专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，福建专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量的坐标运算 考点04 空间向量的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州八县协作校·期中)已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间中四点共面定理求解即可. 【详解】根据空间中四点共面可知，，解得. 故选：C. 2．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若共线，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，，则 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 【答案】D 【分析】，共线，则，，，四点；根据直线的方向向量与平面的法向量共线，判断；根据平面、的法向量与不共线，不能得出；根据共面的判定定理直接判定即可． 【详解】选项，若，共线，则，，，四点有可能共线，故A错误； 选项，因为，， 所以与不共线，所以直线不垂直于平面，故C错误； 选项，，， 与不平行，不成立，故C错误； 选项，，三点不共线，对空间任意一点， ， 因为，所以，，，四点共面，故D正确． 故选:D． 3．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由点在平面内，可知 ， 又， 所以，三项相加可得. 故选：B. 4．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)下列命题中，不正确的命题是（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 【答案】B 【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面， 所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确. B选项，若，可能是非零向量，是零向量， 此时不存在，使，所以B选项错误. C选项，对于，有，所以四点共面， 所以C选项正确. D选项，若是空间的一个基底，， 假设，， 则共面，与已知矛盾，所以不共面， 所以是基底，所以D选项正确. 故选：B 5．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)四面体的所有棱长都是2，则（   ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】结合图形，由向量的数量积的运算求解即可； 【详解】由题意可得四面体为正四面体， 所以， 故选：D. 6．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，再由向量数量积的运算性质即可得解. 【详解】∵，，∴， ∵，∴． ∵，∴ ． ∴． 故选：A． 二、多选题 7．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)下列说法命题正确的是（   ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【分析】A选项，利用投影向量计算公式进行求解；B选项，由数量积为0得到，或，B错误；C选项，设，变形得到，结合题目条件得到方程组，求出；D选项，，设，变形后对照系数得到方程组，求出，得到答案. 【详解】A选项，在上的投影向量为 ，A正确； B选项，，故， 或，B错误； C选项，点为平面上的一点，设， 即， 所以， 又， 故，故，C正确； D选项，由题意得， 设， 则，解得， 则在基底下的坐标为，D正确. 故选：ACD 8．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)下面四个结论正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点共面 B．若平面的法向量分别为，，且，则 C．若向量，且，则为钝角 D．若为平面法向量，为直线的方向向量，且，则与所成角为 【答案】ABC 【分析】由四点共面的向量表示判断A；由两平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系，可判断B；根据两向量的数量积的符号判断两向量夹角的范围，可判断C；根据线面角的概念判断D. 【详解】对A：因为，，所以四点共面，故A正确； 对B：因为，所以，所以，所以B正确； 对C：因为，所以，且与不共线，所以为钝角，故C正确； 对D：因为，所以与所成角为，故D错误. 故选：ABC 9．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D． 【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确； 对于B：在中，由于，故四点共面，B正确； 对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 10．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则 .    【答案】 【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为， 又因为， 所以 ，所以. 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. 2．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 3．(24-25高二上·福建晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学·期中)如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示所求向量即可. 【详解】由题意，, 且， ， 故选：B. 4．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由平方即可求解. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：A. 5．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】首先根据几何图形，利用基底向量表示，再根据数量积公式，求模长. 【详解】， , , 所以. 故选：A 二、多选题 6．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 三、填空题 7．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 四、解答题 8．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，， (1)用，，表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量运算法则即可得出； （2）利用空间向量即可得求得，再由向量夹角的计算公式代入计算可得结果. 【详解】（1）易知； （2）根据题意可知，且; 所以可得 ； 又易知 ； 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 9．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； （2）分别求得，利用向量数量积的运算律求得，再利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 10．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)如图，在棱长为2的正四面体中，是线段的中点，是中点，在线段上，且    (1)求线段的长； (2)直线与直线所成角的余弦值； (3)证明：平面； 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，，．用基底表示向量，再通过根据求得的长; （2）将向量分别用基底表示，再通过求解即可； （3）将证明“”转化为证“”即可. 【详解】（1）设，，．则其模长均为2，且两两夹角均是， 从而，， 由在线段上，且，可得， 则 ， ； （2）由是中点可得， ∴ ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）， ； ， ， 又，平面，且， 平面． 地 城 考点03 空间向量的坐标运算 一、单选题 1．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 3．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知空间四点.给出下列命题，其中是假命题的是（   ） A．平面的一个法向量为 B．若1，则 C．点到直线的距离为 D．、、、四点共面 【答案】B 【分析】根据向量的平行、垂直、模长以及点到直线的距离等概念.通过计算向量之间的关系来判断各个命题的真假即可. 【详解】首先求出，. 对于A，设平面的法向量，根据法向量与平面内向量垂直的性质， 可得，即. 令，则，， 所以平面的法向量为，A选项为真命题.   对于B，因为，设. 已知，则，即，解得. 所以或，B选项为假命题.   对于C，由，. 根据点到直线的距离公式. 先求，，. 则，C选项为真命题.   对于D，设. 因为. 则，解这个方程组得，故 所以、、、四点共面，D选项为真命题. 故选：B. 4．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)空间直角坐标系中，已知，，，则下列哪个点在平面内（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，再利用向量垂直的条件逐项判断即可； 【详解】由题意可得， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 设，则， 所以，所以点在平面内，故A正确； 设，则， 所以，所以点不在平面，故B错误； 设，则， 所以，所以点不在平面，故C错误； 设，则， 所以，所以点不在平面，故D错误； 故选：A. 5．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 6．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 7．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 8．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知空间向量，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算即可； 【详解】因为， 所以， 解得． 故选：C. 9．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可. 【详解】因为. 故选：B 10．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先求出和的坐标，再由列方程可求得结果. 【详解】因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得， 故选：C 11．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知两个向量，若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出m的值. 【详解】由题意得，即， 解得：，故m的值为4. 故选：D 二、多选题 12．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．无最大值 【答案】BCD 【分析】由向量共线对应坐标成比例可得A错误；由数量积为零可得B正确；由向量的模长和二次函数关系可得CD正确； 【详解】若，则，解得，故A错误； 若，则，，则，则，故B正确； ，所以最小值为，故C正确； 由C可得无最大值，故D正确； 故选：BCD. 13．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)已知空间向量，，则（   ） A．平面的一个法向量为 B． C．若向量，则点E不在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据法向量性质判断A，求出，求出判断B，找到和、的关系判断C，求出，求出与平行的一个单位向量. 【详解】因为，， 所以平面的一个法向量为，故A正确； ， 所以，故B错误； 因为， 所以点在平面内，故C错误； ，所以与平行的一个单位向量为或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 14．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知，且与不共线，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为，，且与的夹角为锐角， 则，解得，且与不共线， 若与共线，则，解得，故当与不共线时，， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，则，， 所以向量在向量上投影向量是 故答案为： 16．(24-25高二上·福建厦门海沧实验中学·月考)已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 四、解答题 17．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知空间三点，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值； （2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积. 【详解】（1）由，，， 则，，，， 所以； （2）由（1）得， 则， 所以. 18．(24-25高二上·福建部分优质高中·开学考)已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【详解】（1）依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 地 城 考点04 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，由异面直线夹角的向量法即可求解. 【详解】 由题意如图建立空间直角坐标系， 可得：， 则与， 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 2．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)PA，PB，PC 是从点 P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为PA=PB=PC=3，若M 满足 则点M 到平面PAB 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得是正四面体，并将其置于正方体中，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】由线段两两的夹角均为，且，得是正四面体， 将正四面体置于正方体中，使其棱分别为该正方体的面对角线，建立空间直角坐标系，如图，    设该正方体的棱长为，则，， ，， 设平面的法向量，则，令，得， 因此点到面积的距离. 故选：D 3．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取点，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】取，又，所以，则点到的距离为 . 故选：A 4．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)P为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则与面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，，由平面平面，结合正方体的性质可得，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以O，P，三点共线，因此， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，则， 易知平面ABC的一个法向量为， 设与面所成角为， 则， 则， 所以， 即与面所成角的正切值为. 故选：A. 二、多选题 5．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)如图，在长方体中，，点为线段上的 动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．当点M为的中点时，平面 B．当点M为的中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】AC 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 对于A，，，，，， ，即， 而平面，因此平面，故A正确； 对于B，，， 因此=， 因此直线DM与直线BC所角的余弦值为，故B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为， 而的面积为， 因此三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D， ， ，则点到直线的距离为 = == 当且仅当时取等号，故D错误； 故选：AC. 6．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知正方体的棱长为2，点为的中点，点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得过，，三点的截面面积为6 B．的最小值为 C．若，则点的轨迹长度等于 D．若是上的动点，三角形周长最小值为 【答案】ABD 【分析】A：分析截面面积最大时的情况，由此可判断；B：作出关于平面的对称点，结合三点共线进行求解并判断；C：设出的坐标，根据垂直关系推出坐标关系式，从而分析出轨迹并计算长度；D：先确定出在棱上，然后分别作出关于的对称点以及关于的对称点，根据三点共线求解出周长的最小值. 【详解】对于A：为正方体的一条棱，当截面形状为四边形时面积最大， 此时在上，所以， 所以不存在点，使得过，，三点的截面面积为，故A正确； 对于B：作关于平面的对称点，连接，所以， 当且仅当三点共线时取等号，且， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，所以， 因为，所以， 如图平面直角坐标系所示：当时，；当时，， 所以点的轨迹长度等于平面中的距离，即为，故C错误； 对于D：当不在棱上时，过作交于点， 此时， 当在棱上时，此时即重合，， 因此，要使得的周长最小，则在棱上； 由B选项的分析知，关于的对称点为，设关于的对称点为， 在正方形中由其结构特点可知，为的中点， 所以的周长为， 当且仅当三点共线时取等号，所以周长的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 7．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（   ） A．直线与所成角的余弦值为 B．点F到直线的距离为1 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】BC 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 且E，F，G分别为棱，，的中点，可知， 可得， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点F到直线的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，可得， 且，平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：因为平面的法向量可以为， 点到平面的距离为，故D错误； 故选：BC. 8．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)在棱长为6的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上靠近A的三等分点，动点T在底面（包含边界），且满足。则下列正确的有（   ） A．平面截正方体所得截面为五边形 B．最小值为 C．不存在T，使面 D．三棱锥体积的最小值为4 【答案】BCD 【分析】A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，得到六点共面，六边形即为面截正方体所得截面，A错误；B选项，设，，根据，得到方程，解得，表达出，得到最小值为；C选项，求出平面的法向量为，在B选项基础上，得到，由得到C正确；D选项，求出点到平面的距离和，得到三棱锥体积的最小值. 【详解】A选项，取的中点，的中点，为上靠近的三等分点， 连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 故六点共面， 六边形即为面截正方体所得截面，A错误； B选项，设，， 又，即，解得， 故， 故当时，取得最小值，最小值为，B正确； C选项，由B选项知，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， ， 因为，所以，故与不垂直， 故不存在T，使面，C正确； D选项，由C选项，平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 因为，所以，当时，， 又，， 故， 由余弦定理得， 则， 故， 则三棱锥体积最小值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题 9．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)已知平面α的一个法向量为 直线l的一个方向向量为 则直线l与平面α所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】利用直线与平面所成角的空间向量坐标公式计算. 【详解】设直线l与平面α所成角为， 所以. 故答案为：. 10．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知向量，分别是平面、的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出，根据空间向量共线的坐标表示可求出、的值，即可得解. 【详解】因为向量，分别是平面、的法向量，且，则， 则，解得，，故. 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．    (1)证明：; (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出方向向量，证明向量垂直即可； （2）运用向量法，求出线的方向向量和面的法向量计算即可. 【详解】（1）显然两两垂直，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则， ，，则， 则，. （2）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 令，得即. 设A1B与平面所成角为θ . A1B与平面AEF所成角的正弦值为. 12．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)如图所示，在三棱锥中，平面，，，为中点．    (1)证明：； (2)为上异于，的点，平面与平面夹角余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，从而得到，再结合条件证明平面，由此可证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面与平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出的坐标，由此可求的值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面，所以， 因为，为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）以为原点，分别以，过平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 设，且， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 所以， 解得或（舍去） 所以为中点，所以. 13．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面 . (1)证明：∥平面ADE； (2)求平面ADE与平面CEF夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，可得，即可证明线面平行； （2）建系标点，求平面ADE与平面CEF的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，且，则且， 可知四边形是平行四边形，则，且， 又因为是菱形，则，且， 可得且，可知四边形是平行四边形， 则， 且平面平面， 所以∥平面. （2）连接交于，取中点， 因为平面，则平面，且， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面CEF的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设平面ADE的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设平面ADE与平面CEF的夹角为， 则， 所以平面ADE与平面CEF夹角余弦值为. 14．(24-25高二上·福建晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学·期中)如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径 ，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面． (1)证明：． (2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在平面内过作，以为原点，建立空间直角坐标系，借助面面垂直求出平面的法向量，再计算即可得证. （2）设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦的函数关系即可求出范围. 【详解】（1）在平面内过作，而平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设， 设平面的法向量，则， 令，得， 而平面的法向量为， 因为平面平面，则，解得， 于是，而，则，所以. （2）设点，显然，， 设平面的法向量，则， 令，得， 由（1）知，平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 于是， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围. 15．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据为正三角形可得，再根据几何性质可得，再根据线面垂直的性质和判定定理判定即可； （2）法一：由（1）可得，，从而可建立空间直角坐标系，设，再根据线面与面面夹角的向量公式求解即可； 法二：为上任意一点，连接，，可得当时，最大，再建立空间直角坐标系求解面面角即可. 【详解】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形. 为的中点,， 又，， 平面，平面，， 而平面，平面，且，平面， 又平面，. （2）法一：由平面，平面可得， 又由（1）可得，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设， 则，由，，三点共线可设， 设，则，则， 故，从而， 又平面的一个法向量，设与平面所成角为， 则． 令， 故当时，， 故，即，， 则，，因为，故， 所以点坐标为，则，. 设平面的一个法向量为 则有 取，可得； 同理可得平面的一个法向量， ， 故平面与平面的夹角余弦值为. 法二：为上任意一点，连接，， 由（1）知平面，所以为与平面所成的角， 在中，，且， 所以当最短时，最大， 即当时，最大. 因为，所以， 又，所以，所以， 由（1）知，，两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，分别为，的中点， 所以，，，， ，，， 所以，，， 设平面的一法向量为， 则，故， 取，则， 又由平面可得， 因为，平面，平面，，所以平面， 故为平面的一法向量， 所以. 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且 ，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证： 平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）线线平行得到线面平行； （2）证明三条线两两垂直，从建立空间直角坐标系，得到点的坐标后得到向量坐标，然后求得面的法向量，由投影得到点到面的距离； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，设动点坐标，然后得到向量的坐标，由得到向量数量积为0，求得点的坐标，由直线外一点及其在直线上的投影和直线上的点建立等式，求得点的坐标，然后由向量和平面的法向量，求得线面角正弦值，平方后构造双勾函数，函数的单调性得到函数最小值，从而求得线面角正弦值的范围. 【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面 （2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，， 由二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， ∵平面，∴ 以分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面法向量为，则， 令，得， 所求点面距为. （3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设，显然， ， ，得出，则， 则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 17．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）取的中点为，根据等边三角形可知，再计算出各个长度可知，根据线面垂直判定定理可证平面，即为三棱柱的高，根据体积公式求出即可； （2）根据及余弦定理求出，以为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出，根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数性质即可求得范围. 【详解】（1）如图，取的中点为O， 因为为菱形，且，所以为正三角形， 又为正三角形且边长为4，则，， 且，，所以， 所以， 因为又， 由平面，平面， 所以平面， 所以三棱柱的体积． （2）在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由（1），， 又，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 所以在平面内作，则平面， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示 则，，，， ，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 取得， 设， 则 ， 设直线与平面所成角为， 则 ， 令， 则在单调递增，所以， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 18．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2）连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. （3）因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 19．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)如图，在四棱锥中， ， ，平面平面. (1)证明：平面； (2)若点是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； (3)若点是线段的中点，是直线上的一点，是直线上的一点，是否存在点使得？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)1； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解； （2）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【详解】（1）如图，取的中点，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又，平面，， 所以平面. （2）因为，为的中点，，所以， 过点作∥交于点E， 由平面，平面，可得， 以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，， 设，∵点是线段上一点， ∴，， 则, ∴, 则, 由（1）知平面的法向量为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或， ∵，所以. 所以. （3）不存在点使得，理由如下： ∵点是线段的中点，∴， 则，，， 设与都都重直的向量为， 则， ∴，令，得， 设直线与直线的距离为， 则， 所以不存在点使得. 20．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)如图，在四棱锥中，，，，.    (1)求证：平面； (2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F. （i）试确定F点位置； （ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）点F为靠近A的三等分点；（ii） 【分析】（1）连接、，设，连接，由线面垂直的判定定理证明即可； （2）解法一：（i）取的中点M，连接、，由几何关系得到，，过E点作，连结，确定F点位置即可； （ii）先由线面垂直的判定定理证明平面，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由集合关系求出，代入线面角公式，再令，结合二次函数分析最值即可； 解法二：（i）先由线面垂直的判定定理证明平面，建立如图所示空间直角坐标系，由向量的基本定理得到，再确定F点位置即可； 解法三：（i）延长，交于点Q，连结交于点F，再由几何关系确定其位置即可； （ii）由线面垂直的判定定理证明平面，再由余弦定理和同角的三角函数关系得到，再利用等体积法求出A点到平面的距离为d，然后分析其最值即可； 【详解】（1）    连接、，设，连接， ，，，，则， ，即是的角平分线，， ，，平面，平面 （2）同理可得 故，所以，， 因为，则，则， （解法一）（i）取的中点M，连接、， ，，故为等边三角形， ∵M为的中点，， 在底面中，，，， 过E点作，则，所以C，D，E，K四点共面。 连结，则，则，所以A，K，P，C四点共面。 连结，面面，则必与相交，交点为所求的点F， ，所以点F为靠近A的三等分点. （ii）平面，平面，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以，平面， 以点O为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， 则， 所以， ， 因为，所以令，，， 所以， 设，对称轴为， 故当或1，即或1时，取得最小值. 因此，当H点与E点或F点重合时直线与平面所成角的正弦值的最小值为 .    （解法二）平面，平面，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以平面 ， 以点O为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设，， ，，， C，D，E，F四点共面，则，解得，， ， 所以点F为靠近A的三等分点，下同解法一， （解法三）延长，交于点Q，连结交于点F，即为所求点.在中， ，，，，则A为中点.又因为E为中点，则F为的重心，则，F为靠近A的三等分点. 平面，平面PBD，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以平面， ，，，，， 设A点到平面的距离为d， ，，， 假设直线与平面交点为G， 则直线与平面所成角正弦值， 所以当最大，正弦值最小， ，， 因为， 所以当H点与E点或F点重合时最小. 21．(23-24高二上·福建连江黄如论中学六校联考·期中)如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）利用空间向量夹角定理进行求解即可. 【详解】（1）连结，过点E作底面ABCD的垂线交于，以为坐标原点，分别以EA、EB、EF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 则， 则..      因为，所以， 又，，平面， 故平面； （2）已知平面，所以是平面的法向量， 则，则 设平面的法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，则， 设平面与平面所成的角为 则 ， 故 ， 平面与平面所成的角为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量的坐标运算 考点04 空间向量的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州八县协作校·期中)已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若共线，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，，则 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 3．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)下列命题中，不正确的命题是（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 5．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)四面体的所有棱长都是2，则（   ） A． B．4 C．2 D．0 6．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)下列说法命题正确的是（   ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 8．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)下面四个结论正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点共面 B．若平面的法向量分别为，，且，则 C．若向量，且，则为钝角 D．若为平面法向量，为直线的方向向量，且，则与所成角为 9．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 三、填空题 10．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则 .    四、解答题 11．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 3．(24-25高二上·福建晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学·期中)如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 5．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 二、多选题 6．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为 . 四、解答题 8．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，， (1)用，，表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 9．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 10．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)如图，在棱长为2的正四面体中，是线段的中点，是中点，在线段上，且    (1)求线段的长； (2)直线与直线所成角的余弦值； (3)证明：平面； 地 城 考点03 空间向量的坐标运算 一、单选题 1．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知空间四点.给出下列命题，其中是假命题的是（   ） A．平面的一个法向量为 B．若1，则 C．点到直线的距离为 D．、、、四点共面 4．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)空间直角坐标系中，已知，，，则下列哪个点在平面内（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知空间向量，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 9．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 11．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知两个向量，若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 12．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．无最大值 13．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)已知空间向量，，则（   ） A．平面的一个法向量为 B． C．若向量，则点E不在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 三、填空题 14．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 15．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是 . 16．(24-25高二上·福建厦门海沧实验中学·月考)已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题 17．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知空间三点，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求的面积. 18．(24-25高二上·福建部分优质高中·开学考)已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 地 城 考点04 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)PA，PB，PC 是从点 P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为PA=PB=PC=3，若M 满足 则点M 到平面PAB 的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)P为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则与面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)如图，在长方体中，，点为线段上的 动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．当点M为的中点时，平面 B．当点M为的中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 6．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知正方体的棱长为2，点为的中点，点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得过，，三点的截面面积为6 B．的最小值为 C．若，则点的轨迹长度等于 D．若是上的动点，三角形周长最小值为 7．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（   ） A．直线与所成角的余弦值为 B．点F到直线的距离为1 C．平面 D．点到平面的距离为 8．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)在棱长为6的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上靠近A的三等分点，动点T在底面（包含边界），且满足。则下列正确的有（   ） A．平面截正方体所得截面为五边形 B．最小值为 C．不存在T，使面 D．三棱锥体积的最小值为4 三、填空题 9．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)已知平面α的一个法向量为 直线l的一个方向向量为 则直线l与平面α所成角的正弦值为 ． 10．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知向量，分别是平面、的法向量，若，则 . 四、解答题 11．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．    (1)证明：; (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)如图所示，在三棱锥中，平面，，，为中点．    (1)证明：； (2)为上异于，的点，平面与平面夹角余弦值为，求． 13．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面 . (1)证明：∥平面ADE； (2)求平面ADE与平面CEF夹角的余弦值. 14．(24-25高二上·福建晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学·期中)如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径 ，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面． (1)证明：． (2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围． 15．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 16．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且 ，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证： 平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 17．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 19．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)如图，在四棱锥中， ， ，平面平面. (1)证明：平面； (2)若点是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； (3)若点是线段的中点，是直线上的一点，是直线上的一点，是否存在点使得？请说明理由. 20．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)如图，在四棱锥中，，，，.    (1)求证：平面； (2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F. （i）试确定F点位置； （ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值. 21．(23-24高二上·福建连江黄如论中学六校联考·期中)如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成的角． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $