3.1.2 第1课时 排列与排列数-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 4=120种不同的选法，B正确；若要选出不同颜色的2 个球，共有5×6+5×4+6×4=74种不同的选法，故C错误： 若要不放回地选出任意的2个球，共有15×14=210种不 同的选法，故D错误. 第2课时两个计数原理的综合应用 要点精析 例1解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字 也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53= 125种排法. (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、第 三位可以排0，因此，共有4×5×5=100种排法. (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3=12 种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法， 即2或4，再排首位，因0不能在首位，∴.有3种排法， 十位有3种排法，.有2×3×3=18种排法.因而有12+ 18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数 字的三位数 变式训练1解：(1)完成这件事需要分别确定百位、 十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确 定个位，因此要分步相乘. 第一步：确定百位数，有6种方法； 第二步：确定十位数，有5种方法； 第三步：确定个位数，有4种方法 根据分步乘法计数原理，共有W=6×5×4=120个三位 数..这一列数的个数为120. (2)这一列数中，百位是1,2,3,4的共有4×5× 4=80个，百位是5的三位数中，十位是1或2的有4+ 4=8个，故第88个为526，故从小到大第89项为531. 例2解：由题意，可知在艺术小组9人中，有且仅有 1人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢 琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号 各1人的方法分为两类： 第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任 选一个，故这类选法共有8种。 第二类：多面手不人选，则会钢琴者只能从6个只 会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人 中选出，故这类选法共有6x2=12种. 30 因此有N=8+12=20种不同的选法」 变式训练2240【解析】由于甲、乙不能从事翻译工 作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4 种选法.后面三项工作的选法有5×4x3种，因此共有4× 5×4×3=240种选派方案。 例3480【解析】方法一：分类， 第一类：A,D涂同色，有6×5×4=120种涂法. 第二类：A,D涂异色，有6×5×4×3=360种涂法. 共有120+360=480种涂法. 方法二：分步，先涂B区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A,D区，各有4种涂法， 共有6×5×4×4=480种涂法. 变式训练384【解析】第一类：当花坛A,C中种的 花相同时有4×3×1×3=36种.第二类：当花坛A,C中种 的花不同时有4×3×2×2=48种.共有36+48=84种. 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 要点精析 例1解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排 列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委 员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存 在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中，(2)(5)(6)是排列问题， (1)(3)(4)不是排列问题. 变式训练1解：(1)第一问不是排列问题，第二问是 排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题， (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题. 若方程若+卡1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有 a>b,a,b的大小关系一定. 在双自线导-示-1中，不管0还是a小，方程 器云1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双 曲线，故是排列问题， (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列 问题. 例2解：树形图如下（如图）. 例2答图 由树形图，知所有排法有BADC,BCDA,BDAC, CADB.CDAB.CDBA.DABC.DCAB.DCBA. 变式训练2解：(1)由题意画树形图，如图1. 个个小个 图1 故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31 32,34,41,42,43,共有12个. (2)由题意画树形图，如图2 合食 图2 变式训练2答图 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd, cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个. 例3解：A=15×14×13=2730,A=6x5×4x3×2×1=720. 例4解：(1)55-n,56-n,…,69-n中的最大数为 69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个数，∴.(55-n)(56- n)…(69-n)=A5. (2)由排列数公式，可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+ m)=Am 例5证明：：A-A=+!,nl n! F(m+1-m！6n-m！(mm！ n！ ∴.A1-A=mA1. 参考答案⊙ 变式训练3D【解析】由A<6A,得8<6x (10刀，化简，得2-19x+84<0,解得7<<12，① 8！ x≤8， 又/月 2≤x≤8，②由①②及xeN,得x=8. 0≤x-2≤8， 数学文化 例1B【解析】先安排男教师，再安排女教师，各有A 种安排方式，故不同的安排方式共有AA=36种.故选B. 例2D【解析】先把三种不同的画捆在一起，各看成 整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有 A号种不同的排法，然后对4幅油画的排放有A种不同 的排法，对5幅国画的排放有A:种不同的排法，.不同 的陈列方式有AAA种不同的排法.故选D. 第2课时排列数的应用 要点精析 例1解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同 学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列， .共有A=7×6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要 求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343 种不同的送法 变式训练1(1)B(2)6【解析】对于两个大站A 和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同， 每张车票对应一个起点站和一个终点站，·每张火车票 对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起 点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5= 30种. (2)共有3×2×1=6种不同的排法. 例2解：(1)（相邻问题捆绑法）男生必须站在一 起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须 站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全 体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，由 分步乘法计数原理，知共有A;AA=288种排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作1个元素，与4名 女生组成5个元素全排列，故有AA=720种不同的排法. (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法， 把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种 排法，故有A:A=1440种不同的排法. 31N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 (6)某班40名学生在假期相互通信， 学习目标 1.理解并掌握排列的概念。 2.能用计数原理推导排列数公式. 3.理解并掌握排列数公式， 要点精析 川要点1排列与排列数 1.排列的定义 反思感悟 一般地，从n个不同对象中，任取m 判断一个具体问题是否为排列问题的 (m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列， 思路： 称为从n个不同对象中取出m个对象的一个 变换对象的位置 排列.特别地，m=n时的排列（即取出所有 有 结果 无 对象的排列)称为全排列： 有序 有无变化 无序 2.排列数的定义 排列 非排列 从n个不同对象中取出m个对象的所 问题 问题 有排列的个数，称为从n个不同对象中取 出m个对象的排列数，用符号A表示。 变式训练1 思考排列与排列数相同吗？ 例1判断下列问题是否为排列问题， 判断下列问题是否为排列问题， (1)北京、上海、天津三个民航站之间 (1)会场有50个座位，要求选出3个 直达航线的飞机票的价格（假设往返的票价 座位有多少种方法？若选出3个座位安排三 相同) 位客人，又有多少种方法？ (2)选2个小组分别去植树和种菜， (2)从集合M={1,2,…,9}中，任取 (3)选2个小组去种菜 两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在 (4)选10人组成一个学习小组 x轴上的椭圆方程等+卡=？可以得到多少 (5)选3个人分别担任班长、学习委 员、生活委员 个焦点在x轴上的双黄线方程号护1？ 6 学 第三章排列、组合与二项式定理。 (3)平面上有5个点，其中任意3个点 不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ 变式训练2 可确定多少条射线？ (1)从1,2,3,4四个数字中任取两 个数字组成两位数，共有多少个不同的两 位数？ (2)写出从4个元素a,b,c,d中任 取3个元素的所有排列. 要点2画树形图写排列 例2将A,B,C,D四名同学按一定 顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在 第一，B不排在第二，C不排在第三，D不 川要点3排列数公式的应用 排在第四，试用树形图列出所有可能的 1.排列数公式的两种形式 排法。 (1)Aw=n(n-1)…[n-(m-1)]=n(n-1)(n m个数 2)…(n-m+l),其中m,n∈N+,并且m≤n. (2A=r 2.全排列数：一般地，在A中，当m= n时，排列数公式为A=n×(n-1)×…×2x1, 通常将上式的右边简写为n!(读为“n的 反思感悟 阶乘”)，从而上式可以简写为A=！.全排列 树形图的画法： 数为A=n！(称为n的阶乘).规定：0！=1. (1)确定首位，以哪个元素在首位为 例3计算：A和A. 分类标准进行确定首位 (2)确定第二位，在每一个分支上再 按余下的元素，在前面元素不变的情况下 定第二位并按顺序分类 (3)重复以上步骤，直到写完一个排 列为止。 学7 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 例4(1)用排列数表示(55-n)(56 变式训练3 n)…(69-n)(n∈N且n<55). (2)化简：n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m). 不等式A<6Ag2的解集为() A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8) 数学文化 例1为提高学校周围的交通安全，某 学校有3名男教师、3名女教师申请成为志 愿者，若安排这6名志愿者到3个路口协助 交警工作，每个路口男、女教师各1名，则 不同的安排方式种数是()》 例5求证：Am1-A”=mAw1. A.18 B.36 C.48 D.72 例2计划展出10幅不同的画，其中1 幅水彩画、4幅油画、5幅国画排成一行陈 列，要求同一品种的画必须连在一起，并 且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式 有（) A.A4A种 B.AA4A种 C.CAA种 D.AA4A种 反思感悟 排列数公式的选择： (1)排列数公式的乘积形式适用于计 算排列数 (2)排列数公式的阶乘形式主要用于 与排列数有关的证明、解方程和不等式等 问题，具体应用时要注意阶乘的性质，提 取公因式可以简化计算 8 学