3.2 第1课时 二项式定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

CC+C=966种选法 (3)分两类：第一类女队长当选，有C2=495种 选法；第二类女队长没当选，有C!C+CC+CC+C= 295种选法..·.共有495+295=790种选法. 变式训练2A【解析】由分类加法计数原理，知两类 配餐的搭配方法之和即为所求，∴每天不同午餐的搭配 方法共有CC+C!C=210种.故选A. 例3解：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种方 法：再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法：最后 从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给 甲、乙、丙3人，每人2本，共有CCC=90种方法. (2)分给甲、乙、丙3人，每人2本，有CCC种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份， 每份2本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给 甲、乙、丙3名同学，有A种方法.根据分步乘法计数 原理，可得CCC=xA,x=CCC=15.因此分为三 A 份，每份2本，一共有15种方法. 例4解：(1)这是“不平均分组”问题，一共有 CCC=60种方法. (2)在(1)的基础上再进行全排列，.一共有 CCCA=360种方法. 例5解：可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有 C8CC号=90种方法；②“1,2,3型”，有CCCA=360 种方法；③“1,1,4型”，有C6A=90种方法，.一共 有90+360+90=540种方法， 变式训练3解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中 的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4× 4=44=256种放法， (2)这是全排列问题，共有A=24种放法 (3)方法一：先将4个小球分为3组，有CCC A 种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有 A种投放方法，故共有CCCA=144种放法. A 方法二：先取4个球中的2个“捆”在一起，有C 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放人4个盒 子中的3个盒子，有A种投放方法，..共有CA=144 种放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种， 当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知 参考答案。 其余3个球的投人方法有2种，故共有2C=8种放法. (5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子 中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个， 由于球是相同的即没有顺序，·.属于组合问题，故共有 CC=12种放法. (6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒 子分别放人0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成 4组，即在O○○○O○O○○○○O○这14个球中 间的13个空中放人三块隔板，共有C=286种放法，如 OO10O00O1OOO1○OO0,即编号为1,2,3,4 的盒子分别放入2,6,5,7个球. 数学文化 例1解：(1)C=20x19=190. 2×1 ②)由器-员解得4 (3)22=4096;1+2+22+22+…+2-21-1. (4)Cm+C81+…+Cm-2=Cmt-1 证明如下：左边=Cm+C网-1+…+Cm+k-2=Cm+1+C阳 +…+C02==Cmh-2+Cm1=C阳1=右边 1 1 例2cC+C.CH-C.C 【解析】类比观察，得 莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数亡，而相邻两 项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C:+C= CH,有cCc.Ci+cC m3.2二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 要点精析 M1解：D方法-：3V+左广-C3V covvcv) 广c2广-814108+54+是+ 方法：BV广岩广4r [1+C3+C(3x)P+C(3x)4C(3)=2(+12x+544 108x+81x)=+12+54+108x+812. 35 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 (2)原式=C8(x+1)(-1)°+C1(x+1)-(-1)+C(x+ 1)y-2(-1)2+…+C(x+1)*(-1)*+…+C(-1)=[(x+1)+(-1)]m =X" 变式训练1解：原式=C9(x-1)5+C(x-1)4+C(x-1)+ C(x-1)2+C(x-1)+C3-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 例2解：=C(V.2广-C2 11 （山)令4子1，解得k=4含x的一次项为T c2-2. (2)令4子keZ,且0≤k≤8，则k=0,4,8, 含x的有理项分别为1=d,1空，15石 变式训练2解：(1)第3项的二项式系数为C=15, 又万=C2V川广-240，第3项的系数方 240. 2cavr左j-(i2c4,令 3-k=2,解得k=1,.含x2的项为第2项，且T=-192x2 例3(1)D(2)C【解析】(1)由二项式定理， 得(1+x)5的展开式的通项为I+=C·x,∴(1+ax)(1+x)卢 的展开式中含2的项的系数为C+Ca=5,∴a=-1,故 选D. (2)(1+2x)(1-x)1的展开式中含x项的系数是由 两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次 项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为Cg·(2x), C·(-x)'+C·(2x)1.C9·14.(-x)0,其系数为C×C× (-1)+C×2xC9=-4+6=2.故选C. 变式训练3-20【解析】由二项展开式的通项公式，可 知含xy7的项可表示为xC8y-yC8x,故(x-y)·(x+ y)8的展开式中y的系数为C%-C8=8-28=-20. 例4解：(1)方法一：(1+2x-3x2)=[1+(2-3x2)] 1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x 3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x2(2-3x)3+5x4(2-3x)4+ x(2-3x)卢x的系数为上式各项中含x5的项的系数和， 即10C2.(-3)2+5C23.(-3)+2=92. 方法二：.(1+2x-3x2)5=(1-x)(1+3x)5=(1-5x+10x2- 10x2+5x4-x)(1+15x+90x2+270x3+405+243x3),.展开式 中x的系数为243-5×405+270x10-10x90+5×15-1=92. 36 方法三：(1+2x-3x2)5相当于5个(1+2x-3x2)相 乘，因此要求展开式中含x项的系数，只需借助二项 式定理的原理求解即可，C;(2x)5+C(2x)C(-3x2)+ C(2x)C(-3x2)2-92x5.故展开式中x的系数为92. 数学文化 例1D【解析】第3次出现全行为1，这说明杨辉三角 中这一行全是奇数，即C(=0,1,2,…,n)是奇 数，经验证可知，第3次出现全行为1时，1的个数为 8,即a=8.故选D. 例298【解析】三角形数阵中，每一行的数由二项式 系数C,人=0,1,2，，n组成设在第n行中有名 「9k-4n=4, n-k+1=5,C 解得 5n-11k=6, n=98,因此答案为98. k=44. 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 及二项式定理的应用 要点精析 例1B【解析】(1)由题意，第6行为1,6,15,20， 15,6,1,第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故 第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.故选B. 变式训练134【解析】由题意，设第n行的第14个数 与第15个数的比为2：3，它等于二项展开式的第14项 和第15项的二项式系数的比，C:C“=2:3,即14 n-13 =号，解得n=34,在第34行中，从左至右第14个数 与第15个数的比为2：3. 例2解：(1)令x=1,得a叶a+++as=1. (2)令x=-1,得(-3)=-a+a1-2+a-4+s.由(2x 1)卢的通项T+1=C(-1).25-·x*,知a4,s,5为负 值，.lal+la,l+la2l+…+lag=a-a+a2-+a4-as=3-243. (3)由ao+a+a2+…+as=1,-a+01-+…+as=-35,得 2(artatas)=I-3.:.artata-I-3--I2I. 2 变式训练2解：(1)，a+a1+a2+…+as=1,-a+a-2+… +o3克aaa-l生-122 (2)a是(2x-1)5的展开式中x的系数，.a=2= 32.又ata+a+…+as=1,.a4+a+a+a4+as=-31.N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.2二项式定 第1课时 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理， 2.掌握二项式定理及其展开式的通项 公式 3.会用二项式定理解决与二项展开式有 关的简单问题 要点精析 川要点1二项式定理的正用、逆用 一般地，当n是正整数时，有 (a+b)=C”d+Cdb+…+Cd6+…+Cmbn. 上述公式称为二项式定理，等式右边的 式子称为(a+b)”的展开式，它共有n+1项， 其中Ca-b是展开式中的第k+1项（通常 用T表示)，C称为第k+1项的二项式系数 例1)求3V+的展开武 (2)化简：C9(x+1)P-C(x+1)+C2(x+ 1)m-2-…+(-1)C(x+1)*+…+(-1)C% (20)学 理与杨辉三角 二项式定理 反思感悟 (1)(a+b)"的二项展开式有n+1项， 是和的形式，各项的幂指数规律是：①各 项的次数和等于n;②字母a按降幂排列， 从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字 母b按升幂排列，从第一项起，次数由0 逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式， 体现的是整体思想.注意分析已知多项式的 特点，向二项展开式的形式靠拢。 B变式训练① 化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x- 1)2+5(x-1). 要点2二项展开式的通项的应用 (a+b)”展开式的第k+1项称二项展开式 的通项公式，记作T=Cb 思考二项式系数与二项展开式中项 的系数相同吗？ 例2在Vx+28/ 中 (1)求展开式中含x的一次项， (2)求展开式中所有的有理项。 反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的 指数为0（即0次项）· (2)对于有理项，一般是先写出通项 公式，求其所有字母的指数恰好都是整数 的项.解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整 数集，再根据数的整除性来求解， (3)对于二项展开式中的整式项，其 通项公式中同一字母的指数应是非负整数， 求解方式与求有理项一致 第三章排列、组合与二项式定理。 B变式训练② 在2Vx-1 6 的展开式中： (1)求第3项的二项式系数及系数. (2)求含x2的项. 川要点3求两个多项式积的特定项 例3(1)若(1+ax)(1+x)5的展开式 中，含x2的项的系数为5，则a等于() A.-4B.-3C.-2 D.-1 (2)(1+2x)3(1-x)4的展开式中，含x 项的系数为() A.10B.-10C.2 D.-2 反思感悟 求多项式积的特定项的方法—“双通 法”： 所谓的“双通法”是根据多项式与多项 式的乘法法则得到(a+bx)严(s+t)m的展开式 中一般项为TT+=Ca+(bx).Cns(tx)r, 再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与 k所满足的条件，进而求出T,飞的取值情况. 学(21 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 变式训练3 (x-y)(x+y)8的展开式中xy?的系数为 (用数字作答) 川要点4二项式的展开式中特定项的求法！ 例4求(1+2x-3x)5的展开式中x5的系数. 反思感悟 本例的求解采用了三种方法，其中方 法三是最优解，其求解应用了二项式定理 的原理，避免了方法一、方法二计算的繁 杂，在学习中要重视数学运算方法的择优， 提升数学运算素养. 22)学 数学文化 例1将杨辉三角中的奇数换成1，偶 数换成0，便可以得到如图的“0一1三角” 在“0一1三角”中，从第1行起，设第n (n∈N+)次出现全行为1时，1的个数为an, 则等于( 第0行 第1行 第2行 0 第3行 第4行 0 0 0 第5行1 0011 图3-2-1 A.26 B.27 C.7 D.8 例2在如图所示三角形数阵中，从第 3行开始，每一行除1以外，其他每一个数 字是它上一行的左右两个数字之和.已知这 个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数 阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的 数字之比为4：5：6，则这一行是第 行（填数字）. 第0行 第1行 第2行 2 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行1615201561 图3-2-2