3.2 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 (2)原式=C8(x+1)(-1)°+C1(x+1)-(-1)+C(x+ 1)y-2(-1)2+…+C(x+1)*(-1)*+…+C(-1)=[(x+1)+(-1)]m =X" 变式训练1解：原式=C9(x-1)5+C(x-1)4+C(x-1)+ C(x-1)2+C(x-1)+C3-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 例2解：=C(V.2广-C2 11 （山)令4子1，解得k=4含x的一次项为T c2-2. (2)令4子keZ,且0≤k≤8，则k=0,4,8, 含x的有理项分别为1=d,1空，15石 变式训练2解：(1)第3项的二项式系数为C=15, 又万=C2V川广-240，第3项的系数方 240. 2cavr左j-(i2c4,令 3-k=2,解得k=1,.含x2的项为第2项，且T=-192x2 例3(1)D(2)C【解析】(1)由二项式定理， 得(1+x)5的展开式的通项为I+=C·x,∴(1+ax)(1+x)卢 的展开式中含2的项的系数为C+Ca=5,∴a=-1,故 选D. (2)(1+2x)(1-x)1的展开式中含x项的系数是由 两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次 项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为Cg·(2x), C·(-x)'+C·(2x)1.C9·14.(-x)0,其系数为C×C× (-1)+C×2xC9=-4+6=2.故选C. 变式训练3-20【解析】由二项展开式的通项公式，可 知含xy7的项可表示为xC8y-yC8x,故(x-y)·(x+ y)8的展开式中y的系数为C%-C8=8-28=-20. 例4解：(1)方法一：(1+2x-3x2)=[1+(2-3x2)] 1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x 3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x2(2-3x)3+5x4(2-3x)4+ x(2-3x)卢x的系数为上式各项中含x5的项的系数和， 即10C2.(-3)2+5C23.(-3)+2=92. 方法二：.(1+2x-3x2)5=(1-x)(1+3x)5=(1-5x+10x2- 10x2+5x4-x)(1+15x+90x2+270x3+405+243x3),.展开式 中x的系数为243-5×405+270x10-10x90+5×15-1=92. 36 方法三：(1+2x-3x2)5相当于5个(1+2x-3x2)相 乘，因此要求展开式中含x项的系数，只需借助二项 式定理的原理求解即可，C;(2x)5+C(2x)C(-3x2)+ C(2x)C(-3x2)2-92x5.故展开式中x的系数为92. 数学文化 例1D【解析】第3次出现全行为1，这说明杨辉三角 中这一行全是奇数，即C(=0,1,2,…,n)是奇 数，经验证可知，第3次出现全行为1时，1的个数为 8,即a=8.故选D. 例298【解析】三角形数阵中，每一行的数由二项式 系数C,人=0,1,2，，n组成设在第n行中有名 「9k-4n=4, n-k+1=5,C 解得 5n-11k=6, n=98,因此答案为98. k=44. 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 及二项式定理的应用 要点精析 例1B【解析】(1)由题意，第6行为1,6,15,20， 15,6,1,第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故 第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.故选B. 变式训练134【解析】由题意，设第n行的第14个数 与第15个数的比为2：3，它等于二项展开式的第14项 和第15项的二项式系数的比，C:C“=2:3,即14 n-13 =号，解得n=34,在第34行中，从左至右第14个数 与第15个数的比为2：3. 例2解：(1)令x=1,得a叶a+++as=1. (2)令x=-1,得(-3)=-a+a1-2+a-4+s.由(2x 1)卢的通项T+1=C(-1).25-·x*,知a4,s,5为负 值，.lal+la,l+la2l+…+lag=a-a+a2-+a4-as=3-243. (3)由ao+a+a2+…+as=1,-a+01-+…+as=-35,得 2(artatas)=I-3.:.artata-I-3--I2I. 2 变式训练2解：(1)，a+a1+a2+…+as=1,-a+a-2+… +o3克aaa-l生-122 (2)a是(2x-1)5的展开式中x的系数，.a=2= 32.又ata+a+…+as=1,.a4+a+a+a4+as=-31. 变式训练3解：(2-2x-3)0=+a1(x-1)+☑2(x-1)2+… +a(x-1)0,令x-1=t,展开式化为(2-4)0-tat+ad2+… +axd (1)a=C8(-4)9=-4×10. (2)令t=l,得a+a+a+…+=30,令t=-1,得a at2-…+02=30，∴.a+a+a+…+ag-0. (3)由(2)得a+a2+a4+…+a20=310 例3解：令=1，则二项式各项系数的和为f1)=(1+3 4",又展开式中各项的二项式系数之和为2.由题意， 知4-2=992..(2"）2-2-992=0，.(2"+31)(2-32)=0， .2=-31(舍去)或2=32，∴n=5. (1),7=5为奇数，∴.展开式中二项式系数最大的项 为中间的两项，它们分别为T,=C(x子)3.(3x22=905, T=C(x子)尸.(3x2)-270x号 (2)展开式的通项公式为T+1=C·3x号，假 设T+项系数最大，则有 C3≥C13, C3≥C1.3, 5 (5-6)13≥ 51 6-k)1(k-1)！' 5！ 51 5-)≥(4ki4+×3. 3≥1 勿 k6-k' 1 、3 之.heN,k=4, 5-k≥中： 展开式中系数最大的项为1-Cx号(34-405等 变式训练4解：：V:是)广的展开式的通项公式是 TC(V是)(-2C学0≤≤，keN). 7=-2C,-2c=9 .n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去). (④)令x=1,则V-是广(1-21，即所求各项 系数的和为1. (2)展开式的通项公式为I=(-2)Cx学(0≤k≤ 8,kN).令80-多，解得=1.展开武中含 的项为T2=I+=(-2)'Cx之=-16x之 (3)展开式的第k项、第(k+1)项、第(k+2)项的 参考答案。 系数的绝对值分别为C12,C2,C+2.若第(k+1) 1C2≤C2, 项的系数绝对值最大，则有 C2≥C2H, 解得5≤k≤6， 故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即 T=-1792x号，T=1792 例4(1)解：20210-(8×252+5)0 其展开式中除末项为5”外，其余的各项均含有8 这个因数，∴20210除以8的余数与5o除以8的余数相 同.又50=255=(3×8+1)5，其展开式中除末项为1外， 其余的各项均含有8这个因数，.50除以8的余数为1， 即20210除以8的余数也为1. (2)证明：322-8n-9=(8+1)y-8n-9 =C418ml+Cwt18+…+Cmt1-8n-9 =C%+18m+C+18+…+C%82+(n+1)×8+1-8n-9 =C218m+C+18"+…+Cm82 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被 64整除. 变式训练5(1)证明：原式=46+5n-4=4(5+1)+5n- 4=4(Cg.5"+C1.5-+C2·5-2+…+Cg)+5n-4 =4(C0·5+C%·5-+…+CW-2.52+Cw-1·51)+4C%+5n-4 =4(C·5"+C·5-+…+Cg-2.52)+20n+4+5n-4 =4(C.5n+C5+…+Ca2.5)+25n. 以上各项均为25的整数倍，故22.3"+5n-4能被25 整除 (2)解：0.9986=(1-0.002)6=1+C6(-0.002)+C· (-0.002)2+…+C(-0.002)6 由题意，知TC号(-0.002)2-15x0.0022=0.00006<0.001, 且第3项以后（包括第3项）的项的绝对值都远小 于0.001，故0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988. 数学文化 例ABC【解析】由组合数的互补性质，可得C=C:, 故A正确；由组合数的性质，可得C+C=C1,故B 正确；由二项式系数和的性质，可得C+C+C+…+C= 2,故C正确；115=(10+1)5=10+5×104+10×10+10×10+ 5x10+1=161051,故D错误.故选ABC. >“第三章章末复习课 要点精析 例1(1)B【解析】根据题意，不考虑特殊情况，共 37第2课时二项式系数的性质， 学习目标 1.理解二项式系数的性质并灵活运用. 2.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项 式乘方次数不大时的各项的二项式系数， 3.会用二项式定理解决整除问题. 要点精析 川要点1与杨辉三角有关的问题 1.杨辉三角 当n依次取0,1,2,3，…时，(a+b)” 展开式的二项式系数如图所示 ①③③① 46④① ①⑤⑩⑩⑤① ①6⑤②0⑤6① 图3-2-3 图中所示的二项式系数表在我国称为 “杨辉三角” 2.杨辉三角至少具有以下性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都 是1： (2)从第三行起，不在两端的任意一个 数，都等于上一行中与这个数相邻的两数 之和. 第三章排列、组合与二项式定理。 杨辉三角及二项式定理的应用 例1杨辉三角如图所示，杨辉三角中 的第5行除去两端数字1以外，均能被5整 除，则具有类似性质的行是() 第0行 第1行 1 第2行 第3行 第4行 4641 第5行 5 101051 … 图3-2-4 A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行 反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路： (1)通过观察找出每一行数据间的相 互联系以及行与行之间数据的相互联系. (2)然后将数据间的这种联系用数学 式表达出来，使问题得解」 (3)注意观察方向：横看、竖看、斜 看、连续看、隔行看，从多角度观察 B变式训练① 如图所示，在由二项式系数所构成的杨 辉三角中，第 行中从左至右的第 14个数与第15个数的比为2：3. 第0行 第1行 1 第2行 2 第3行 331 第4行 4641 第5行 15101051 图3-2-5 学(23 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 要点2二项展开式的系数问题和二项 式系数的性质 在(a+b)”的展开式中，与首末两端“等 对称性 距离”的两个二项式系数相等，即C C切-m 增减性：当k<+1时 2 ,二项式系数是逐 渐增大的；当k>+l时，二项式系数是 2 增减性与 逐渐减小的 最大值 最大值：当n为偶数时，中间一项的二 项式系数c?最大；当n为奇数时，中间 两项的二项式系数C学，C学相等，且同 时取得最大值 各二项式(1)C9+C+C+…+Cm=2: 系数的和(2)C9+C+C+…=C+C+C+…=2-1 思考 若(a+b)"的展开式中第5项的 二项式系数最大，则几的值可以为多少？ 例2已知(2x-1)5=ax5+ax4+a2x3+ax2+ a4+5,求下列各式的值， (1）a+a1+a2+…+a5. (2）laol+lal+lal+…+lasl. (3）4+a3+s. 24)学 变式训练2 在例2的条件下，求下列各式的值， (1）a+a2+4, (2）a+a2+a+a4+s. 反思感悟 二项展开式中系数和的求法： (1)对形如(ax+b)P,(ax2+bx+c)m (a,b,ceR,m,neN)的式子求其展开 式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x=1即可，对(ax+by)r(a,b∈R,n∈N) 的式子求其展开式的各项系数之和，只需 令x=y=1即可. (2）一般地，若fx)=onc+x2+…+anx, 则f(x)展开式中各项系数之和为f1), 奇数项系数之和为 ao+a+a4+…=f1)+f-1) 2 偶数项系数之和为 4+a3+a5+… f1)-f-1) 2 B变式训练③ 已知(x2-2x-3)10=a+a1(x-1)+a2(x-1)2+ …+20(x-1)20.求： (1)2的值 (2）a+a3+a+…+a19的值 (3）a+a2+a4+…+2o的值 川要点3二项式系数性质的应用 例3已知f(x)=(Vx+3x2)n的展开式 中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求： (1)展开式中二项式系数最大的项， (2)展开式中系数最大的项. 第三章排列、组合与二项式定理 反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式 系数的性质对(a+b)”中的n进行讨论， ①当n为奇数时，中间两项的二项式 系数最大； ②当n为偶数时，中间一项的二项式 系数最大。 (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式 系数的最大项是不同的，需要根据各项系 数的正、负变化情况进行分析.如求(a+ bx)”(a,b∈R)的展开式中系数的最大 项，一般采用待定系数法.设展开式中各项 系数分别为A0,A1,A2,…,Am,且第+1 A≥A1, 项最大，应用 解出k,即得出系 A≥AHI, 数的最大项， B变式训练④ 已知Vx-是 ”(neN,)的展开式中 第5项的系数与第3项的系数的比是10：1. (1)求展开式中各项系数的和. (2)求展开式中含x立的项. (3)求展开式中系数的绝对值最大的项！ 学（25 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点4二项式定理的应用 例4(1)试求20210除以8的余数. (2)求证：32+2-8n-9(n∈N,)能被64 整除 反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整 除的问题，通常需将底数化成两数的和与 差的形式，且这种转化形式与除数有密切 的关系 B 变式训练⑤ (1)求证：2+2.3"+5n-4(n∈N)能被 25整除 (2)求0.9986的近似值，使误差小于 0.001. 26)学 数学文化 例（多选题）我国南宋数学家杨辉 著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉 三角，由此可见我国古代数学的成就是非常 值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的 猜想中正确的是() 第1行 第2行 1 2 第3行 133 第4行 14641 第5行 15101051 第6行1615201561 图3-2-6 A.由“与首末两端‘等距离’的两个 二项式系数相等”猜想：Cm=Cm B.由“在相邻的两行中，除1以外的每 一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜 想：Cm1=C+C C.由“第n行所有数之和为2m”猜想： C0+C+C+…+Cn=2” D.由“11'=11,112=121,113=1331” 猜想：115=15101051