3.1.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 4=120种不同的选法，B正确；若要选出不同颜色的2 个球，共有5×6+5×4+6×4=74种不同的选法，故C错误： 若要不放回地选出任意的2个球，共有15×14=210种不 同的选法，故D错误. 第2课时两个计数原理的综合应用 要点精析 例1解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字 也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53= 125种排法. (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、第 三位可以排0，因此，共有4×5×5=100种排法. (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3=12 种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法， 即2或4，再排首位，因0不能在首位，∴.有3种排法， 十位有3种排法，.有2×3×3=18种排法.因而有12+ 18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数 字的三位数 变式训练1解：(1)完成这件事需要分别确定百位、 十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确 定个位，因此要分步相乘. 第一步：确定百位数，有6种方法； 第二步：确定十位数，有5种方法； 第三步：确定个位数，有4种方法 根据分步乘法计数原理，共有W=6×5×4=120个三位 数..这一列数的个数为120. (2)这一列数中，百位是1,2,3,4的共有4×5× 4=80个，百位是5的三位数中，十位是1或2的有4+ 4=8个，故第88个为526，故从小到大第89项为531. 例2解：由题意，可知在艺术小组9人中，有且仅有 1人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢 琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号 各1人的方法分为两类： 第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任 选一个，故这类选法共有8种。 第二类：多面手不人选，则会钢琴者只能从6个只 会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人 中选出，故这类选法共有6x2=12种. 30 因此有N=8+12=20种不同的选法」 变式训练2240【解析】由于甲、乙不能从事翻译工 作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4 种选法.后面三项工作的选法有5×4x3种，因此共有4× 5×4×3=240种选派方案。 例3480【解析】方法一：分类， 第一类：A,D涂同色，有6×5×4=120种涂法. 第二类：A,D涂异色，有6×5×4×3=360种涂法. 共有120+360=480种涂法. 方法二：分步，先涂B区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A,D区，各有4种涂法， 共有6×5×4×4=480种涂法. 变式训练384【解析】第一类：当花坛A,C中种的 花相同时有4×3×1×3=36种.第二类：当花坛A,C中种 的花不同时有4×3×2×2=48种.共有36+48=84种. 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 要点精析 例1解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排 列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委 员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存 在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中，(2)(5)(6)是排列问题， (1)(3)(4)不是排列问题. 变式训练1解：(1)第一问不是排列问题，第二问是 排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题， (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题. 若方程若+卡1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有 a>b,a,b的大小关系一定. 在双自线导-示-1中，不管0还是a小，方程 器云1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双N 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时两个计数原理的综合应用 学习目标 P变式训练① 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理 用数字1,2,3,4,5,6组成无重复 与分步乘法计数原理 数字的三位数，然后由小到大排成一列. 2.能根据具体问题的特征选择两种计数 (1)求这一列数的个数 原理解决一些实际问题， (2)求这一列数中的第89项的值 要点精析 川要点1组数问题 例1用0,1,2,3,4五个数字： (1)可以排成多少个三位数字的密码 (2)可以排成多少个三位数 (3)可以排成多少个能被2整除的无重 复数字的三位数 川要点2抽取（分配）问题 例2某艺术小组有9人，每人至少会 钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢 琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号 的各1人，有多少种不同的选法？ 反思感悟 明确特殊位置或特殊数字，是我们采 用“分类”还是“分步”的关键.一般按特 殊位置（末位或首位)分类，分类中再按 特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步 完成；如果正面分类较多，可采用间接法 求解 4 第三章排列、组合与二项式定理。 反思感悟 则不同的着色方法有 种 解决抽取（分配）问题的方法： (1)当涉及对象数目不大时，一般选 用列举法、树状图法、框图法或者图表法， B (2)当涉及对象数目很大时，一般有 图3-1-1 两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步 反思感悟 乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的 解决此类问题要特别关注图形的结构 就按分步进行；若是按对象特征抽取的， 特征.如果图形不是很规则，往往从某一块 则按分类进行 出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计 ②间接法：去掉限制条件，计算所有 数原理；如果图形具有一定的对称性，那 的抽取方法数，然后减去所有不符合条件 么先对涂色方案进行分类，每一类再进行 的抽取方法数即可 分步 B变式训练2 变式训练3 从6名志愿者中选4人分别从事翻译、 如图，一环形花坛分成A,B,C,D四 导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中 块.现有4种不同的花供选种，要求在每块 甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选 地里种1种花，且相邻的2块种不同的花， 派方案共有 种 则不同的种植方法有 种 川要点3涂色（种植）问题 例3用6种不同颜色为如图所示的广 告牌着色，要求在A,B,C,D四个区域中 相邻（有公共边的）区域不用同一种颜色，： 图3-1-2 学