：A=15×14×13=2730,A=6x5×4x3×2×1=720. 例4解：(1)55-n,56-n,…,69-n中的最大数为 69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个数，∴.(55-n)(56- n)…(69-n)=A5. (2)由排列数公式，可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+ m)=Am 例5证明：：A-A=+!,nl n! F(m+1-m！6n-m！(mm！ n！ ∴.A1-A=mA1. 参考答案⊙ 变式训练3D【解析】由A<6A,得8<6x (10刀，化简，得2-19x+84<0,解得7<<12，① 8！ x≤8， 又/月 2≤x≤8，②由①②及xeN,得x=8. 0≤x-2≤8， 数学文化 例1B【解析】先安排男教师，再安排女教师，各有A 种安排方式，故不同的安排方式共有AA=36种.故选B. 例2D【解析】先把三种不同的画捆在一起，各看成 整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有 A号种不同的排法，然后对4幅油画的排放有A种不同 的排法，对5幅国画的排放有A:种不同的排法，.不同 的陈列方式有AAA种不同的排法.故选D. 第2课时排列数的应用 要点精析 例1解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同 学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列， .共有A=7×6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要 求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343 种不同的送法 变式训练1(1)B(2)6【解析】对于两个大站A 和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同， 每张车票对应一个起点站和一个终点站，·每张火车票 对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起 点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5= 30种. (2)共有3×2×1=6种不同的排法. 例2解：(1)（相邻问题捆绑法）男生必须站在一 起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须 站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全 体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，由 分步乘法计数原理，知共有A;AA=288种排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作1个元素，与4名 女生组成5个元素全排列，故有AA=720种不同的排法. (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法， 把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种 排法，故有A:A=1440种不同的排法. 31 高中数学选择性必修第二册人教B版 (4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA= 144种不同的排法 例3解：(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数 的一半，故有A-2520种不同的排法 A (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲 乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的太， 放有是-840种不同的挂法. 例4解：(1)方法一：把元素作为研究对象 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同 学中选出5名放在5个位置上，有A种排法. 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选 出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没 有甲的位置上，有A种排法.根据分步乘法计数原理， 有4×A种排法 由分类加法计数原理，知共有A3+4×A=2160种 排法。 方法二：把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位， 有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在 除首位以外的其他4个位置上，有A种方法. 由分步乘法计数原理，知共有AA=2160种排法. 方法三（间接法）：先不考虑限制条件，从7人中 选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲 在首位的情况有A种，·.符合要求的排法有A-A8= 2160种. (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首、末 2个位置上，有A种方法 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个 位置上，有A种方法. 根据分步乘法计数原理，共有AA=1800种方法. (3)把位置作为研究对象。 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在 首、末2个位置，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3 个位置上，有A种方法. 32 根据分步乘法计数原理，共有AA=1200种方法. (4)(间接法)总的可能情况有A种，减去甲在首 位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到 甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，∴.还 需补回一次A种排法，.∴.共有A-2A8+A=1860种排 法 变式训练2解：(1)（捆绑法）3名女生必须排在 一起，.可以先把她们看成一个整体，这样同5名男生 合在一起共有6个元素，排成一排有A种不同的排法， 对于其中的每一种排法，3名女生之间又有A种不同的 排法，因此共有A8A=4320种不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5名男 生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共 有4个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有6个 位置，再把3名女生插入这6个位置中，只要保证每个 位置至多插人1名女生，就能保证任意2名女生都不相 邻.由于5名男生排成一排有A种不同排法，对于其中 任意一种排法，从上述6个位置中选出3个让3名女生 插入都有A种排法，因此共有AA。=14400种不同的 排法 (3)方法一（位置分析法）：：·两端都不能排女生， ∴.两端只能挑选5名男生中的两名，有A种不同的排法， 对于其中的任意一种不同的排法，其余6个位置都有A 种不同的排法，∴.共有AA8=14400种不同的排法. 方法二（间接法）：3名女生和5名男生排成一排共 有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A:A?种 排法和女生排在末位的A:A?种排法，但两端都是女生 的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣 除女生排在末位的情况时又被扣去一次，·.还需加回来 一次，由于两端都是女生有AA种不同的排法，.共有 A-2A:A3+AA。=14400种不同的排法. 方法三（元素分析法）：从中间6个位置挑选3个 让3个女生排人，有A种不同的排法，对于其中的任意 一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，.共 有A2A=14400种不同的排法. (4)方法一（位置分析法）：只要求两端不都排 女生，·如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限 制了，这样可有A;A种不同的排法；如果首位排女生， 有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有AA;· A种不同的排法，因此共有A5A7+AA;A8=36000种不 同的排法 方法二（间接法）：3名女生和5名男生排成一排共 有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法 AA种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A-AA?=36000种不同的排法. 例5解：(1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘 法计数原理，知可组成4×5x5x5×5=2500个五位数. (2)方法一：考虑特殊位置“万位”，从1,2,3,4 中任选一个填入万位，共有4种填法，其余4个数字作 全排列，有A:种排法，故共有A:A=96个符合条件的 五位数 方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、 百、千位中任选一个位置将0填人，有A种填法，然后 将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A:种排 法，故共有AA=96个符合条件的五位数. (3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是 3的倍数，将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类， 按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数， 再取2进行排列，先填百位有A种填法，再填其余位有 A种排法，故有2AA个符合条件的三位数；不取0， 则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全 排列，故有2A种排法.∴.共有2A:A号+2A=8+12=20个 符合条件的三位数. (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3 中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非0 数中选一个填人万位，有A种填法，最后将包含0在内 的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A, 故共有AAA=36个符合条件的五位数， (5)按分类加法计数原理，当万位数字为1,2,3 时均可以，共有AA个数.当万位数字为4，千位数字 为0,1时均满足，共有AA个数，当万位数字为4， 千位数字为2，百位数字为0,1时均满足，共有 (AA号-1)个数，.比42130小的数有A:A+A:A+ AA-1=87个.万位是1,2的各有A个数，万位是3， 千位是0,1的各有A个数，.共有2A+2A=60个数， 故第61个数为32014. (6)运用排除法，先将1,3在奇数位上排列，有 A种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排 列，有A种排法，而其中1,3在个位和百位上，0在 万位上的排法不合题意，有AA种排法..符合条件的 参考答案⊙ 五位数共有AA-AA3=32个 变式训练3解：(1)个位上的数字必须是0或5.个 位上是0，有A个：个位上是5，若不含0，则有A个： 若含0，但0不作首位，则0的位置有A:种排法，其余 各位有A种排法，故共有A:+A+A:A=216个能被5整 除的五位数 (2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整 除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4， 5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个. 故能被3整除的五位数有A+AA=216个. (3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字 为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的 一个，有3A个数，.240135是第A+3A+1=193个数， 即240135是第193个数. 31.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 要点精析 例1解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场 比赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠军、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列 问题 (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 变式训练1解：(1)一种火车票与起点、终点的顺 序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，.它是排 列问题 (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺 序之分，因此它是排列问题。 (3)从7本不同的书中，取出5本给某名学生，在 每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合 问题. 例2解：(1)从4位候选人中选举正、副班长各一人 是排列问题，有A=12种选法，所有可能的选举结果： AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB, DB,DC. (2)从4位候选人中选举2人负责班级工作是组合 问题，有C=6种选法，所有可能的选举结果：AB, AC,AD,BC,BD,CD. (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都 33第三章排列、组合与二项式定理。 第2课时 排列数的应用 学习目标 变式训练① 1.能应用排列知识解决简单的实际 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、 问题 苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门 2.能解决有限制条件的排列问题」 应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之 、 间)准备不同的火车票的种数为() 要点精析 A.15 B.30 C.12 D.36 川要点1简单的排列问题 (2)3盆不同品种的花排成一排，共有 例1(1)有7本不同的书，从中选3 种不同的排法 本送给3名同学，每人各1本，共有多少种 川要点2排队问题 不同的送法 (2)有7种不同的书，要买3本送给3名 例2现有3名男生、4名女生，这7 同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？： 个人站成一排.在下列情况下，各有多少种 不同的站法？ (1)男、女生各站在一起 (2)男生必须排在一起 (3)男生不能排在一起 (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 反思感悟 对于简单的排列问题，其解题思路可 借助分步乘法计数原理进行，即采用元素 分析法或位置分析法求解 学 9 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 例37人站成一排 (1)甲必须在乙的前面（不一定相邻）， 则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不 变（不一定相邻），则有多少种不同的排列 方法？ 反思感悟 排队问题的解题策略： 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置 外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等 问题 (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法” 解决.即将相邻的元素视为一个整体进行 例4从包括甲、乙两名同学在内的 排列 7名同学中选出5名排成一列，求解下列 (2)对于不相邻问题，可采用“插空 问题 法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻 (1)甲不在首位的排法有多少种？ 的元素插入空中. (2)甲既不在首位也不在末位的排法有 (3)对于定序问题，可采用“除阶乘 多少种？ 法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一 (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排 定元素的全排列数。 法有多少种？ (4)对于“在”与“不在”问题，可 (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排 采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先 法有多少种？ 安排”的原则解决 10)学 第三章排列、组合与二项式定理。 (6)可以组成多少个无重复数字且奇数 变式训练2 在奇数位上的五位数？ 3名女生和5名男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起，可有多 少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种 不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少 种不同的排法？ 反思感悟 (4)如果两端不能都排女生，可有多少 数字排列问题是排列问题的重要题型， 种不同的排法？ 解题时要着重注意从附加的限制条件入手分 析，找出解题思路.常见的附加条件有： (1)首位不能为0. (2)有无重复数字. (3)奇偶数， (4)某数的倍数， (5)大于（或小于）某数 B变式训练③ 用0,1,2,3,4,5这六个数字： (1)可以组成多少个无重复数字且能被 5整除的五位数？ 川要点3数字问题 (2)可以组成多少个无重复数字且能被 例5用0,1,2,3,4五个数字： 3整除的五位数？ (1)可组成多少个五位数？ (3)组成六位数，且所有的六位数按 (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ 从小到大的顺序排列，则240135是第几 (3)可组成多少个无重复数字且是3的 个数？ 倍数的三位数？ (4)可组成多少个无重复数字的五位 奇数？ (5)在没有重复数字的五位数中，比 42130小的数有几个？按从小到大排列，则 第61个数是多少？ 学 11