专题03 圆的方程（期中真题汇编，福建专用）高二数学上学期人教A版

专题03 圆的方程 3大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A    2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 【答案】C 【分析】将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】由，得，故圆心坐标为，半径为2. 故选：C 3．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由圆心到直线的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：D. 4．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)若圆被直线平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由圆，可得， 圆心， 因为直线平分圆，所以，解得. 故选：B. 5．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆的圆心为C，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒ 【详解】由题知圆的圆心为，O为坐标原点， 则以OC为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故选：C 6．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【分析】根据圆的一般式方程，建立方程，分别检验方程的解，可得答案. 【详解】由题意可得，化简可得，则，解得或， 当时，可得方程， 整理可得，显然不合题意； 当时，可得，整理可得，符合题意. 故选：A. 7．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知点关于直线对称的点在圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线对称的点的坐标代入圆求解即可. 【详解】解：设对称的点，则，解得， 所以，所以，所以. 经检验符合题意. 故选：C. 8．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设关于的对称点为，求出点，则，故的最小值为即可得解. 【详解】    设关于的对称点为，则解得， 即，所以， 故的最小值为． 故选：C. 9．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 10．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（    ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆有两个不同的交点，知道它们相交.借助，得到,进而得到点与圆的位置关系. 【详解】直线与圆有两个不同的交点，则它们相交. 根据，得到，即.则点与圆的位置关系为P在圆外. 故选：A. 11．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆的标准方程即可求解 【详解】方程表示圆， 则， 解得，即的取值范围为. 故选：A. 12．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件. 【详解】因为点在圆：的外部， 所以， 解得， 又方程表示圆， 所以， 解得， 故实数a的取值范围为． 故选：C 二、多选题 13．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知，圆，点为圆上一动点，且点为线段AP的中点，则（   ） A．的取值范围为 B．点的轨迹方程为 C．直线AP的斜率的最大值为 D．当点在圆上时，点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】利用中位线的性质结合圆的定义可判定B，根据点与圆的位置关系可判定A，利用直线与圆的位置关系计算可判定C，根据两圆的位置关系可判定D. 【详解】 取的中点，连接， 易知当不在横轴上时，， 当P在横轴上时，若时，仍有； 若时，仍有， 所以Q轨迹为以B为圆心，1为半径的圆上， 其轨迹方程为，故B正确； 所以，即A正确； 显然当与圆O相切时斜率取得最值，不妨设切线方程为， 则圆心O到切线的距离为， 所以直线AP的斜率的最大值为，故C错误； 两圆方程作差得其公共弦方程为，所以Q在圆O上时，即在两圆的公共弦上， 所以其横坐标为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 14．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，然后计算到军营区域的最短距离. 【详解】求点关于直线的对称点的坐标,设， 直线的斜率为，则所在直线的斜率为， 因为中点在直线上，且. 由，解方程组得，，所以. 军营区域是以原点为圆心，半径的圆及其内部. 则到原点的距离. 到军营区域的最短距离为. “将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 15．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，由圆的几何性质可知最大值为. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 圆上的点到的距离最大值为. 故答案为：. 16．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)在圆幂定理中一个切割线定理：如图所示，为圆O的切线，R为切点，为圆O的割线，则有.在平面直角坐标系中，已知点P是圆上任意一点，过点作，垂足为T.则的最小值为 . 【答案】6 【分析】结合图形，由可得点的轨迹为以线段为直径的圆，过点作圆的切线,切点为，由切割线定理得，最后利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，由，,可知点的轨迹为以线段为直径的圆， 其圆心为,半径为1，过点作圆的切线,切点为，连接, 则, 由切割线定理，可得,故得. 故，当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为6. 故答案为：6. 17．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 18．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 四、解答题 19．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设直线的截距式方程，再把已知点代入方程求出的值，从而得到直线方程. （2）先设圆的标准方程，根据圆经过原点和点以及圆心在直线上这三个条件列出方程组，然后求解方程组得到、、的值，进而得到圆的方程. 【详解】（1）设直线的方程为（）， 因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得， 化简方程即，解得， 所以直线的方程为. （2）设圆的标准方程为， 因为圆经过原点和点， 将原点坐标代入圆的方程可得， 将点代入圆的方程可得， 又因为圆心在直线上，所以， 由和相减可得： ，即， 联立方程，解得，， 把，代入得， 所以圆的方程为. 20．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程； （3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即. （2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即， 半径， 故所求圆的标准方程为. （3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为， 故所求的切线方程为，即. 21．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)的三个顶点分别是. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为，的方程为． (2) 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为2，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设圆的方程为，根据，，三点都在圆上，列出方程组，求得，，的值，即可得到圆的方程； 【详解】（1）设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为， 即直线的方程为， 又因为直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率为2， 所以上的高所在直线的方程为， 即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为， 即； 22．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）依据平面直角坐标系得出三点坐标，再设出圆心坐标即可得出圆的方程； （2）求出行驶轨迹所在直线方程，利用点到直线距离公式判断出该直线与圆的位置关系可得结论. 【详解】（1）根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. （2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 23．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知的三个顶点的坐标分别是，，. (1)求的面积； (2)求外接圆的方程. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）求出与点到直线的距离，再利用求解即可； （2）利用待定系数法设圆的一般方程，建立方程组，求出即可. 【详解】（1）解：已知，，直线的斜率， 则直线的方程为， 点到直线的距离. 又， 所以的面积. （2）解：设外接圆的方程为， 把点，，的坐标代入圆的方程，得, 可得， 经检验符合题意. 所以圆的方程为. 24．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求过点A，且在两坐标轴上的截距相等的直线m的方程； (2)求圆C的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分截距是否为0进行讨论即可； （2）思路一：设出圆心坐标、半径，由题意列出方程即可求解；思路二：先求得线段AB的垂直平分线的方程，进一步可得圆心坐标、半径，从而得解；思路三：设圆心C的坐标为，结合求得参数即可. 【详解】（1）（i）当直线过原点时，直线的斜率为2，此时直线的方程为． （ii）当直线不过原点时，可设直线的方程为． 因为直线过点，所以，解得． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． （2）法一：设圆C的方程为， 依题意，有解得 所以圆的方程为． 法二：直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为1． 又线段AB的中点坐标为，所以线段AB的垂直平分线的方程为． 由解得即圆心． 又圆C的半径为， 所以圆的方程为． 法三：因为圆心C在直线上， 所以可设圆心C的坐标为． 依题意，有，所以，解得． 所以圆C的圆心，半径， 所以圆C的方程为． 25．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知直线：，：，且满足，垂足为C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】（1）解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． （2）解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 26．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于轴对称的求得对称点，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）由，得直线的斜率为， 线段中点所以，直线的方程为， 即，联立，解得，即，' 所以半径， 所以圆的方程为 （2）关于轴的对称点为， 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心 ，的方程为：，即. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·福建晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学·期中)“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，则由生成的康威圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦长相等，，圆心与弦所在直线距离相等，得圆心是直角的内心，从而易求得圆半径． 【详解】因为，即，所以为直角三角形，且， 设是圆心，因为，因此到直线的距离相等，从而是直角的内心， 作于，连接，则， ， 所以，即由生成的康威圆的半径为． 故选：A． 2．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出曲线的图象，数形结合可得解. 【详解】直线恒过定点， 由，得到（）， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点， 故选：B. 3．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（ ） A． B．或 C． D． 或 【答案】D 【分析】如图，易知点在圆内，设，利用基本不等式确定的最大值，求出此时的，结合点线距计算即可求解. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，设的中点为，连接， 设，则 面积， 当且仅当即时，等号成立， 此时，圆心到直线的距离， 故过点的直线斜率一定存在， 设其方程为， 即 由，解得或， 此时直线方程为或. 故选：D 4．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而可求直线的方程. 【详解】当最短时，直线，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即.. 故选：A. 5．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数的取值范围. 【详解】由，可得， 故曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下：    当直线过点时，满足两个相异的交点，且此时取得最大值，最大值为， 当直线与相切时， 由到直线距离等于半径可得，，解得， 结合图形可知要想曲线与直线有两个相异的交点， 实数的取值范围是. 故选：B. 6．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)已知M在圆上，在直线上，若最大为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知，当且仅当与圆相切时，最大，利用，判断当最小时，最大，从而最大，而，依题建立方程，解之即得. 【详解】 由作图知，点为直线上的动点， 当与圆相切时，最大. 在中，因为锐角，， 要使最大，需使最大，即需使最小. 显然，当时取得最小值为：， 依题意，，解得：. 故选：D. 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)若直线与圆交于不同的两点A､为坐标原点，则（     ） A．当时， B．的取值范围为 C． D．线段AB中点的轨迹长度为 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，运算求解即可判断A；根据数量积可得，进而可判断B；分析可得，即可判断C；分析可知点M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分，即可判断D． 【详解】如图，    对于选项A，圆的圆心坐标为，半径为， 直线，圆心C到直线的距离为， 则，故A错误； 对于选项B，， 因为点A，B不重合，所以，故B错误； 对于选项C， ，故C正确； 对于选项D，如图线段AB中点M满足，M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分， 所以轨迹长为，故D错误. 故选：C 二、多选题 8．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 9．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知圆：，点在直线上，过作圆的两条切线，（，为切点），则下列判断正确的是（   ） A． B．当轴时，四边形的面积为 C．原点到直线距离的最大值为 D．的外接圆恒过两个定点 【答案】AD 【分析】对于A，直接证明即可说明选项正确；对于B，给出反例即可说明选项错误；对于C，使用距离公式证明距离小于即可说明选项错误；对于D，证明的外接圆恒过点和即可说明选项正确. 【详解】设，，则， 则. 对于A，由于， 所以，从而，故A正确； 对于B，由于，满足条件， 但此时，故B错误； 对于C，设该距离为，以 AQ为直径的圆的方程为  ， 两圆相减可得直线的方程为， 所以，故C错误； 对于D，由可知，的外接圆是以为直径的圆， 故其方程为，即. 联立，解得或， 故该圆恒过和，故D正确. 故选：AD. 10．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知圆：，下列结论正确的是（   ） A．过点且与圆相切的直线的方程为 B．过点且与圆相切的直线的方程为 C．直线：与圆交于，两点，则 D．直线：与圆交于，两点，则 【答案】AC 【分析】通过计算点到直线距离判断直线与圆的相切关系，根据弦长公式计算直线与圆相交时弦的长度. 【详解】对于A、B选项，首先，点到圆的圆心的距离为，刚好等于圆的半径，所以点在圆上. 显然斜率不存在时不满足题意，则设过点的切线方程为， 即. 根据圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式则， 即. 两边平方，解得. 所以切线方程为，即，A选项正确，B选项错误.   对于C、D选项，对于直线，圆心到直线的距离 . 根据弦长公式， 则，C选项正确，D选项错误. 故选：AC. 11．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．当最小时， D．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】BCD 【分析】A选项求出圆心到直线的距离，最大距离为；B选项设点坐标，由向量的数量积为0建立等量关系，然后由方程组转换为直线与圆的位置关系得到交点个数，即可得到满足要求得点的个数；C选项通过分析得到的最大值点和最小值点是过点作两条圆切线的切点，求出切线长即可；D选项由切线得到两个垂直关系后得到四点共圆，设上动点坐标得到中点坐标，写出圆方程，得到公共弦的直线方程，由动点在直线上得到等量关系，找到直线定点. 【详解】A选项：直线，即， 圆心到直线的距离， ∴点到直线的距离最大值是，A选错误； B选项：设，则， 当时，得，化简得， 则直线与圆的交点即为所求点， 圆心到直线的距离，故有两个交点， ∴满足的点有2个，故B选项正确； C选项：由观察可知， 当与圆相切时，最大或最小， 显然不存在时，与圆不相切， ∴设，圆心到直线的距离，解得. 显然当时最小，联立方程组，解得，即， 此时，故C选项正确； D选项：设是直线上一点，过作两条直线分别于圆相切与点，即， ∴四点共圆，∴中点为圆心， ∴圆， ∵是圆和圆的公共弦，∴两个圆方程作差得， ∵，∴， ∴，整理得， 故直线过定点，故D选项正确. 故选：BCD 12．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】设，由条件可求得轨迹为是为圆心，半径的圆，对于A，求出到直线的距离，可知为所求；对于B，令，求出到直线的距离，由求解即可；对于C，令，求出到直线的距离，由求解即可；对于D，记圆，由条件可知两圆相交，所以，求解即可. 【详解】设，又，，且， ， 化简得：，， 轨迹为是为圆心，半径的圆， 对于A，到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故A正确； 对于B，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故B正确； 对于C，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故C错误； 对于D，记圆，其圆心为，半径为， 圆与有且只有两条公切线，两圆相交， 所以，即，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示： 解得. 故答案为： 14．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案. 【详解】由的圆心为，半径为1， 圆心到的距离， 所以直线与圆相离. 故答案为：相离 15．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的方向向量设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】因为直线的方向向量为，所以设直线方程为，即， 又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以直线方程为. 故答案为： 16．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知点P，Q在直线上，且P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】只需求出直线截圆所得的弦长即可. 【详解】设圆， 设直线截圆所得的弦为， 所以弦长为， 所以的最大值为. 故答案为：. 17．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 . 【答案】 【分析】分析可知，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，可求得、两点的直线距离最小值；由折线距离的定义设直线上点，可得“城市街区距离”公式，化简成分段函数的形式，由函数的单调性可得“城市街区距离”的最小值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径， 故、两点的直线距离最小值为， 不妨设点、，则， 则、两点的“城市街区距离”为 ， 令， 则关于的函数在连续，则该函数在上递减， 在上单调递增， 所以，， 为锐角，且， 所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题求解圆上的点到直线上的点的“城市街区距离”最小值的关键是能够通过分类讨论的方式，结合三角恒等变换的知识，将问题转化为正弦型函数最值的求解问题. 18．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值即可；变形得到式子几何意义为圆上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出图象，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线方程为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】将变形为， 令，则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以的最小值为； 可以看作圆上的点到直线的距离与它到距离比值的2倍， 设直线与直线的夹角为， 则，    如图，当直线与圆相切于点时，取到最大值， 设直线方程为， 由，得， 当时，直线与圆相切，解得， 结合图形可知时最大， 代入联立后的方程可得切点， 将代入. 所以的最大值为. 故答案为：；. 19．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 四、解答题 20．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知圆过点、且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心为，根据，结合两点间的距离公式，求出的值，可求出圆的半径，进而可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）根据题意，设圆心为， 由，可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 因此，圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为，直线与圆相交于点、，且， 则， 又因为直线经过点， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 点到的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即． 所以直线的方程为或． 21．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 22．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案； （2）由令与联立解方程组可得答案； （3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案． 【详解】（1）当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； （2）由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； （3）（方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 23．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)如图，已知圆，点.    (1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程. （2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）由， 化为标准方程：. 所以圆的圆心坐标为，    又圆的圆心在直线上，设圆的圆心坐标为， 又经过点A，且与圆相外切，所以切点为， 则有， 即， 解得， 所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为. （2）    因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以. 所以点到直线的距离为2. 当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为2， 直线即为轴，所以此时直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.    所以，解得， 所以此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 24．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程； (3)已知点，，且为圆上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）法一：利用圆的弦的中垂线经过圆心的性质求解；法二：利用圆的标准方程待定系数法求解；法三：利用圆的一般式方程求解； （2）利用垂径定理先求由弦长求出弦心距，再将直线分斜率不存在和斜率为两种情形，结合图形判断或计算即得直线方程； （3）利用圆的参数方程设点，利用两点间距离公式计算所求式，将其化成正弦型函数，利用其性质即可求得所求式的最小值. 【详解】（1）法一：，的中点为， 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为． 圆的半径为， 所以圆的标准方程为． 法二：设圆的方程为． 由题可得，解得， 所以圆的标准方程． 法三：设圆的方程为 由题可得，解得， 所以圆的标准方程为， 化为标准方程即． （2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得， 故． ①若直线的斜率不存在， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则有，解得， 则直线的方程为． 故直线的方程为或． （3）因点在圆上，可设，（为参数） 又点，，故 ，其中， 则当时，取最小值为． 25．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用分类讨论思想，分切线斜率不存在与斜率存在两种情况，结合切线的性质，建立方程组，可得答案； （2）法一：根据垂径定理，结合圆的性质，可得答案，法二：设出动点的坐标，利用两点求得斜率以及直线垂直的斜率公式，建立方程，可得答案； （3）利用分类讨论思想，分直线斜率存在与不存在两种情况，联立方程，利用韦达定理，整理化简，可得答案. 【详解】（1） 当直线的斜率不存在时，直线与圆相离，不符合题意． 当直线的斜率存在时，可设直线，即． 因为直线与圆相切，圆的圆心，半径， 所以，即，解得或． 所以直线的方程为，或． （2） 法一：因为点A，B为过原点O的直线与圆的交点，且点弦AB的中点， 所以，则点的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程为． 法二： 设点．当点不与点，点重合时，由圆的性质可知，， 所以，所以，即． 当点M与点O或点C重合时，和均满足方程． 综上所述，点的轨迹方程为． （3） i）当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时点A，B的坐标为，． 所以． ii）当直线的斜率存在时，可设其方程为． 设，， 由联立，得． 由，得，， 所以 ． 综上所述，为定值． 法二： 所以． 所以 ． 综上所述，为定值． 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【答案】D 【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设 ，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断. 【详解】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 2．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以圆的标准方程为. 故选：D 3．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)圆与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．外切 C．相离 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系判断位置关系. 【详解】由，知，半径， 由，知，半径， 所以，即两圆外切. 故选：B 4．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 5．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)圆：与圆：的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 【答案】A 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系的判断公式，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距， 则圆心距，所以两圆相内切. 故选：A 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 7．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的公切线性质，结合两圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由， 所以，半径， 由，所以，半径为， 因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交， 于是有，而， 所以m的取值范围为， 故选：A 8．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    二、多选题 9．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线恒过定点 C．圆与圆的公共弦所在直线方程为： D．圆上有且仅有1个点到直线的距离等于1 【答案】BC 【分析】由直线斜率的定义即可判断A，由直线过定点即可判断B，由两圆方程作差即可判断C，结合点到直线的距离公式即可判断D. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则， 所以，故A错误； 对于B，直线即， 令，则，，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，由两圆方程与， 两圆方程相减可得，故C正确； 对于D，因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以圆上有3个点到直线的距离等于1，故D错误； 故选：BC 10．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A． B．若圆与圆有且仅有1个公共点，则 C．若圆与圆相交弦长为4，则 D．当时，若动圆M与圆外切，与圆内切，则点M的轨迹方程为 【答案】AC 【分析】根据题意求两圆圆心和半径.对于A，根据半径有意义可得；对于B，根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C，将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程，根据圆心在公共弦上可解；对于D，根据圆M与圆、的位置关系，结合椭圆的定义即可求得点M的轨迹方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 将圆的方程化为标准方程得：， 故其圆心，半径， ，即，故选项A正确； 若圆与圆有且仅有1个公共点，则圆与圆外切或内切， 又，或， 解得或，故选项B错误； 圆的一般方程为， 则相交弦方程为：，即， 若圆与圆相交弦长为4，则相交弦为圆的直径， 将圆心代入相交弦方程可得，故选项C正确； 当时，圆，圆心，半径，设动圆M半径为， 因为动圆M与圆外切，与圆内切，，， ， 所以点M的轨迹为以和为焦点，长轴长为8的椭圆， ，所以点M的轨迹方程为，故选项D错误. 故选：AC. 11．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知圆和圆，则（   ） A．若两圆相交，则 B．直线可能是两圆的公切线 C．两圆公共弦长的最大值为 D．两圆公共弦所在的直线方程可以是 【答案】ABC 【分析】利用圆与圆相交可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项； 根据直线与两圆都相切，求出的值，可判断B选项； 求出两圆的公共弦所在直线的方程，分析可知，当公共弦过原点时，公共弦最长，求出的值，可判断C选项； 根据公共弦方程求出的值，可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于A选项，因为， 若两圆相交，则，即， 因为，解得，A对； 对于B选项，原点到直线的距离为，则直线与圆相切， 若直线与圆相切，则， 即当时，直线是两圆的公切线，B对； 对于C选项，将两圆方程作差可得， 当直线过原点时，即时，即当时， 两圆的相交弦的弦长取最大值，且此时两圆的相交弦为圆的一条直径，C对； 对于D选项，若两圆的相交弦方程为， 则有，因为，解得，不合乎题意，D错. 故选：ABC. 12．(21-22高二上·福建福州连江尚德中学等六校·期中)点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D. 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 13．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知圆和圆.其中正确的结论是（   ） A．当时，圆和圆有4条公切线 B．若圆与圆相交，则的取值范围为 C．若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为 D．若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或 【答案】ABD 【分析】对于，当时，由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，判断两圆的位置关系即可求解；对于，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围；对于，设，，联立直线和圆的方程，可得的取值范围，由韦达定理代入即可求解；对于，设点，由可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，，即得到的坐标. 【详解】对于，当时，，，， ，，， 所以， 所以， 因为，所以圆和圆外离， 所以圆和圆有4条公切线，故正确； 对于，， 若圆与圆相交，则， 解得，故正确； 对于，若直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，解得， ， 所以，因为，所以，故不正确； 对于， 设点，直线和的方程分别为，， 即，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 所以， 化简得或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：设点，由可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，. 14．(23-24高二·福建莆田二中、仙游一中·月考)若圆与圆相交，则k的取值可能为（    ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】AC 【分析】根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的关系求解即可. 【详解】两圆的圆心，圆心距， 半径分别为， 因为圆M与圆N相交， 所以，解得或． 故选：AC． 三、填空题 15．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知圆：与和圆：，圆和圆，圆都内切，则当圆半径最小时，圆的方程为 ． 【答案】 【分析】先证明半径不小于，再根据等号成立的条件确定圆心的坐标，即可得到圆的方程. 【详解】设圆的圆心为，半径为， 由于，恰为两圆半径之和，故外切，而的半径更大， 所以根据条件可知均在的内侧与内切. 故， 即. 若等号成立，则必有，且. 解得，，所以，此时半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 16．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆 ，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 17．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】根据圆与圆相交得公共弦所在直线方程，再根据直线与圆相交弦长公式可得结论. 【详解】圆与圆的两方程作差得， 即公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则圆被直线所截得的弦长为. 故答案为：. 18．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 19．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】判断两圆位置关系，再将两圆方程相减即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 于是，即圆相交， 由消去二次项得，即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故答案为： 20．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0， 3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】由得到点M的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系求出a的范围. 【详解】由的圆心，设，因为， 所以. 所以点M在以为圆心，2为半径的圆上，则圆C与圆D有公共点，满足： ，即. 故答案为：. 四、解答题 21．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 22．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知圆和圆． (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆方程求得圆心和半径，根据两圆相交的判断方法建立不等式，解之即得； （2）将直线方程与圆方程联立整理成一元二次方程，计算，写出韦达定理，由题设等式化简计算求出值，并检验即得； （3）设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为，分别写出直线和的方程，依题，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等，列出方程并化简整理成或，根据题设要求可得关于的两个方程组，解之即得点的坐标. 【详解】（1）由配方得，则其圆心，半径， 由，则其圆心，半径 圆与圆相交， ， 即，解得， 的取值范围是. （2）设，， 联立，消去得 由，可得， 则有， ， 解得， 因为，所以． （3）如图，设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为，    则直线、的方程分别为：，， 即：， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等． 故有：， 化简得：， 即或， 整理得：，或， 依题存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，所以关于的方程有无穷多解， 从而有或， 解得或， 所以点坐标为或． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的方程 3大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 3．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)若圆被直线平分，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆的圆心为C，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 7．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知点关于直线对称的点在圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 8．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（    ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定 11．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·福建厦门第二中学·期中)若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知，圆，点为圆上一动点，且点为线段AP的中点，则（   ） A．的取值范围为 B．点的轨迹方程为 C．直线AP的斜率的最大值为 D．当点在圆上时，点的横坐标为 三、填空题 14．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 15．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为 . 16．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)在圆幂定理中一个切割线定理：如图所示，为圆O的切线，R为切点，为圆O的割线，则有.在平面直角坐标系中，已知点P是圆上任意一点，过点作，垂足为T.则的最小值为 . 17．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 18．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 四、解答题 19．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 20．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 21．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)的三个顶点分别是. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 22．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 23．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知的三个顶点的坐标分别是，，. (1)求的面积； (2)求外接圆的方程. 24．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求过点A，且在两坐标轴上的截距相等的直线m的方程； (2)求圆C的方程． 25．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知直线：，：，且满足，垂足为C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 26．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·福建晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学·期中)“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，则由生成的康威圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（ ） A． B．或 C． D． 或 4．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·福建泉州安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学·期中)已知M在圆上，在直线上，若最大为，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)若直线与圆交于不同的两点A､为坐标原点，则（     ） A．当时， B．的取值范围为 C． D．线段AB中点的轨迹长度为 二、多选题 8．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 9．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知圆：，点在直线上，过作圆的两条切线，（，为切点），则下列判断正确的是（   ） A． B．当轴时，四边形的面积为 C．原点到直线距离的最大值为 D．的外接圆恒过两个定点 10．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知圆：，下列结论正确的是（   ） A．过点且与圆相切的直线的方程为 B．过点且与圆相切的直线的方程为 C．直线：与圆交于，两点，则 D．直线：与圆交于，两点，则 11．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．当最小时， D．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 12．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 三、填空题 13．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 14．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)直线与圆的位置关系是 ． 15．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为 ． 16．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知点P，Q在直线上，且P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，则的最大值为 ． 17．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 . 18．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 19．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 四、解答题 20．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知圆过点、且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 21．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 22．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 23．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)如图，已知圆，点.    (1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 24．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程； (3)已知点，，且为圆上一动点，求的最小值． 25．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 2．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)圆与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．外切 C．相离 D．内切 4．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 5．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)圆：与圆：的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线恒过定点 C．圆与圆的公共弦所在直线方程为： D．圆上有且仅有1个点到直线的距离等于1 10．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A． B．若圆与圆有且仅有1个公共点，则 C．若圆与圆相交弦长为4，则 D．当时，若动圆M与圆外切，与圆内切，则点M的轨迹方程为 11．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知圆和圆，则（   ） A．若两圆相交，则 B．直线可能是两圆的公切线 C．两圆公共弦长的最大值为 D．两圆公共弦所在的直线方程可以是 12．(21-22高二上·福建福州连江尚德中学等六校·期中)点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 13．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知圆和圆.其中正确的结论是（   ） A．当时，圆和圆有4条公切线 B．若圆与圆相交，则的取值范围为 C．若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为 D．若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或 14．(23-24高二·福建莆田二中、仙游一中·月考)若圆与圆相交，则k的取值可能为（    ） A． B．0 C．3 D．5 三、填空题 15．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知圆：与和圆：，圆和圆，圆都内切，则当圆半径最小时，圆的方程为 ． 16．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆 ，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 17．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为 ． 18．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 19．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为 . 20．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0， 3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 21．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 22．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知圆和圆． (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $