综合测试卷（1）-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

综合测试卷（一）⊙ 综合测试卷（一) 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5：5.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下 分，共40分.在每小题给出的四个选项 问题：“《毛诗》《春秋》《周易》书， 中，只有一项是符合题目要求的， 九十四册共无余，《毛诗》一册三人读， 1.已知集合A={xI0≤1og2x≤4}，B={x-2≤ 《春秋》一册四人呼，《周易》五人读一 x≤3}，则A∩B=() 本，要分每样几多书，就见学生多少数， A.[1,3] B.[-2,4] 请君布算莫踌躇.”由此可推算，学生人 C.[-2,-1] D.[1,4] 数为() 2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的： A.180 B.150 成绩：56,70,72,78,79,80,81,83， C.130 D.120 84,86,88,90,91,94,98,则这156.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数， 人成绩的70%分位数是() 且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a A.86 B.87 满足f(logz0)+flog1a)≤2f(1),则a的取 C.88 D.89 值范围为( 3.已知函数y=fx)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的，则“f(af(b)<0”是“函 A.[1,2] g.o,2 数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零 D.(0,2] 点”的() c2 A.充分不必要条件 7.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入 B.必要不充分条件 太空，在中国空间站完成了为期三个月的 C.充要条件 太空驻留任务，期间进行了很多空间实 D.既不充分也不必要条件 验，目前已经顺利返回地球.在太空中水 4.在△ABC中，P,Q分别是边AB,BC上 资源有限，要通过回收水的方法制造可用 水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太 的点，且AP-号AB,B0=}BC.若AB= 空中的水收集起来，经过特殊的净水器处 a,AC=b,则PQ=() 理成饮用水，循环使用.净化水的过程中， A. B.- 每增加一次过滤可减少水中杂质20%.要 3 3 使水中杂质减少到原来的5%以下，则至 C.ga-3o D.-ja-j8 少需要过滤的次数为()（参考数据 1g2≈0.3010) N 高中数学必修第二册人教B版 A.10 B.12 P(A)+P(B) C.14 D.16 C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+ 8.已知幂函数y=x与y=x的部分图象如图 P(B)+P(C)=1 所示，直线x=m2,x=m(0<m<1)与y=x, D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则 y=的图象分别交于A,B,C,D四点， A与B相互对立 且AB1=lCDL,则m+m=() 11.如果e1,e2是平面内两个不共线的向 量，那么下列说法中正确的有() A.Ae1+e2(入，u∈R)可以表示平面ax 内的所有向量 B.对于平面内任一向量a,使a=入e1+ 0m2 ue2的实数对（入，u)有无穷多个 m 第8题图 C.若向量入1e1+1e2与入e1+e2(入1，入2， 1,2∈R)共线，则有且只有一个实 A B.1 数入，使得入1etwe2=入（入e1e2) D.若实数入，u使得入1e2=0,则入=0 C.V2 D.2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6 共15分 分，共18分.在每小题给出的选项中，： 12.某校学生高一年级有400人，高二年级 有多项符合题目要求.全部选对的得6 有300人，高三年级有200人，现用分 分，部分选对的得部分分，有选错的： 层抽样的方法从所有学生中抽取一个容 得0分. 量为n的样本.已知从高三学生中抽取的 9.若b>0,则下列不等式中恒成立的有 人数为10，那么n= 13.已知m>0,n>0,log2m=log4n=logs(4m+ A.2+b2≥2ab 3n),则n= B.a+b≥2Vab m ca+do+≥4 14.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上 的动点，设向量AC=ADB+AP,则实数 D+≥2 入拟的最大值为 10.下列说法不正确的有() A.设A,B为两个事件，则“A与B互 斥”是“A与B相互对立”的必要不 充分条件 A B.若A,B为随机事件，则P(A+B)=: 第14题图 16 综合测试卷一）。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 (1)求上述数据的中位数、众数、极差， 应写出文字说明、证明过程或演算 并估计这批鱼该项数据的80%分位 步骤 数： 15.(13分)已知四边形ABCD中，AB=DC (2)有A,B两个水池，两水池之间由 =山，)，Ag+亚V34C,求 10个完全相同的小孔连通，所有的 IABI IADI ACI 小孔均在水下，且可以同时通过2 该四边形ABCD的面积. 条鱼 ①将其中汞的含量最低的2条鱼分别放 入A水池和B水池中，若这2条鱼的 游动相互独立，均有}的概率进入另 一水池且不再游回，求这2条鱼最终 在同一水池的概率； ②将其中汞含量最低的2条鱼都先放入 A水池中，若这2条鱼均会独立地且 等可能地从其中任意一个小孔由A水 池进入B水池且不再游回A水池，求 这2条鱼由不同小孔进入B水池的 概率 16.（15分)有一种鱼的身体吸收汞，当这 种鱼身体中的汞含量超过其体重的 1.00ppm(即百万分之一）时，人食用 它就会对身体产生危害.现从一批该鱼 中随机选出30条，检验鱼体中的汞含量 与其体重的比值（单位：ppm),数据统 计如下： 0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.82 0.870.910.950.980.981.021.021.081.141.20 1.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68 17 N 高中数学必修第二册人教B版 17.(15分)已知函数y=d-1(a>0且a≠1) 19.(17分)已知函数f(x)=1ogx-号+ 的图象过定点(m,n),fx)=mx+4+n. log.(x-a)(a>0且a≠1). (1)求证：fx)在[2，+∞)上单调递增； (1)当a=2时，解不等式f代x)>1. (2)解不等式fx2-2x+4)+f(-7)≤0. (2)对Hx∈[2a,4a],都有f(x)≤1， 求实数a的取值范围 (3)在(2)的条件下，是否存在m, n∈(a,+∞)，使fx)在区间[m,n] 上的值域是[logn,logm]？若存 在，求实数a的取值范围；若不存 在，试说明理由。 18.(17分)据统计，某食品企业在一个月 内被消费者投诉次数为0,1,2的概率 分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉 不超过1次的概率； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉 的次数互不影响，求该企业在这两 个月内共被消费者投诉两次的概率。 18 N器时，A.Gi袋G 25 “综合测试卷（一） 1.A【解析】利用数轴可得A∩B=[1,3].故选A. 2.C【解析】15×0.7=10.5，.这15人成绩的70% 分位数为第11位数：88.故选C. 3.A【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之，若y=x2-1,xe[-5,5],则易知f(-5)f5)>0, 且在区间[-5,5]内有两个零点，故必要性不成立.故 选A 4.A【解析】P店=AB-A户=号AB,B0=号BC, P丙-丽+0号aG+3BC=号正+g4C=3a+3o, 故选A 5.D【解析】学生人数为94：号++5=120.放 选D. 6.C【解析】：fx)是偶函数，∴.f(loga)=f(-loga) =f1og2a),.原不等式可化为f1oga)≤f1).又f(x)在 [0,+∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，llog.als≤1， 即≤a≤2.故选C. 7.C【解析】设过滤的次数为n,原来水中杂质为 1.则(1-20%)广56，即08<0两边取对数，得 08<e20,器-最=34neN,n的 最小值为14，则至少要过滤14次.故选C 8.B【解析】：l4B1=lCD1,∴.(m2)-(m2)=m-m,即 (m+m)(m-m)=m-m≠0，.∴m+m=1.故选B. 9.ACD【解析】a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，.a2+b2≥ 2ab恒成立；当a<0,b<0时，ab>0,但是a+b≥2Vad 不成立：>0.a+日b+古=山++么+号≥ 2V:品+2V合号4恒成立.当且仅当且台 ab a =号，即ab1时取等号：b0,名+号≥2V合号 参考答案⊙ -2恒成立，当且仅当合分，即ab时取等号.放选 ACD. 10.BCD【解析】若A,B为两个事件，“A与B互 斥”则“A与B不一定相互对立”，“A与B相互对立” 则“A与B互斥”，.“A与B互斥”是“A与B相互对 立”的必要不充分条件，A正确； 若A,B为随机事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A∩B),B错误； 若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 不一定成立，如：掷骰子一次，记A:向上的点数为1， B:向上的点数为2，C:向上的点数为3，事件A,B,C 两两互斥，则P4)B)+PC)=名+名+名子，C 错误； 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是 分，掷一枚续币，正面向上的概率是了，满足P(A)+ P(B)=1,但是A与B不对立，D错误.故选BCD. 11.AD【解析】根据平面向量的基本定理可知A正 确，B错误，D正确 根据向量共线定理，若存在唯一的非零实数入，使 得入ewe2=入（入ertue2),则入ete2≠0. 若Ae1+w2e2=0,入1e1+地e=0,则入∈R; 若Ae1地e2=0,入e1+e≠0，则入∈☑.故C不正 确.故选AD. 2.45【解析】040+30+20，解得45. 13.4【解析】由题意设1ogm=ogn=logs(4m+3n)=k, 则m=2,n=4,4m+3n=8,4x2+3x4=8,4×4+3x 21,分fx3-10.3或分月 -1(舍去)，解得k=2,∴m=4,n=16,”=4. m 14.3【解析】方法一：以A为坐标原点，以AB, AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系（图 略).设正方形的边长为2，则B(2,0),C(2,2), D(0,2),P(x,2),x∈[0,2]，.AC=(2,2),DB= 99 N 高中数学必修第二册人教B版 (2,-2),AP=(x,2) A=2-x :AC=λDBu4P, 2入+=2， 2+x 入+ -2入+2=2， 4 2+x H=6-x 2+x 令810≤≤2，在0,2】 上单调递减，∴.fx)mf(0)=3. 方法二：P为DC边上的动点，.设DP=xDC且 0≤x≤1. .AC-AB +AD,DE-AB-AD,AP-AD +AB .AB+AD=A (AB-AD)+u(AD+xAB)=(A+u)AB+ (A+)AD 入=1， 1+x AB,AD不共线， .∴.入+儿= -A+=1, 2 1+x 活令话410≤≤在0， 上单调递减，∴fx)mf0)=3. 15.解：4店+4与∠BAD的平分线共线， IABI IADI ABI +A亚与A交共线，4心与∠MD的平分线共线，四 ADI ACI 边形ABCD为菱形. 在等腰△4BC中，A应=V, 4 ..IAB=V2,ACI=V6,IBD=V2. 四边形ABCD的面积为×V2xV6=V了. 16.解：(1)由题意知，数据的中位数为 0.98+1.02=1,数据的众数为0.82，数据的极差为1.68- 2 0.07=1.61,估计这批鱼该项数据的80%分位数约为 1.31+1.37=1.34. 2 (2)①记“2条鱼最终均在A水池”为事件A, 则PA)子×兮号，记2条鱼最终均在B水池”为 100 事件B,则PB)=子×写号，~事件A与事件B互斥， .2条鱼最终在同一水池的概率为P(AUB)=P(A)+P(B)= ②记“2条鱼同时从第一个小孔通过”为事件C, “2条鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2,…,依次类 推：而2条鱼游动独立，PG)=PG)=…=× 0记之条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C,则 C与CUC2U…UCo对立，又由事件C1,C2,…,Co互 斥，C=PGUCU-UG)l0xdo0即rC= 1-PCUGuC 17.(1)证明：由题意可得，函数y=d-1过定点 (1,0),即m=l,n=0,fx)=+4 对H,2∈[2，+∞)，且xK, 有ft4-4=-4 X x1,x2e[2,+∞)，则x-4>0,xx2>0,且x1-x<0, .=x4）<0,即f(x)f）,∴fx)在[2， X1X2 +∞)上单调递增. (注：也可用函数的平均变化率证明) (2)解：f(x)=x+4的定义域为(-0,0)U(0, +∞)，f代x)的定义域关于原点对称. 又-)-+4-+生）卢)，x)是奇函数 一 f-7)=-f代7)，∴fx2-2x+4)+f-7)≤0可化为 f(x2-2x+4)-f代7)≤0，即f(x2-2x+4)≤f(7). 由x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，即x2-2x+4∈[2，+∞）. f(x)在[2，+∞)上单调递增，x2-2x+4≤7，即 x2-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，..不等式f(x2-2x+4)≤f(7) 的解集为[-1,3]. 18.解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次 数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”， ∴.P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9. (2)设事件A,表示“第i个月被投诉的次数为0”， 事件B,表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C:(i= 1,2)表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示 “两个月内共被投诉2次”· P(A:)=0.4,P(B)=0.5,P(C)=0.1(i=1,2). .·两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉 0次的概率为P(A,C2+A,C1),一、二月份各被投诉1次 的概率为P(BB2), .P(D)=P(A C2+AC+P(B B2) =P(A C2)+P(A2C)+P(B B2) =PA)P(C2)+P(A2)P(C1)+P(B:)P(B2) =0.4×0.1+0.4x0.1+0.5x0.5 =0.33. 19.解：(1)当a=2时，f(x)=log2(x-1)+log2(x-2). x-1>0, 由 得>2，函数fx)的定义域为(2，+∞). (x-2>0 由fx)>1得1og2(x2-3x+2)>log22,.x2-3x+2>2, 即x2-3x>0,解得x<0或x>3. 又x∈(2，+∞)，.不等式fx)>1的解集为(3，+0). (2)方法一：由已知得fx)-l0gx号-a),则 =x号(x-a)在[2a,4]上单调递增。 当心1时，令x=4a,则tm-c,fx)m-og2d, 令1g≤1，则0a≤号（合去）： 当0aK1时，令x-2,则d,fe-og号d, 令bg子r≤1，则号≤K1.综上所述，ae子 方法二：当a>1时，f代x)在[2a,4a]上单调递 增，∴f)m寸4a)log2, 令1oe≤1，则0a≤员（含去）： 当0<a<1时，fx)在[2a,4a]上单调递减， ∴x)f2)-logd, 令1og号≤1，则子≤<1.综上所述，ae号 (3)假设存在m,n满足题意. 参考答案。 由(2)知号<1，)在a,+)上是减函数， n23 f八m)=logm, 则 f(n)=logn, -+号n 即m,A是方程文子公+号x的大于a的两个不等 实根 设h(x)=x2- 3 由题意得d含a+1-4x号0， 2 h(a)>0 a<2, a>4V2-6或a<-6-4V2. a<0 义号≤al,ae② 综上所述，不存在满足题意的实数m,n. Du 综合测试卷（仁） 1.D【解析】考查集合的概念及集合的运算，可知 D选项正确.故选D. 2.B【解析】利用命题的否定的定义，注意量词， 可知B选项正确.故选B, 3.A【解析】利用指数、对数、幂函数的单调性可 知A选项正确.故选A. 4.D【解析】A:f(x)=Vx;B:f(x)=x寸；C: f-(x)=lnx;D:f-(x)=L.故选D. 5.C【解析】利用平均值和方差的定义即可.故选C 6.B【解析】用淘汰法，代入边界值进行检验，f(1) f2)<0.故选B. 7.B【解折】c=号}广号-ogs3-0g3V了<og6 a,bl431+31+日<1+号c e 综上所述，a>c>b.故选B. (101