3.1.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

参考答案 学习手册参考答案 第三章排列、 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 第1课时两个计数原理及其简单应用 要点精析 例1 解：该人共有 3+4=7 种途径可选. 变式训练1 16 例2 (1)A (2)36【解析】(1)∵椭圆的焦点在 x轴上， ∴m>n. .当 z=4 时， n=1，2，3； ；当 m=3 时， n= 1，2；当 m=2 时， n=1， ，即所求的椭圆共有3+2+1= 6个. (2)分析个位数字，可分为以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8 中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7 中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； ...... 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理，知符合条件的两位数共有 8+ 7+6+5+4+3+2+1=36 5个. 变式训练2 (1)B (2)14【解析】(1)由于书架 上有书 3+5+8=16 本，则从中任取1本书，共有16种不 同的取法. (2)根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗 任务可以是高一年级，也可以是高二年级，安排方法 共有8+6=14种 例3 解：小明共有 3×4=12 种不同的走法. 变式训练3 48 例4 (1)B (2)448【解析】(1)要完成的是“4 名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，∵每人 参考答案。 组合与二项式定理 必报一项，4人都报完才算完成，于是按人分步，且分 为4步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，共 有3×3x3x3=81种报名方法 (2)第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同 的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有 8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、 百位上的数字外，有7种不同的选法.故共有8×8×7= 448个不同的“吉祥数”. 变式训练4解：(1)完成表示不同的圆这件事，可以 分三步：第一步：确定α有3种不同的选取方法.第二 步：确定b有4种不同的选取方法.第三步：确定r有2 种不同的选取方法..表示圆的个数为3×4×2=24个. (2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件 事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进 行分步，而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的 情况，于是共有4×4×4=64种可能的结果. 例5解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的 选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中 选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有 5+2+7=14种不同的选法. (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2 种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5× 2×7=70种不同的选法. (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自 油画，由分步乘法计数原理，知有5×2=10种不同的选 法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7= 35种不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水 彩画，有2×7=14种不同的选法..共有10+35+14=59种 不同的选法. 变式训练5AB【解析】任选1个球，有5+6+4=15种 不同的选法，A正确；每种颜色选出1个球，共有5×6x 29 高中数学选择性必修第二册人教B版 4=120种不同的选法，B正确；若要选出不同颜色的2 个球，共有5×6+5×4+6×4=74种不同的选法，故C错误： 若要不放回地选出任意的2个球，共有15×14=210种不 同的选法，故D错误. 第2课时两个计数原理的综合应用 要点精析 例1解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字 也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53= 125种排法. (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、第 三位可以排0，因此，共有4×5×5=100种排法. (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3=12 种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法， 即2或4，再排首位，因0不能在首位，∴.有3种排法， 十位有3种排法，.有2×3×3=18种排法.因而有12+ 18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数 字的三位数 变式训练1解：(1)完成这件事需要分别确定百位、 十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确 定个位，因此要分步相乘. 第一步：确定百位数，有6种方法； 第二步：确定十位数，有5种方法； 第三步：确定个位数，有4种方法 根据分步乘法计数原理，共有W=6×5×4=120个三位 数..这一列数的个数为120. (2)这一列数中，百位是1,2,3,4的共有4×5× 4=80个，百位是5的三位数中，十位是1或2的有4+ 4=8个，故第88个为526，故从小到大第89项为531. 例2解：由题意，可知在艺术小组9人中，有且仅有 1人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢 琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号 各1人的方法分为两类： 第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任 选一个，故这类选法共有8种。 第二类：多面手不人选，则会钢琴者只能从6个只 会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人 中选出，故这类选法共有6x2=12种. 30 因此有N=8+12=20种不同的选法」 变式训练2240【解析】由于甲、乙不能从事翻译工 作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4 种选法.后面三项工作的选法有5×4x3种，因此共有4× 5×4×3=240种选派方案。 例3480【解析】方法一：分类， 第一类：A,D涂同色，有6×5×4=120种涂法. 第二类：A,D涂异色，有6×5×4×3=360种涂法. 共有120+360=480种涂法. 方法二：分步，先涂B区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A,D区，各有4种涂法， 共有6×5×4×4=480种涂法. 变式训练384【解析】第一类：当花坛A,C中种的 花相同时有4×3×1×3=36种.第二类：当花坛A,C中种 的花不同时有4×3×2×2=48种.共有36+48=84种. 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 要点精析 例1解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排 列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委 员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存 在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中，(2)(5)(6)是排列问题， (1)(3)(4)不是排列问题. 变式训练1解：(1)第一问不是排列问题，第二问是 排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题， (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题. 若方程若+卡1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有 a>b,a,b的大小关系一定. 在双自线导-示-1中，不管0还是a小，方程 器云1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双第三章排列、组合与二项式定理。 第三章 排列、组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.1基本计数原理 第1课时两个计数原理及其简单应用 例1某人要从济南前往北京，他有两 学习目标 种途径：一是乘飞机，二是乘高铁.假如这 1.理解分类加法计数原理、分步乘法计天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可 数原理， 乘.那么该人共有多少种途径可选， 2.正确地理解“完成一件事情”的含 义，能根据具体问题的特征选择“分类”或 “分步” 3.能利用两个原理解决一些简单的实际 问题 要点精析 要点1分类加法计数原理 分类加法计数原理：完成一件事，如果 有n类办法，且：第一类办法中有m种不 同的方法，第二类办法中有m2种不同的方 法…第n类办法中有mm种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m+m2+…+mn种不同 的方法 B变式训练① 温馨提示：在分类加法计数原理中， 有一项活动，需从6位教师、5名男同学 每类方案中的每种方法都能独立地完成这： 和5名女同学中选一人参加.则有 件事】 种不同的选法 高中数学选择性必修第二册人教B版 例2 (1)设集合A={1,2,3,4}, 例3小明要先从济南前往天津，然后 m,n∈A,则方程父+上=1表示焦点位于x 前往北京，他计划乘坐飞机前往天津，此时 m n 有3个航班供他选择，然后从天津乘坐高铁 轴上的椭圆有（) 前往北京，此时有4个高铁班次供他选择.小 A.6个B.8个C.12个D.16个 明从济南到北京共有多少种不同的走法」 (2)在所有的两位数中，个位数字大于 十位数字的两位数的个数为 反思感悟 分类时，首先要根据问题的特点确 定一个合适的分类标准，然后在这个标 准下分类，要做到分类“不重不漏” B变式训练② (1)图书馆的书架有3层，第1层有3 本不同的数学书，第2层有5本不同的语文 书，第3层有8本不同的英语书，现从中任 变式训练3 取1本书，不同的取法共有(） 有一项活动，需从2位教师、6名男同 A.120种 B.16种 学和4名女同学中选人参加.若需教师、男 C.64种 D.39种 同学、女同学各1人参加，则有」 种 (2)某校高一年级共8个班，高二年级 不同的选法。 共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨 例4(1)4名同学报名参加跑步、跳 的升旗任务，安排方法共有 种 高、跳远三个项目，每人报一项，不同的报 川要点2分步乘法计数原理 名方法数有() A.43 B.34 分步乘法计数原理：完成一件事，如果 C.7 D.12 需要分成n个步骤，且：做第一步有m种不 (2)人们习惯把最后一位是6的多位数 同的方法，做第二步有m2种不同的方法… 称为“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥 做第n步有mm种不同的方法.那么完成这件 数（首位不能是零）共有 个 事共有N=mxm2x…Xmm种不同的方法， 反思感悟 温馨提示：分步乘法计数原理中，每 应用分步乘法计数原理时，完成这 一步骤对实现目标是必不可少的，但不能 1 件事情要分几个步骤，只有每个步骤都 独立地完成一件事，需要几个步骤共同完 完成了，才算完成这件事情，每个步骤 成一件事， 都缺一不可， 第三章排列、组合与二项式定理 变式训练4 川要点3两个基本原理的简单应用 (1)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6， 例5现有5幅不同的国画，2幅不同 7},r∈{8,9}，则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可 的油画，7幅不同的水彩画。 表示多少个不同的圆 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种 (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三 不同的选法。 个项目的冠军（每项冠军只允许一人获得）， (2)从国画、油画、水彩画中各选一幅 共有多少种可能的结果？ 布置房间，有几种不同的选法 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画 布置房间，有几种不同的选法 反思感悟 用两个计数原理解决具体问题时，首 先，要分清是“分类”还是“分步”区分 “分类”还是“分步”的关键是看这种方法 能否完成这件事情其次，要清楚“分类” 或“分步”的具体标准，在“分类”时要 遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时 要正确设计“分步”的程序，注意步与步 之间的连续性；有些题目中“分类”与 “分步”同时进行，即“先分类后分步”或 “先分步后分类” 变式训练⑤ (多选题)现有不同的黄球5个，黑球6 个，蓝球4个，则下列说法正确的是() A.从中任选1个球，有15种不同的 选法 B.若每种颜色选出1个球，有120种不 同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球，有31 种不同的选法 D.若要不放回地选出任意的2个球， 有240种不同的选法 学