九年级数学上学期期中模拟卷01（湘教版第1～3章反比例函数、一元二次方程、相似三角形）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B D A B D A A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．－4 12．6 13．14 14．20% 15． 16．/ 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】（1）解：， 整理得， 因式分解得，即，······（1分） ∴，， ∴，；······（2分） （2）解：， 因式分解得，······（1分） ∴，， ∴，．······（2分） 20．（6分）【详解】解：设， 则，，，······（1分） ， ，······（2分） ，······（1分） ，，，······（1分） ．······（1分） 21．（8分）【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴该反比例函数的表达式为；······（2分） （2）解：当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标相等， ∴点，在函数图象上；······（3分） 当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标不相等， ∴点，不在函数图象上．······（3分） 22．（8分）【详解】解：过E作分别交、于G、H，如图所示： ​ ∵，且， ∴（平行线之间距离处处相等）．······（1分） ∴ 则，······（1分） ∵， ∴ ∴，······（2分） ∴， ∴， ∴， 即旗杆的高．······（2分） 23．（9分）【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得，······（1分） 解得(不合题意，舍去)． 答：该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．······（3分） （2）解：假设保持相同的月平均增长率，那么2023年10月新能源汽车的销量为：(万辆)．······（1分） 四个月总销量为：(万辆)······（2分） ∵， ∴新能源汽车销售总量不能达到万辆．······（1分） 答：2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量不能达到万辆．······（1分） 24．【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得：，······（1分） 解得：，······（1分） 与之间的函数关系式为；······（2分） （2）解：根据题意得：，······（2分） 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去，······（2分） ． 答：这种排球每个的实际售价是元．······（1分） 25．（10分）【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标， ∴，解得， ∴双曲线的表达式为，······（1分） 把代入得到， 解得， ∴点的坐标，······（1分） 把点的坐标代入得到，， 解得， ∴直线的表达式为；······（1分） （2）解：如图，设直线交轴于点C，过点作轴于点D，过点B作轴于点E， 在中，当时，， ∴，······（1分） 设且，······（1分） ∴，······（1分） ∵，即， ∴，······（2分） ∴， 即， 解得， ∴······（2分） 26．（10分）【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ；······（2分） （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ，······（1分） 设， ， 在中，， 即， 解得，······（1分） ， ， ， ，即， ，······（1分） ， ．······（1分） （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，······（1分） 为中点， 设， ， 为中点， ，······（1分） ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ，······（1分） 在中，， ， ， ， ， ， ，即．······（1分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册第1~3章（反比例函数、一元二次方程、相似三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列选项中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 3．如图，在中，，，若，则等于（    ）    A．5 B．4 C． D．2 4．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(　　) A． B． C． D． 7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（   ） A． B．，，三点在同一条直线上 C． D． 8．如图，某小区计划在一个长 80米，宽 36米的长方形场地 ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积 都为 260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为 x米，则根据题意可列方程为（   ） A．（80－2x）（36－x）=260×6 B．36×80－2×36x－80x=260×6 C．（36－2x）（80－x）=260 D．（80－2x）（36－x）=260 9．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，，且，相交于点，则(    ) A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是    A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形 OABC的面积为4，则k等于 ． 12．在一幅比例尺为1：400000的地图上，某条道路的长度为1.5cm，则这条道路的实际长度为 km． 13．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 ． 14．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 15．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 16．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 17．如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．    18．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 20．（6分）已知，且，求的值． 21．（8分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 22．（8分）在一次箴龙活动课上，老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度，曹峰同学的测量办法是，拿一根高的标杆直立在离旗杆的B处，然后走到F处，这时目测到旗杆的顶部C与标杆顶部A恰好在同一直线上，又测得，曹峰的目高，求旗杆的高度． 23．（9分）新能源汽车因为节能、环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年的销售量稳居全球第一．已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如下表所示： 月份 7月 8月 9月 新能源汽车销售量/万辆 (1)求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率保持不变，试通过计算说明2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量能否达到75万辆？ 24．（9分）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：    (1)求与之间的函数关系式； (2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？ 25．（10分）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； 26．（10分）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2012九年级数学上册第1~3章（反比例函数、一元二次方程、相似三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列选项中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 3．如图，在中，，，若，则等于（    ）    A．5 B．4 C． D．2 4．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(　　) A． B． C． D． 7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（   ） A． B．，，三点在同一条直线上 C． D． 8．如图，某小区计划在一个长 80米，宽 36米的长方形场地 ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积 都为 260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为 x米，则根据题意可列方程为（   ） A．（80－2x）（36－x）=260×6 B．36×80－2×36x－80x=260×6 C．（36－2x）（80－x）=260 D．（80－2x）（36－x）=260 9．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，，且，相交于点，则(    ) A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是    A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形 OABC的面积为4，则k等于 ． 12．在一幅比例尺为1：400000的地图上，某条道路的长度为1.5cm，则这条道路的实际长度为 km． 13．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 ． 14．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 15．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 16．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 17．如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．    18．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 20．（6分）已知，且，求的值． 21．（8分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 22．（8分）在一次箴龙活动课上，老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度，曹峰同学的测量办法是，拿一根高的标杆直立在离旗杆的B处，然后走到F处，这时目测到旗杆的顶部C与标杆顶部A恰好在同一直线上，又测得，曹峰的目高，求旗杆的高度． 23．（9分）新能源汽车因为节能、环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年的销售量稳居全球第一．已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如下表所示： 月份 7月 8月 9月 新能源汽车销售量/万辆 (1)求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率保持不变，试通过计算说明2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量能否达到75万辆？ 24．（9分）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：    (1)求与之间的函数关系式； (2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？ 25．（10分）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； 26．（10分）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册第1~3章（反比例函数、一元二次方程、相似三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列选项中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”判断即可． 【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2．若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限，可知3-2m＜0，从而可以求得m的取值范围，然后即可解答本题． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴3-2m＜0， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3．如图，在中，，，若，则等于（    ）    A．5 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，通过证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 4．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 【答案】D 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（   ） A． B．，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质直接判断即可，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，，，三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 8．如图，某小区计划在一个长 80米，宽 36米的长方形场地 ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积 都为 260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为 x米，则根据题意可列方程为（   ） A．（80－2x）（36－x）=260×6 B．36×80－2×36x－80x=260×6 C．（36－2x）（80－x）=260 D．（80－2x）（36－x）=260 【答案】A 【分析】设道路的宽度为x米．则横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则草坪的总面积是相邻两边的长度分别为（80-2x）米、（36-x）米的矩形面积，根据每一块草坪的面积都为260平方米，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽度为x米，则横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则草坪的总面积是相邻两边的长度分别为（80-2x）米、（36-x）米的矩形面积， 根据题意得：（80-2x）（36-x）=260×6， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据每一块草坪的面积都为260平方米结合矩形的面积，找出关于x的一元二次方程是解题的关键． 9．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，，且，相交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ，， ∽， ∴， ， ∴， 故选择：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是    A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PH∙PC，故④正确； 故选C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形 OABC的面积为4，则k等于 ． 【答案】－4 【分析】根据反比例函数k值的几何意义代入计算即可. 【详解】解：因为反比例函数y＝，且矩形OABC的面积为4， 所以|k|＝4，即k＝±4， 又反比例函数的图像y＝在第二象限内，k＜0， 所以k＝． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数k值的几何意义，关键在于熟记性质，判断符号. 12．在一幅比例尺为1：400000的地图上，某条道路的长度为1.5cm，则这条道路的实际长度为 km． 【答案】6 【分析】设这条道路的实际长度是xcm，利用比例尺的意义得到1.5：x＝1：400000，然后利用比例性质求出x，再把单位化为km即可． 【详解】解：设这条道路的实际长度是xcm， 根据题意得1.5：x＝1：400000， 解得x＝600000， 600000cm＝6km， 所以这条道路的实际长度是6km， 故答案为：6． 【点睛】本题考查比例尺，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 ． 【答案】14 【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可． 【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14， 故答案为14． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 14．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 【答案】20% 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 15．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即符合题意；当时，由根的判别式，可求出k的取值范围综上即可得出结论． 【详解】当，即时，原方程为， 解得：， 符合题意； 当，即时，有， 解得：且． 综上所述：k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑是解题的关键． 16．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 17．如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义；通过反比例函数与一次函数交点关于原点成中心对称，得到与相等，得到与面积相等，再通过反比例函数的几何意义得到的面积等于，即可得到结果． 【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点， 、两点关于原点对称， ， ， 又是反比例函数上的点，且轴于点， 的面积 ， 的面积 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转中坐标规律探究，解题的关键是确定所在的位置．分析可得：每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，故在轴正半轴上，且，即可得到答案． 【详解】解：∵A点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，； 第二次旋转后，点在第二象限，； 第三次旋转后，点在轴负半轴，； 第四次旋转后，点在第三象限，； 第五次旋转后，点在第四象限，； 第六次旋转后，点在轴正半轴，； 如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴点在轴正半轴上，且， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用适当的方法解方程是解题的关键． （1）先移项，用因式分解的方法解方程，即可得到答案； （2）用因式分解的方法解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 整理得， 因式分解得，即，······（1分） ∴，， ∴，；······（2分） （2）解：， 因式分解得，······（1分） ∴，， ∴，．······（2分） 20．（6分）已知，且，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出、、的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【详解】解：设， 则，，，······（1分） ， ，······（2分） ，······（1分） ，，，······（1分） ．······（1分） 21．（8分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 【答案】(1) (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图像上等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想及待定系数法． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴该反比例函数的表达式为；······（2分） （2）解：当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标相等， ∴点，在函数图象上；······（3分） 当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标不相等， ∴点，不在函数图象上．······（3分） 22．（8分）在一次箴龙活动课上，老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度，曹峰同学的测量办法是，拿一根高的标杆直立在离旗杆的B处，然后走到F处，这时目测到旗杆的顶部C与标杆顶部A恰好在同一直线上，又测得，曹峰的目高，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行公理，先过E作分别交、于G、H，再结合平行线之间距离处处相等，即，然后证明，则，然后把数值代入得，进行计算，即可作答． 【详解】解：过E作分别交、于G、H，如图所示： ​ ∵，且， ∴（平行线之间距离处处相等）．······（1分） ∴ 则，······（1分） ∵， ∴ ∴，······（2分） ∴， ∴， ∴， 即旗杆的高．······（2分） 23．（9分）新能源汽车因为节能、环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年的销售量稳居全球第一．已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如下表所示： 月份 7月 8月 9月 新能源汽车销售量/万辆 (1)求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率保持不变，试通过计算说明2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量能否达到75万辆？ 【答案】(1) (2)新能源汽车销售总量不能达到75万辆 【分析】本题考查了一元二次方程增长率问题 （1）设月平均增长率为，利用2023年9月的销量=2022年7月的销量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据第一问算出的增长率，算出10月份汽车销量，再将7~10月销量全部加起来，即可求出总销量． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得，······（1分） 解得(不合题意，舍去)． 答：该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．······（3分） （2）解：假设保持相同的月平均增长率，那么2023年10月新能源汽车的销量为：(万辆)．······（1分） 四个月总销量为：(万辆)······（2分） ∵， ∴新能源汽车销售总量不能达到万辆．······（1分） 答：2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量不能达到万辆．······（1分） 24．（9分）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：    (1)求与之间的函数关系式； (2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式； （2）利用总利润每个排球的销售利润销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得：，······（1分） 解得：，······（1分） 与之间的函数关系式为；······（2分） （2）解：根据题意得：，······（2分） 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去，······（2分） ． 答：这种排球每个的实际售价是元．······（1分） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出与之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25．（10分）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线交轴于点C，过点作轴于点D，过点B作轴于点E，求出，设且，得到，根据得到，即，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标， ∴，解得， ∴双曲线的表达式为，······（1分） 把代入得到， 解得， ∴点的坐标，······（1分） 把点的坐标代入得到，， 解得， ∴直线的表达式为；······（1分） （2）解：如图，设直线交轴于点C，过点作轴于点D，过点B作轴于点E， 在中，当时，， ∴，······（1分） 设且，······（1分） ∴，······（1分） ∵，即， ∴，······（2分） ∴， 即， 解得， ∴······（2分） 26．（10分）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ；······（2分） （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ，······（1分） 设， ， 在中，， 即， 解得，······（1分） ， ， ， ，即， ，······（1分） ， ．······（1分） （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，······（1分） 为中点， 设， ， 为中点， ，······（1分） ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ，······（1分） 在中，， ， ， ， ， ， ，即．······（1分） 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $