专题10 探索与表达规律 7大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）七年级数学上学期

专题10 探索与表达规律 7大高频考点概览 考点01 数列规律 考点02 数表规律 考点03 算式规律 考点04 一次型图形规律 考点05 二次型图形规律 考点06 指数型图形规律 考点07 周期循环规律 地 城 考点01 数列规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键． 根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此即可解答． 【详解】解：第9个单项式是． 故选：B． 2．(24-25七上·辽宁大连高新园区·期中)观察下列单项式：，，，，，，，则第个单项式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式中的规律探究，先看符号，奇正偶负，再看系数，系数为，最后看指数为，即可得出结果． 【详解】解：观察可知，第个单项式为； 故选D． 3．(24-25七上·辽宁凌海·期中)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是(    ) A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1 【答案】C 【分析】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得. 【详解】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负， ∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负， 指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为， ∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1    ， 故选C. 【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，正确分析出哪些不变，哪些变，是按什么规律发生变化的是解题的关键. 4．(24-25七上·辽宁鞍山第二十六中学·期中)观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究、代数式求值，找到每行数字的变化规律是解答的关键．先根据每行前几个数字的变化得到变化规律，进而求得a、b、c，然后代值求解即可． 【详解】解：①由，9，，81……，得第n个数为，则； ②由1，，9，……，得第n个数为，则； ③由，10，，82……，得第n个数为，则， ∴ ， 故选：A． 5．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…； （2）…． 利用以上规律计算：等于（   ） A． B． C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，从已知中找到规律．从已知可得，n为正整数时，， ，然后即可计算出所求式子的值． 【详解】解：∵，，，…； ，，…． ∴， ， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．(24-25七上·辽宁鞍山铁西区·期中)观察下面一列数：，，，，⋯，按照这个规律，第12个数应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，根据已知一列数得出第n个数为，将代入即可得． 【详解】解：观察一列数：，，，，⋯， 按照这个规律， 第n个数为， 所以第12个数应该是． 故答案为：． 7．(24-25七上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是 ； 【答案】 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：， 故答案为：． 8．(24-25七上·辽宁沈阳铁西区·期中)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前202个数中，奇数的个数为 ． 【答案】135 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前202个数共有67组，且余1个数， ∴奇数有个． 故答案为：135． 9．(24-25七上·辽宁铁岭部分学校·期中)已知整数，满足下列条件：，…，依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于 ；然后把n的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ……， 所以当，是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于 ； ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25七上·辽宁兴城·期中)观察下面三行数： 3，5，7，9，11，13，…；① ，0，2，4，6，8，…；② 12， ，28， ，44， ，…；③ (1)第①行第10个数是__________，第②行第11个数是__________，第③行第12个数是__________； (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)分别用代数式表示出每行第n个数． 【答案】(1)21，18， (2)第②行中的数是第①行中相应的数减5；第③行中的第奇个数是第①行中对应位置数的4倍,第偶个数是第①行中对应位置数的倍 (3)第①行数为，第②行数为，第③行数为 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，关键是找出数字规律． （1）第①行规律是，第②行规律是，第③行规律是，由规律填写即可； （2）观察可知把①中每个数减去5即得②中对应的数；把①中每个数乘以或即得③中对应的数，且依次间隔； （3）由（1）进行解答即可． 【详解】（1）解：在3，5，7，9，11，13，…中， ； ； ； ； 则第①行规律是； ∴第①行第10个数是； 在，0，2，4，6，8，…中， ； ； ； ； 则②行规律是； ∴第②行第11个数是； 在12， ，28， ，44， ，…中， ； ； ； ； 则③行规律是； ∴第③行第12个数是； 故答案为：21,18，； （2）解：； 则把①中每个数减去5即得②中对应的数； ； 可知第③行中的第奇个数是第①行中对应位置数的4倍,第偶个数是第①行中对应位置数的倍 （3）解：由（1）得：第①行数为， 第②行数为， 第③行数为． 11．(24-25七上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 12．(24-25七上·辽宁葫芦岛建昌县·期中)观察下面三行数： ；① ；② ．③ (1)第①行第9个数为___________； (2)分别用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第1024个数，求的值． 【答案】(1) (2)；； (3)1 【分析】本题考查了数的规律探索，用代数式表示规律，求代数式的值，找到规律是解题的关键． （1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为负，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的2倍； （3）由（2）可分别得到行的第1024个数，即x、y、z的值，代入即可得的值． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256，第9个数为； 故答案为：； （2）解：第①行第n个数为； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的2倍，即第n个数为； （3）解：由（2），当时，，，， ∴ ． 13．(24-25七上·辽宁大连金州区·期中)观察下面三行数： (1)第①行数的第7个数是______； (2)第②行数的第个数是______（用含的式子表示）； (3)取①②③行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3)这三个数的和是 【分析】本题考查找规律，根据题中所给的各列数，找准规律即可得到答案． （1）由第①行数的规律即可得到第7个数； （2）由第①行数的规律，结合第②行数的特征即可得到规律； （3）根据三行数的规律，求出各行第10个数，计算这三个数的和即可得到答案． 【详解】（1）解：由可知第7个数是， 故答案为：； （2）解：由，结合第一行规律可知第②行数的第个数是， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）知第一行的规律是，得到第10个数是； 第二行的规律是，得到第10个数是； 第三行的规律是，得到第10个数是； 取①②③行中的第10个数，这三个数的和是． 14．(24-25七上·辽宁营口雁楠中学·期中)阅读材料： 求的值． 解：令① 将等式①两边同时乘，得 ． ② ②-①，得，即 所以． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算： (2)已知数列：，，，，，， ①它的第个数是多少？ ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据上述材料的做法，设将等式两边同时乘以，得，根据上述材料的计算，即可求出； （2）根据数列：，，，，，，可得规律，即可求出第个数的数值；设，将等式两边同时乘以，得，由，即可求出列数中前个数的和． 【详解】（1）设， 将等式两边同时乘以， ∴， ∴得，， ∴， ∴． （2）∵，，，，，， ∴上述规律为：， ∴第个数为：； 设， 将等式两边同时乘以， ∴， ∴得，， ∴， 这列数中前个数的和为：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是理解题意，按照新运算法则，进行运算． 15．(24-25七上·辽宁鞍山华育外国语实验学校·期中)观察下面三行数 ﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…① 0、6、﹣6、18、﹣30、66、…② 5、﹣1、11、﹣13、35、﹣61、……③ （1）第①行数的第7个数是　 　； （2）设第②行数中有一个数为a，第③行数中对应位置的数为b，则a和b之间等量关系为　 　； 设第①行数的第n个数为x，取每行的第n个数，这三个数的和是　 　； （3）根据（2）中的结论，若取每行的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】（1）﹣128；（2）b＝a+2；x+5．（3）﹣507． 【分析】（1）利用第①行数字的规律得到第①行数的第n个数为（﹣2）n，然后n取7即可得到第7个数；（2）第②行和第③行的对应位置上的数的和为5，从而得到a与b的关系；第①行数的第n个数为x，则第②行数的第n个数为x+2，第③行数的第n个数为3﹣x，然后把它们相加即可；（3）由于第①行数的第9个数为（﹣2）9，即x＝（﹣2）9＝﹣512，然后利用（2）的结论计算这三个数的和． 【详解】（1）第①行数的第1个数为（﹣2）1，第2个数为（﹣2）2，第3个数为（﹣2）3，第4个数为（﹣2）4，第5个数为（﹣2）5，第6个数为（﹣2）6，… 所以第7个数为（﹣2）7＝﹣128； （2）b＝a+2； 第①行数的第n个数为x， 第②行数的第n个数为x+2， 第③行数的第n个数为3﹣x， 所以这三个数的和＝x+x+2+3﹣x＝x+5； 故答案为﹣128；b＝a+2；x+5． （3）第①行数的第9个数为（﹣2）9，即x＝（﹣2）9＝﹣512， 所以这三个数的和＝﹣512+5＝﹣507． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题． 地 城 考点02 数表规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁凌海·期中)将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2025在第m行第n列，则（   ） A．254 B．255 C．258 D．259 【答案】C 【分析】本题主要考查数字规律．根据题意可得奇数行为从小到大排列，偶数行为从大到小排列，每行4个数，再由观察第二、三、四列的数的排列规律，可得第行第三列的数为，从而得到2025所在行和列数，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：奇数行为从小到大排列，偶数行为从大到小排列，每行4个数，观察第二、三、四列的数的排列规律，得出第三列数：3，11，19，27，…， ∴第行第三列的数为， ， ∴2025应该在第254行第4列， ， 故选：C． 2．(24-25七上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)“十一”黄金周期间，小佳和妈妈乘火车外出旅游，小佳希望和妈妈的座位连在一起，且能坐在靠窗的位置．如果某列火车的座位排列方式如图所示，那么下列座位号码符合小佳要求的是（    ） 车 窗 1 2 3 过 道 4 5 车 窗 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 … … … … … … … A．28，29 B．45，46 C．50，51 D．64，65 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，结合题意确定靠窗的座位号码规律是解题关键．根据图形中的数据变化，可知被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，座位连在一起，且有一个靠窗的座位，通过分析选项即可得结论． 【详解】解：由已知图形中座位的排列顺序，可知：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两位旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位， 分析答案中的4组座位号，可知选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期中)如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数字规律问题，根据已知图形找出a、b、c、d的数量关系是解题的关键． 首先由已知图形可得，然后找出a、b、c、d的数量关系，最后建立方程求解． 【详解】由已知图形中数字的规律可得： ，，， ∵第n个正方形中的 ∴ 解得 即 解得． 故选：B． 二、解答题 4．(24-25七上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 【答案】(1)64，8，15 (2)，， (3)14859 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可； （3）根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即可． 【详解】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 故答案为：64，8，15； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是，第1行共有个数； 第2行的第一个数是，最后一个数是，第2行共有个数； 第3行的第一个数是，最后一个数是，第3行共有个数； 第4行的第一个数是，最后一个数是，第4行共有个数； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数； 故答案为：，，； （3）∵第20行第1个数为，最后一个数为，共有个数 ∴第20行所有数字之和 ． 5．(24-25七上·辽宁鞍山第二中学·期中)将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】(1)15；2 (2) (3)①；②成立，理由见解析 【分析】本题考查找规律，涉及数字规律、用代数式表示数字规律、整式加减运算等知识，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中数表的规律即可得到答案； （2）由题中数表的规律即可得到答案； （3）①由“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，分别计算即可猜想出关系；②设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为；分别计算即可验证关系． 【详解】（1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第行的最后一个数为，则， 数100位于第15行第2列， 故答案为：15；2； （2）解：由题中数表可知第行最后一个数为， 第行第1列的数是， 故答案为：； （3）解：①如图所示，， ，则， 故答案为：； ②成立， 理由如下： 设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为． ；； ， 即． 地 城 考点03 算式规律 一、填空题 1．(23-24七上·辽宁沈阳新民·期中)观察下面的等式：，，， 请按上面的规律归纳出一个一般的结论： ．（用含的等式表示，为正整数） 【答案】 【分析】本题考查数字类的探索规律，观察已知等式，可得规律，用含n的等式表示即可． 【详解】解：观察等式可得：，，， ∴可得结论． 故答案为：． 三、解答题 2．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)观察下列各式： ，，，．．．．．． (1)根据上述规律写出第5个等式是 ； (2)规律应用：计算 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律第n个等式为是解题的关键． （1）观察等式可得规律第n个等式为，代入即可得到答案； （2）根据（1）的规律，把裂项变成，然后化简即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， ……， 以此类推，第n个等式为， ∴第5个等式为， 故答案为：； （2）解： ． 3．(24-25七上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)观察下面的变形规律： ； ； ； … 解答下面的问题： (1)第个式子为 (2)若为奇数正整数，请你猜想= ； 根据你得到的启示，试解答下题：若有理数，满足，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算； （1）先寻找规律后正确用裂项法即可； （2）先寻找规律后正确用裂项法即可；先求出和的值，再用裂项法即可； 【详解】（1）根据规律得：第5个式子为， 故答案为：； （2）若为正整数，猜想 故答案为： ∵， ∴， ∴原式 ． 4．(23-24七上·辽宁锦州太和区太和区教师进修学校·期中)探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 【答案】(1) (2)（答案不唯一）； (3) 【分析】本题考查了图形规律，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键，再由数字规律求解即可．空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数． 【详解】（1）解：； （2）（答案不唯一）； 规律为：，为正整数； （3） ． 5．(24-25七上·辽宁铁岭部分学校·期中)【情景创设】 ，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是______，是第______个数； 【阅读理解】 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1）；11；（2）；（3） 【分析】（1）根据题目可得第n个数为，即可解答； （2）根据题目所给的简便算法的运算方法进行计算即可； （3）根据规律，将原式化为即可进行计算． 【详解】解：（1）根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， 第五个：， …… 第n个：， ∴第六个数为：， ∵， ∴是第11个数， 故答案为：，11； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查数字类规律探究．通过题目熟练掌握裂项法进行求和计算是解题的关键． 6．(24-25七上·辽宁丹东多校联考期中·期中)观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：________； ________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)探究并计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式可知相邻两个正整数乘积的倒数等于较小的数的倒数减去较大数的倒数，据此规律求解即可； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：， ， ， ……, 以此类推可知，， ∴ 故答案为：；； （2）解：①原式； ②原式； （3）解：原式 ． 7．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期中)下给出求的值的方法． 解：设（1）， 将等式两边同时乘2得（2）， 将（2）式和（1）式左右两边分别相减， 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)求的值为　　　（结果用含幂的式子表示）； (2)求（其中n为正整数）的值（结果用含n的式子表示）． (3)求的值（结果用含幂的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是读懂题意． （1）根据所给的解答方式进行求解即可； （2）仿照所给的解答方式进行求解即可． （3）仿照所给的解答方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 设， 则， 得，， 则， 所以． 故答案为：． （2）解：令①， 则②， 得，， 则， 所以． （3）解：令①， 则②， 得，， 则， 所以． 地 城 考点04 一次型图形规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图是用◆形棋子摆成的“开”字，第一个“开”字需要8颗◆形棋子，第二个“开”字需10颗◆形棋子，…按照此规律摆下去，第15个“开”字需要◆形棋子的数量是（   ） A．36颗 B．38颗 C．34颗 D．32颗 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 由题意知，第1个图形需要8颗◆形棋子，；第2个图形需要10颗◆形棋子，；第3个图形需要12颗◆形棋子，；…，可推导第n个图形需要◆形棋子的颗数为：，然后可求出第15个“开”字需要◆形棋子的数量． 【详解】解：由题意知，第1个图形需要8颗◆形棋子，； 第2个图形需要10颗◆形棋子，； 第3个图形需要12颗◆形棋子，； …； ∴第n个图形需要◆形棋子的颗数为：； ∴第15个图形需要颗◆形棋子． 故选：A． 2．(24-25七上·辽宁锦州黑山县·期中)把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，…，若按此规律拼图案，则图案2024中共有（  ）个三角形． A．6072 B．6073 C．6074 D．6075 【答案】B 【分析】本题考查了探究图形类的规律，解答的关键是由题意得出第个图案中三角形的个数为：；由题意可以得出第n个图案中三角形的个数为：，据此可求解即可． 【详解】解：第1个图案中三角形的个数为：4， 第2个图案中三角形的个数为：， 第3个图案中三角形的个数为：， 则第4个图案中三角形的个数为：， 第5个图案中三角形的个数为：， ， ∴第n个图案中三角形的个数为：， ∴图案2024中共有三角形的个数为：． 故选：B． 3．(24-25七上·辽宁营口雁楠中学·期中)用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多11枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为 （   ） A．57枚 B．50枚 C．48枚 D．47枚 【答案】A 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形和等边三角形个数变化的规律是解题的关键． 依次求出每个图形中正方形和等边三角形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中正方形的个数为：，等边三角形的个数为：，正方形比等边三角形多的个数为：； 第2个图形中正方形的个数为：，等边三角形的个数为：，正方形比等边三角形多的个数为：； 第3个图形中正方形的个数为：，等边三角形的个数为：，正方形比等边三角形多的个数为：； …， 所以第n个图形中正方形的个数为个，等边三角形的个数为个，正方形比等边三角形多的个数为n个； 当时，（个）， 即第11个图形中，正方形卡片比等边三角形卡片多11个，第11个图形中所用两种卡片的总数为57个． 故答案为：57． 4．(24-25七上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要9根小棒，图案②需要13根小棒，图案③需要17根小棒，…，按此规律摆下去，第个图案需要小棒数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 观察图案可知，每下一幅图案比前一幅图案多4根小棒，找出4与的联系即可． 【详解】如图可知，后一幅图总是比前一幅图多4根小棒， 图案1需要小棒：根)， 图案2需要小棒：(根)， 图案3需要小棒：(根)， 则第个图案需要小棒：根． 故选：B． 5．(24-25七上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，用三角形按照一定的规律拼图案，其中第①个图案有5个三角形，第②个图案有8个三角形，第③个图案有11个三角形，……，按此规律拼下去，则第n个图案中三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出规律是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形5个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，则第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：∵第①个图案有三角形个， 第②图案有三角形个， 第③个图案有三角形个， … 则第n个图案有三角形个（时）， 故选：C． 6．(24-25七上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)观察下列图形：它们都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第1个图形有5个圆圈，第2个图形有9个圆圈，第3个图形有13个圆圈，……，按此规律，第7个图形中圆圈的个数为（    ） A．21 B．25 C．28 D．29 【答案】D 【分析】根据已知图形得出第n个图形中圆圈数量为1+4×n=4n+1，再将n=7代入即可得． 【详解】解：∵第1个图形中圆圈数量5=1+4×1， 第2个图形中圆圈数量9=1+4×2， 第3个图形中圆圈数量13=1+4×3， …… ∴第n个图形中圆圈数量为1+4×n=4n+1， 当n=7时，圆圈的数量为29， 故选：D． 【点睛】本题考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题． 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁盘锦弘毅中学·期中)下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 个． 【答案】3n+2 【详解】解：第一个图案为3+2=5个窗花； 第二个图案为2×3+2=8个窗花； 第三个图案为3×3+2=11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． 故答案为：3n+2 8．(24-25七上·辽宁营口·期中)把棱长为的正方体一个接一个地拼在一起，排成一组长方体，如图，用代数式表示个小正方体拼成长方体表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律问题，由图求出前三个图形的表面积，然后总结规律求解即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由图可得，1个小正方体拼成长方体表面积为 2个小正方体拼成长方体表面积为 3个小正方体拼成长方体表面积为 … ∴个小正方体拼成长方体表面积为． 故答案为：． 9．(24-25七上·辽宁鞍山千山区·)用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多3个小正三角形．按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小正三角形的个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律．观察图形可知，第1个图形共有三角形个；第2个图形共有三角形个；第3个图形共有三角形个；第4个图形共有三角形个；…；则第n个图形共有三角形个． 【详解】解：观察图形可知，第1个图形共有三角形个； 第2个图形共有三角形个； 第3个图形共有三角形个； 第4个图形共有三角形个； …； ∴第n个图形共有三角形个； 故答案为：． 10．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第10个图案用多少根火柴棒？ ． 【答案】41 【分析】根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】观察图形，得 图①用了5根火柴，即5=1×4+1 图②用了9根火柴，即9=2×4+1 图③用了13根火柴，即13=3×4+1 … 图n用了（4n+1）根火柴， 所以摆第10个图案用4×10+1=41根火柴棒． 故答案为：41． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中火柴根数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 11．(24-25七上·辽宁建平县沙海中学·期中)如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 12．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期中)有一种塑料杯子的高度是，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则10个这种杯子叠放在一起高度是 ． 【答案】28 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式． 根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度，即可求解． 【详解】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：． 当时， 故答案为：28． 13．(24-25七上·辽宁鞍山第二十六中学·期中)如图，嘉嘉在用等长的木棒设计图案，他用8根木棒摆成图案1，用14根木棒摆成图案2，用20根木棒摆成图案3． （1） 摆成图案n（n为正整数）时，需要用 根木棒．（用含n的式子表示） （2） 嘉嘉一共有120根木棒，则他 同时摆出图案5，图案6和图案7．（填“能”或“不能”） 【答案】 能 【分析】（1）根据所给图形，依次求出所需木棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需木棒根数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 摆成图案1所需木棒的根数为：； 摆成图案2所需木棒的根数为：； 摆成图案3所需木棒的根数为：； ， ∴摆成图案所需木棒的根数为根． 故答案为：． （2）当时， （根）； 当时， （根）； 当时， （根）； ∴同时摆出图案5，6，7所需的木棒根数为：（根）， ∵， ∴能同时摆出图案5，图案6和图案7． 故答案为：能． 14．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期中)用小棒按照如下方式摆图形 摆第个图形需要 根小棒． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键．根据题意确定图形变化规律，即可确定摆第个图形所需要的小棒根数． 【详解】解：根据题意， 摆第1个图形需要根小棒， 摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒， ， 则摆第8个图形需要根小棒， 摆第个图形需要根小棒， 所以，摆第个图形需要． 故答案为：． 15．(24-25七上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)一根绳子弯曲成如图①所示的形状．当用剪刀像图②那样沿虚线把绳子剪1次时，绳子被剪为段；当用剪刀像图③那样沿虚线，剪2次时，绳子就被剪为段．若按上述规律把绳子剪次时，则绳子被剪为 段． 【答案】 【分析】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，根据规律算出代数式是解题的关键； 根据规律算出代数式即可求解； 【详解】解：设段数为，则依题意得：时，， ，， ，， ，， … 所以当时，， 故答案为： 三、解答题 16．(24-25七上·辽宁大连甘井子区·期中)观察：用火柴棒按下列方式搭建三角形： 问题：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是多少？下面是四个同学的发现：根据小明的发现：从第二个图形起，与前一图形相比，增加2根火柴棒，可得： 三角形个数 1 2 3 4 火柴棒根数 3 … 根据小旭的发现：每个三角形由三根火柴棒组成，从第一个三角形起，火柴棒根数等于所含三角形的个数乘以3再减去重复的火柴棒根数，可得： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … 根据小晗的发现：观察火柴棒的根数与三角形个数的对应关系，可得： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … 根据小亮的发现：把组成图形的火柴棒分为“横”放和“斜”放，可得： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … (1)请根据小晗同学的发现，在“4”下面的表格中按规律填写______． (2)当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是______（用含n的整式表示）； (3)当图形中含有2024个三角形时，需要多少根火柴棒？ (4)有了解决上述问题的经验，解决下面这个问题：如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影按照这样的规律，第n个图案中有4425个涂有阴影的小正方形，求n的值． 【答案】(1) (2)根 (3)4049根 (4)1106 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒及阴影小正方形的个数是解题的关键． （1）根据小晗的发现，将表格补充完整即可． （2）根据表格中所给数据，发现规律即可解决问题． （3）根据（2）中发现的规律即可解决问题． （4）根据所给图形，依次求出图形中阴影小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：根据小晗的发现可知， 当三角形个数为4时，火柴棒根数为：； 故答案为：． （2）解：由题知， 当三角形个数为1时，火柴棒根数为：； 当三角形个数为2时，火柴棒根数为：； 当三角形个数为3时，火柴棒根数为：； …， 所以当三角形个数为n时，火柴棒根数为根． 故答案为：根． （3）解：由（2）知，当时，（个）， 即当图形中含有2024个三角形时，需要4049根火柴棒． （4）解：由所给图形可知， 第1个图案中，涂由阴影的小正方形个数为：； 第2个图案中，涂由阴影的小正方形个数为：； 第3个图案中，涂由阴影的小正方形个数为：； …， 所以第n个图案中，涂由阴影的小正方形个数为个． 令， 解得， 即第1106个图案中有4425个涂有阴影的小正方形． 故答案为：1106． 17．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期中)在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题 (1)探究一：如图1，将一根绳子折成3段，然后按如图所示方式剪开；如图1-1，剪1刀，绳子变为4段；如图1-2，剪2刀，绳子变为7段；…… ①剪12刀，绳子变为 段； ②有可能正好剪得98段吗？请说明理由 (2)探究二：将一根绳子折成4段，然后按（1）中方式剪开；如图2，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为 段；剪n刀，绳子变为 段 (3)归纳：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为 段（用含m，n的代数式表示） (4)问题解决：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式方式剪n刀，绳子变为100段，则 的值为 【答案】(1)①37；②没有可能正好剪98段，理由见详解 (2)9； (3) (4)或 【分析】此题主要考查了图形的变化类，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． （1）①将一根绳子折成3段剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；……依此类推，可得剪12刀，绳子变为段； ②由①可得，剪n刀，绳子变为段，解方程即可解答； （2）结合图形，由（1）的规律即可得出答案； （3）由（1）、（2）规律可得出答案； （4）由（3）的规律可得出答案． 【详解】（1）解：①剪1刀，绳子变为4段，；剪2刀，绳子变为7段， ；由此可得，剪3刀，绳子变为段，剪4刀，绳子变为段，…… 可得，剪12刀，绳子变为段； 故答案为：37； ②没有可能正好剪得98段， 理由：由①可得，剪n刀，绳子变为段， ， ，不是正整数， 没有可能正好剪得98段； （2）解∶ 剪1刀，绳子变为5段，；剪2刀，绳子变为，9段；剪n刀，绳子变为段， 故答案为：9；； （3）解：由（1）、（2）可得，将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为段， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为段， ， ， ， 又， 时或时， 或， 故答案为：或． 18．(24-25七上·辽宁大连高新园区·期中)用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 … 所用木棒根数 6 14 22 … 表中的 ；按这种方式拼下去，第个图形需要 根小木棒（用的代数式表示）； (2)第100个图形需要用多少根小木棒? (3)小明同学说他按这种方式拼出来的一个图形共用了2024根小木棒，你认为可能吗?如果可能，那是第几个图形?如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)30； (2)第100个图形需要用798根小木棒 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，关键是找出前后两个图形的变化规律． （1）根据前后两个图形相差8个小木棒可完成表格； （2）根据（1）所得规律即可得到答案； （3）根据（1）中所得规律列方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形需要个小木棒， 第2个图形需要个小木棒， 第3个图形需要个小木棒， ……， 以此类推，可知，第n个图形需要个小木棒， ∴第4个图形需要个小木棒，即, 故答案为：30，； （2）解：当时，， ∴第100个图形需要用798根小木棒； （3）解：不可能， 理由如下： 当， 解得， 是正整数， 不合题意． ∴小明的说法是错误的， ∴是不可能的． 地 城 考点05 二次型图形规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁阜新第四中学·期中)将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“”个数，则第30个“龟图”中“”的个数是（    ） A．873 B．874 C．875 D．876 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．根据：第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；第4个图形中小圆的个数为；…；由此得出第n个图形中小圆的个数为．据此可以求得答案． 【详解】解：∵第1个图形中小圆的个数为； 第2个图形中小圆的个数为； 第3个图形中小圆的个数为； 第4个图形中小圆的个数为； …； ∴第n个图形中小圆的个数为． ∴第30个“龟图”中的“”的个数为． 故选：C． 2．(24-25七上·辽宁辽阳第一中学·期中)如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）      A．71 B．78 C．85 D．89 【答案】D 【分析】先得出前几个图形中小正方形个数，总结出变化规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个图形中小正方形的个数：（个）， 第2个图形中小正方形的个数：（个）， 第3个图形中小正方形的个数：（个）， …… 第n个图形中小正方形的个数：（个）， ∴第8个图形中小正方形的个数：（个）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的规律探索，解题的关键是根据图形，总结出变化规律． 3．(23-24七上·辽宁阜新海州区第一中学·期中)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　） A．50 B．64 C．68 D．72 【答案】D 【详解】解：第①个图形一共有2个五角星， 第②个图形一共有8个五角星， 第③个图形一共有18个五角星， …， 则所以第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72； 故选：D． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁盘锦双台子区·期中)下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第㉛个图形中●的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查与整式相关的规律问题，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题中的规律得到第个图中共有●的个数为：个，即可计算出第㉛个图形中●的个数． 【详解】解：第①个图中共有个， 第②个图中共有个， 第③个图中共有个， 第④个图中共有个， ⋯ ∴第个图中共有●的个数为：个， ∴第㉛个图中共有中●的个数为：． 故答案为：． 5．(24-25七上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第个图案需根火柴， 第个图案需根火柴， ， 依此规律， 第个图案需 根火柴棒， 第个图案需 火柴棒． 【答案】 【分析】根据第个图案需根火柴：，第个图案需根火柴： ，第个图案需根火柴：，得出规律：第个图案需根火柴，再把和分别代入即可求出答案． 【详解】解：第个图案需根火柴：， 第个图案需根火柴： ， 第个图案需根火柴：， …… 则第个图案需火柴的根数为：， ∴第个图案需火柴的根数为：（根）， 第个图案需火柴的根数为：（根）． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题． 6．(24-25七上·辽宁大连金州区·期中)如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形．．．．．．按照这样的方法拼成的第个正方形有 个小正方形． 【答案】/ 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 第一个图有1个正方形； 第二个图有4个正方形； 第三个图有9个正方形； 第三个图有16个正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形有个正方形； 故答案为：． 7．(24-25七上·辽宁盘锦双台子区·期中)下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第㉛个图形中●的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查与整式相关的规律问题，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题中的规律得到第个图中共有●的个数为：个，即可计算出第㉛个图形中●的个数． 【详解】解：第①个图中共有个， 第②个图中共有个， 第③个图中共有个， 第④个图中共有个， ⋯ ∴第个图中共有●的个数为：个， ∴第㉛个图中共有中●的个数为：． 故答案为：． 8．(24-25七上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子． 【答案】 127 【详解】∵n=1时，总数是6+1=7； n=2时，总数为6×（1+2）+1=19； n=3时，总数为6×（1+2+3）+1=37枚； …； ∴n=6时，总数为6×（1+2+3…+6）+1=127枚； …； ∴n=n时，有6×（1+2+3+…n）+1=6×(n+1)n+1=3n2+3n+1枚． 故答案为127，3n2+3n+1（n∈N+）． 9．(23-24七上·辽宁鞍山铁东区·期中)下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第个图形中小正方形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题目所给的图形，总结出变化的一般规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个：， 故答案为：． 地 城 考点06 指数型图形规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁锦州第八初级中学·期中)1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集，如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集，那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律． 【详解】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为， 第二阶段时，余下的线段的长度之和为 ， 第三阶段时，余下的线段的长度之和为 ， 第四阶段时，余下的线段的长度之和为 ， 故选：B． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题． 2．(24-25七上·辽宁丹东多校联考期中·期中)把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（    ）条折痕．    A．14 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的乘方，根据题意归纳出一般规律是解题关键．由题意发现，对折次，折痕条数为，据此即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，对折1次，折痕条数为； 对折2次，折痕条数为； 对折3次，折痕条数为； …… 观察可知，对折次，折痕条数为， 对折6次，折痕条数为， 故选：C． 3．(23-24七上·辽宁鞍山铁东区·期中)《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”大意是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截取一根长为1米的木棍，则第五天截取的木棍的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方应用、用代数式表示规律，理解题意是解题的关键．根据题意，每天截取的长度是前一天剩余的一半，据此列式即可求解． 【详解】解：根据题意，每天截取的长度为前一天剩余的一半， 第一天截取米，剩余米， 第二天截取米，剩余米， 第三天截取米，剩余米， …… 依此类推，第天截取的长度为米； 所以第五天截取的木棍的长度是米． 故选：C． 4．(24-25七上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形③面积是图形②面积的2倍的，图形②面积是图形①面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化以及有理数的混合运算，根据题意可得图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是，图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是，图形⑦面积是．从而得到的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 图形①面积是， 图形②面积是， 图形③面积是， 图形④面积是 图形⑤面积是， 图形⑥面积是， 图形⑦面积是． ∴的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和， ∴． 故选：A 二、填空题 5．(24-25七上·辽宁大连名校联盟·期中)如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为块时，白色瓷砖为 块． 【答案】 【分析】此题主要考查图形变化规律，解题的关键是通过观察和分析，找出白色瓷砖和黑色瓷砖的规律．第个图形有块白瓷砖，黑瓷砖有块，由此即可求解． 【详解】解：第个图形有块白瓷砖，黑瓷砖有块； 那么当黑色瓷砖为块时，， 解得：， 白色瓷砖的数量为：（块）， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25七上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中)你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2)到第5次捏合后可拉出32根细面条 (3) 【分析】（1）根据题意，可以得到经过次捏合后，可以拉出根细面条，即可； （2）利用（1）中结论，列式计算即可； （3）先算出捏合10次后，拉出的细面条的根数，再乘以每根的长度，计算即可． 【详解】（1）解：由题意：第一次捏合后，得到2根面条， 第二次捏合后，得到根面条， 第三次捏合后，得到根面条， ∴经过3次捏合后，可以拉出8根细面条，经过次捏合后，可以拉出根细面条； 故答案为：； （2）由（1）知经过次捏合后，可以拉出根细面条， 当时，； ∴到第5次捏合后可拉出32根细面条； （3）； 答：拉出的细面条的总长度为． 【点睛】本题考查有理数乘方的实际应用．解题的关键是根据题意，抽象概括出经过次捏合后，可以拉出根细面条． 7．(24-25七上·辽宁丹东第五中学·期中)《庄子•天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． (1)规律探索：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；…S阴影n＝＝ ； (2)规律应用：计算＝ ； (3)拓展延伸：计算＝ ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （2）根据（2）的化简结果即可求值． 【详解】（1）如图3，； … ； 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． 8．(24-25七上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题 (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，根据图示我们可以知道：＝　 　．（用含有n的式子表示） (2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的，然后依次取剩余部分的，根据图示：计算：＝　 　．（用含有n的式子表示） (3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：＝　 　．（用含有n的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）根据题干给出图形，依次取正方形面积的，…，找出规律即可； （3）根据题干给出图形，依次取正方形面积的，…，找出规律即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 9．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期中)将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），线段和交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形； (2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成共有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为1，按照上述方式不断地分割该正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，尝试求出的结果（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 (4) 【分析】本题考查图形类规律探索，解一元一次方程．掌握从特殊到一般的思想是解题关键． （1）由题意知，第1次划分，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：图3中共有个正方形，可知每多划分一次，增加4个正方形，根据第5次划分后，图中共有个正方形，计算求解即可； （2）由题意知，第n次划分后图中共有个正方形，计算求解即可； （3）令，计算求解，然后作答即可； （4）由题意知，相当于原正方形面积去掉第1次划分后的左上角的小正方形面积，相当于原正方形面积去掉第2次划分后的左上角的小正方形面积，则相当于原正方形面积去掉第次划分后的左上角的小正方形面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1次划分，此时图2中共有5个正方形； 第2次划分：图3中共有个正方形， ∴可知每多划分一次，增加4个正方形， ∴第5次划分后，图中共有个正方形， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n次划分后图中共有个正方形， 故答案为：； （3）解：不能，理由如下： 令， 解得， ∵n不是整数， ∴正方形不能划分成共有个正方形的图形； （4）解：∵原正方形的边长为1， ∴原正方形的面积为1， ∴第1次划分后每个小正方形的面积为，第2次划分后每个小正方形的面积为， ∴第次划分后每个小正方形的面积为，第次划分后每个小正方形的面积为， 由题意知，相当于原正方形面积去掉第1次划分后的左上角的小正方形面积， 相当于原正方形面积去掉第2次划分后的左上角的小正方形面积， ∴相当于原正方形面积去掉第次划分后的左上角的小正方形面积， ∴． 地 城 考点07 周期循环规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期中)天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法. 天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2024年是甲辰年，可以推知2049年是（   ）年 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 A．乙巳 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确发现规律是解题关键．根据表格得出天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期，据此求解即可得． 【详解】解：由题意得：天干是以年为一个周期，地支是以年为一个周期， ∵年和年相差年, 且年是甲辰年， ∴年对应的天干是己，地支是巳，即年是己巳年， 故选: B． 2．(24-25七上·辽宁营口·期中)一列数，，，，…，任意3个相邻数的和相等，那么前25项数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据题意求得前三个数字的和，根据个数中有组数余1个，据此计算即可求解． 【详解】∵由于任意三个相邻数之和相等，所以该数列以为周期， ， ， ∴前25项数的和为：； 故选：C． 3．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期中)若是不为的有理数，则我们把称为的“奇特数”．如：的“奇特数”是，的“奇特数”是．已知，是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，，以此类推，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据“奇特数”的定义可得数列按照循环，据此即可求解，由题意得到数列的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ∵， ∴等于， 故选：． 4．(24-25七上·辽宁大石桥水源镇九年一贯制学校·期中)将从1开始的连续的自然数按照如下规律排列，则2024所在的位置是（    ） A．第674个三角形的左下角 B．第674个三角形的右下角 C．第675个三角形的左下角 D．第675个三角形的右下角 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先归纳类推出每个三角形中的上方的自然数的规律可得2024所在的三角形，再根据当为奇数时，三角形中的三个数是按逆时针方向进行小到大排列；当为偶数时，三角形中的三个数是按顺时针方向进行小到大排列即可得出答案． 【详解】解：第1个三角形的上方的自然数是， 第2个三角形的上方的自然数是， 第3个三角形的上方的自然数是， 第4个三角形的上方的自然数是， 归纳类推得：第个三角形的上方的自然数是，其中是正整数， ，， ∴2024在第675个三角形， 由图可知，当为奇数时，三角形中的三个数是按逆时针方向进行小到大排列；当为偶数时，三角形中的三个数是按顺时针方向进行小到大排列， 又是奇数， ∴2024在第675个三角形的左下角， 故选：C． 5．(24-25七上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为到（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值及有理数的运算，根据运算程序将的值代入对应的代数式中并总结规律即可，结合已知条件列式计算后总结出规律是解题的关键． 【详解】解：已知开始输入的值为， 第次输出的结果：； 第次输出的结果：； 第次输出的结果：； 第次输出的结果：； 第次输出的结果：； 第次输出的结果：； ； 第次输出的结果为， 故选：． 6．(24-25七上·辽宁建平县沙海中学·期中)如图是一个运算程序，若第1次输入的值为16，则第2024次输出的结果是（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律，根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解． 【详解】解：由数据运算程序得，如果开始输入的的值为16，那么： 第1次输出的结果是8， 第2次输出的结果是4， 第3次输出的结果是2， 第4次输出的结果是1， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是4， 第9次输出的结果是2， 第10次输出的结果是1， 第11次输出的结果是4， 综上可得，从第4次开始，每三个一循环， 由可得第2024次输出的结果与第5次输出的结果相等，为4． 故选：C． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 探索与表达规律 7大高频考点概览 考点01 数列规律 考点02 数表规律 考点03 算式规律 考点04 一次型图形规律 考点05 二次型图形规律 考点06 指数型图形规律 考点07 周期循环规律 地 城 考点01 数列规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁大连高新园区·期中)观察下列单项式：，，，，，，，则第个单项式为（  ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁凌海·期中)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是(    ) A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1 4．(24-25七上·辽宁鞍山第二十六中学·期中)观察下面三行数： ，9，，81……① 1，，9，……② ，10，，82……③ 设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…； （2）…． 利用以上规律计算：等于（   ） A． B． C．2023 D．2024 二、填空题 6．(24-25七上·辽宁鞍山铁西区·期中)观察下面一列数：，，，，⋯，按照这个规律，第12个数应该是 ． 7．(24-25七上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是 ； 8．(24-25七上·辽宁沈阳铁西区·期中)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前202个数中，奇数的个数为 ． 9．(24-25七上·辽宁铁岭部分学校·期中)已知整数，满足下列条件：，…，依此类推，则的值为 ． 三、解答题 10．(24-25七上·辽宁兴城·期中)观察下面三行数： 3，5，7，9，11，13，…；① ，0，2，4，6，8，…；② 12， ，28， ，44， ，…；③ (1)第①行第10个数是__________，第②行第11个数是__________，第③行第12个数是__________； (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)分别用代数式表示出每行第n个数． 11．(24-25七上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 12．(24-25七上·辽宁葫芦岛建昌县·期中)观察下面三行数： ；① ；② ．③ (1)第①行第9个数为___________； (2)分别用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第1024个数，求的值． 13．(24-25七上·辽宁大连金州区·期中)观察下面三行数： (1)第①行数的第7个数是______； (2)第②行数的第个数是______（用含的式子表示）； (3)取①②③行中的第10个数，计算这三个数的和． 14．(24-25七上·辽宁营口雁楠中学·期中)阅读材料： 求的值． 解：令① 将等式①两边同时乘，得 ． ② ②-①，得，即 所以． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算： (2)已知数列：，，，，，， ①它的第个数是多少？ ②求这列数中前个数的和． 15．(24-25七上·辽宁鞍山华育外国语实验学校·期中)观察下面三行数 ﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…① 0、6、﹣6、18、﹣30、66、…② 5、﹣1、11、﹣13、35、﹣61、……③ （1）第①行数的第7个数是　 　； （2）设第②行数中有一个数为a，第③行数中对应位置的数为b，则a和b之间等量关系为　 　； 设第①行数的第n个数为x，取每行的第n个数，这三个数的和是　 　； （3）根据（2）中的结论，若取每行的第9个数，计算这三个数的和． 地 城 考点02 数表规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁凌海·期中)将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2025在第m行第n列，则（   ） A．254 B．255 C．258 D．259 2．(24-25七上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中)“十一”黄金周期间，小佳和妈妈乘火车外出旅游，小佳希望和妈妈的座位连在一起，且能坐在靠窗的位置．如果某列火车的座位排列方式如图所示，那么下列座位号码符合小佳要求的是（    ） 车 窗 1 2 3 过 道 4 5 车 窗 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 … … … … … … … A．28，29 B．45，46 C．50，51 D．64，65 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期中)如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 二、解答题 4．(24-25七上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 5．(24-25七上·辽宁鞍山第二中学·期中)将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 地 城 考点03 算式规律 一、填空题 1．(23-24七上·辽宁沈阳新民·期中)观察下面的等式：，，， 请按上面的规律归纳出一个一般的结论： ．（用含的等式表示，为正整数） 三、解答题 2．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)观察下列各式： ，，，．．．．．． (1)根据上述规律写出第5个等式是 ； (2)规律应用：计算 3．(24-25七上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)观察下面的变形规律： ； ； ； … 解答下面的问题： (1)第个式子为 (2)若为奇数正整数，请你猜想= ； 根据你得到的启示，试解答下题：若有理数，满足，求的值． 4．(23-24七上·辽宁锦州太和区太和区教师进修学校·期中)探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 5．(24-25七上·辽宁铁岭部分学校·期中)【情景创设】 ，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是______，是第______个数； 【阅读理解】 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 6．(24-25七上·辽宁丹东多校联考期中·期中)观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：________； ________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)探究并计算：． 7．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期中)下给出求的值的方法． 解：设（1）， 将等式两边同时乘2得（2）， 将（2）式和（1）式左右两边分别相减， 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)求的值为　　　（结果用含幂的式子表示）； (2)求（其中n为正整数）的值（结果用含n的式子表示）． (3)求的值（结果用含幂的式子表示）． 地 城 考点04 一次型图形规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图是用◆形棋子摆成的“开”字，第一个“开”字需要8颗◆形棋子，第二个“开”字需10颗◆形棋子，…按照此规律摆下去，第15个“开”字需要◆形棋子的数量是（   ） A．36颗 B．38颗 C．34颗 D．32颗 2．(24-25七上·辽宁锦州黑山县·期中)把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，…，若按此规律拼图案，则图案2024中共有（  ）个三角形． A．6072 B．6073 C．6074 D．6075 3．(24-25七上·辽宁营口雁楠中学·期中)用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多11枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为 （   ） A．57枚 B．50枚 C．48枚 D．47枚 4．(24-25七上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要9根小棒，图案②需要13根小棒，图案③需要17根小棒，…，按此规律摆下去，第个图案需要小棒数是（） A． B． C． D． 5．(24-25七上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，用三角形按照一定的规律拼图案，其中第①个图案有5个三角形，第②个图案有8个三角形，第③个图案有11个三角形，……，按此规律拼下去，则第n个图案中三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)观察下列图形：它们都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第1个图形有5个圆圈，第2个图形有9个圆圈，第3个图形有13个圆圈，……，按此规律，第7个图形中圆圈的个数为（    ） A．21 B．25 C．28 D．29 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁盘锦弘毅中学·期中)下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 个． 8．(24-25七上·辽宁营口·期中)把棱长为的正方体一个接一个地拼在一起，排成一组长方体，如图，用代数式表示个小正方体拼成长方体表面积为 ． 9．(24-25七上·辽宁鞍山千山区·)用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多3个小正三角形．按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小正三角形的个数是 （用含n的代数式表示）． 10．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第10个图案用多少根火柴棒？ ． 11．(24-25七上·辽宁建平县沙海中学·期中)如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    12．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期中)有一种塑料杯子的高度是，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则10个这种杯子叠放在一起高度是 ． 13．(24-25七上·辽宁鞍山第二十六中学·期中)如图，嘉嘉在用等长的木棒设计图案，他用8根木棒摆成图案1，用14根木棒摆成图案2，用20根木棒摆成图案3． （1） 摆成图案n（n为正整数）时，需要用 根木棒．（用含n的式子表示） （2） 嘉嘉一共有120根木棒，则他 同时摆出图案5，图案6和图案7．（填“能”或“不能”） 14．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期中)用小棒按照如下方式摆图形 摆第个图形需要 根小棒． 15．(24-25七上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)一根绳子弯曲成如图①所示的形状．当用剪刀像图②那样沿虚线把绳子剪1次时，绳子被剪为段；当用剪刀像图③那样沿虚线，剪2次时，绳子就被剪为段．若按上述规律把绳子剪次时，则绳子被剪为 段． 三、解答题 16．(24-25七上·辽宁大连甘井子区·期中)观察：用火柴棒按下列方式搭建三角形： 问题：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是多少？下面是四个同学的发现：根据小明的发现：从第二个图形起，与前一图形相比，增加2根火柴棒，可得： 三角形个数 1 2 3 4 火柴棒根数 3 … 根据小旭的发现：每个三角形由三根火柴棒组成，从第一个三角形起，火柴棒根数等于所含三角形的个数乘以3再减去重复的火柴棒根数，可得： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … 根据小晗的发现：观察火柴棒的根数与三角形个数的对应关系，可得： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … 根据小亮的发现：把组成图形的火柴棒分为“横”放和“斜”放，可得： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … (1)请根据小晗同学的发现，在“4”下面的表格中按规律填写______． (2)当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是______（用含n的整式表示）； (3)当图形中含有2024个三角形时，需要多少根火柴棒？ (4)有了解决上述问题的经验，解决下面这个问题：如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影按照这样的规律，第n个图案中有4425个涂有阴影的小正方形，求n的值． 17．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期中)在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题 (1)探究一：如图1，将一根绳子折成3段，然后按如图所示方式剪开；如图1-1，剪1刀，绳子变为4段；如图1-2，剪2刀，绳子变为7段；…… ①剪12刀，绳子变为 段； ②有可能正好剪得98段吗？请说明理由 (2)探究二：将一根绳子折成4段，然后按（1）中方式剪开；如图2，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为 段；剪n刀，绳子变为 段 (3)归纳：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为 段（用含m，n的代数式表示） (4)问题解决：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式方式剪n刀，绳子变为100段，则 的值为 18．(24-25七上·辽宁大连高新园区·期中)用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 … 所用木棒根数 6 14 22 … 表中的 ；按这种方式拼下去，第个图形需要 根小木棒（用的代数式表示）； (2)第100个图形需要用多少根小木棒? (3)小明同学说他按这种方式拼出来的一个图形共用了2024根小木棒，你认为可能吗?如果可能，那是第几个图形?如果不可能，请说明理由． 地 城 考点05 二次型图形规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁阜新第四中学·期中)将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“”个数，则第30个“龟图”中“”的个数是（    ） A．873 B．874 C．875 D．876 2．(24-25七上·辽宁辽阳第一中学·期中)如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）      A．71 B．78 C．85 D．89 3．(23-24七上·辽宁阜新海州区第一中学·期中)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　） A．50 B．64 C．68 D．72 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁盘锦双台子区·期中)下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第㉛个图形中●的个数为 ． 5．(24-25七上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第个图案需根火柴， 第个图案需根火柴， ， 依此规律， 第个图案需 根火柴棒， 第个图案需 火柴棒． 6．(24-25七上·辽宁大连金州区·期中)如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形．．．．．．按照这样的方法拼成的第个正方形有 个小正方形． 7．(24-25七上·辽宁盘锦双台子区·期中)下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第㉛个图形中●的个数为 ． 8．(24-25七上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子． 9．(23-24七上·辽宁鞍山铁东区·期中)下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第个图形中小正方形的个数是 ． 地 城 考点06 指数型图形规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁锦州第八初级中学·期中)1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称做康托尔集，如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段…将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称做康托尔集，那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁丹东多校联考期中·期中)把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（    ）条折痕．    A．14 B．31 C．63 D．127 3．(23-24七上·辽宁鞍山铁东区·期中)《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”大意是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截取一根长为1米的木棍，则第五天截取的木棍的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．(24-25七上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形③面积是图形②面积的2倍的，图形②面积是图形①面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25七上·辽宁大连名校联盟·期中)如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为块时，白色瓷砖为 块． 三、解答题 6．(24-25七上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中)你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 7．(24-25七上·辽宁丹东第五中学·期中)《庄子•天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． (1)规律探索：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；…S阴影n＝＝ ； (2)规律应用：计算＝ ； (3)拓展延伸：计算＝ ． 8．(24-25七上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题 (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，根据图示我们可以知道：＝　 　．（用含有n的式子表示） (2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的，然后依次取剩余部分的，根据图示：计算：＝　 　．（用含有n的式子表示） (3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：＝　 　．（用含有n的式子表示） 9．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期中)将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），线段和交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形； (2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成共有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为1，按照上述方式不断地分割该正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，尝试求出的结果（直接写出答案即可）． 地 城 考点07 周期循环规律 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期中)天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法. 天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2024年是甲辰年，可以推知2049年是（   ）年 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 A．乙巳 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 2．(24-25七上·辽宁营口·期中)一列数，，，，…，任意3个相邻数的和相等，那么前25项数的和为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期中)若是不为的有理数，则我们把称为的“奇特数”．如：的“奇特数”是，的“奇特数”是．已知，是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，，以此类推，则等于（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七上·辽宁大石桥水源镇九年一贯制学校·期中)将从1开始的连续的自然数按照如下规律排列，则2024所在的位置是（    ） A．第674个三角形的左下角 B．第674个三角形的右下角 C．第675个三角形的左下角 D．第675个三角形的右下角 5．(24-25七上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为到（　　）    A． B． C． D． 6．(24-25七上·辽宁建平县沙海中学·期中)如图是一个运算程序，若第1次输入的值为16，则第2024次输出的结果是（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $