6.1.4 数乘向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

7.V3【解析】如图，设OA-a,0i=b,则O心=a+ b,BA=OA-OB=a-b,.lal=Ibl=la-bl,.IBAl=1OAI =1OBI .△OAB为正三角形，设其边长为1，则Ia-b1=BA1=1, a2x-v3,物YTv5. 2 第7题答图 8.0【解析】设将a,顺时针旋转30°后得a4',则a,'- a2'+a'=0.又b:与a同向，且bl=2la,.b1-b+b=0. 9.证明：·0A+0C=0B+0D,:.0A-0B=0D_-0C, :BA=CD,AB∥DC且AB=DC,四边形ABCD为平 行四边形 10.证明：.△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90° .CA=CB.又点M是斜边AB的中点，∴.CM=AM=BM, (1)CM-CA'=AM,AMI=ICMI,..la-bl=lal. (2)M是斜边AB的中点，AM=MB,.a+(a-b)= CM+(CM-CA)=CM +AM =CM +MB=CB.ICA =ICB I, ..la+(a-b)l=Ibl 提升练习 11.C【解析】延长CB至点D,使BD=CB,则n= AB-BC=AB'+CB=AB+BD'=AD,m=AB+BC=AC,.Iml =ml,则AC=AD1,即△ADC是等腰三角形，且点B为 底边DC的中点，则△ABC是以B为直角顶点的直角三 角形.故选C 12.ABC【解析】QC0P+CQ-P元+CQ=PO,A正确； AB+(PA'+BQ)=(PA'+AB)+BO-PB+BO=PO,B 正确；(AB+PC)+(BA-QC)=(AB+BA')+(CQ-CP)=0+ PO-PO,C正确；PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,D错 误.故选ABC. 6.1.4数乘向量 效果评价 1.A【解析】已知非零向量a,A>0是a与Aa方向 参考答案。 相同的充要条件.故选A. 2C【解析】3，d2,“号=子d 多设正=子成，亦圣花，则应子+ 子AC=A它+A位，AD平分LEAF,AD平分∠BAC, 直线AD通过△ABC的内心，故选C 3.[5,13]【解析】.I2a-3bll≤12a-3b1≤2al+l3b1, .l4-91≤12a-3bl≤4+9，.5≤12a-3b1≤13. 4.3【解析】AC+C店=-2B元+C店-3B心-A应，A IBCI 3. 5.解：分别作出2a,2 b,用向量加法的三角形法 则求两向量和 2a 第5题答图 6.证明：Bd=BC+Ci=-4e-6e2,Bi=-2AB,A, B,D三点共线 7.A【解析】由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故 ①可以；Aab=0,Aa=b,故②可以；x=y=0,有xa+ yb=0,但b与a不一定共线，故③不可以；在梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以.故选A 8.ABD【解析】2a的长度是a的长度的2倍，且 2a与a方向相同，故A正确； 号的长度是a的长度的号，且-号与a方向相反， 故B正确； 若入=0，则入a等于零向量，不是零，故C错误； 若A=订，则a是与a同向的单位向量，放D正 确.故选ABD. 9.CD【解析】如图，由题得AG=2GD,OD1BC, AH1BC,:.OD∥AH,.G五=20G,故A正确； GB+GC=2GD=-GA,..GA+GB+GC=0,B 正确； 85 N 高中数学必修第二册人教B版 D为BC边的中点，G为△ABC的重心，.AG=2GD GH=20G,∠ACH=∠DC0,∴△AGH∽△DG0,Ai= 20D,故C错误； 向量OA,OB,0C的模相等，方向不同，故D错 误.故选CD. 第9题答图 10.号或-5【解析】点P在直线AB上，且A =4AP,.AB=4AP或AB=-4AP.若AB=4AP,则AP+ PB-4AP,P-3A正，此时A=；若AB=4A,则 AP+PR=-4M正，P厉=-5AP,此时A=- 提升练习 1.(1)解：Ad=(国店+Ad)=(a+b),AE 号40=号ab)a7-2Cb,mF-A店 -a+2b. (2)证明：由(1)知BF=-+b,BE=AE-AB 号ab)-a=子a+号号a+,BE-号F,E 与BF共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点 共线。 12.(1)证明：BD-BC+CD=4e+e+8e1-9e,=12e 8e2=4(31-2e2)=4AB,.AB与BD共线.AB与BD有公 共点B,A,B,D三点共线. (2)解：·2入e1+2与e+e2共线，.存在实数u, 2=,入= 使2e,+eu(e+Ae.e,e不共线，1-， ±V② 2 (3)解：假设etAe2与Ae+e2共线，则存在实数u, 86 使e+Ae2u(Aete2). 1=4, 1,e2不共线，∴ .入=±1..当入≠±1时， 入=， e+e2与Aete2不共线。 6.1.5向量的线性运算 效果评价 1.ACD【解析】0i+0元=20市，：0d+0i=0,有0币 =-0A,有0d+Ad--0A+Ad=2A0=20d.故选ACD. 2.A【解析】C庐(1-t)C+tC克，即A市-A,点P 在AB的延长线上，>1.故选A. 3.C【解析】AC-A=AC+AB1,则以AC和A市为邻 边的平行四边形是矩形，由勾股定理得对角线长为 V3+2=-V3.故选C. 4.证明：·.BA=0A-0i=2a+b-(a-b)=a+2b,CB=0i 0心=a-b-(-3b)=a+2b,.C2-BA,因此A,B,C三点共线. 5解：点M在BC上，=4心+A应，A=子 :AM是∠A的平分线，由向量加法的平行四边形法则 知，子M=子AM-3,AM是边长为3的菱形的对角 线，且AM平分∠A,.Ai=3V3. 6.解：B驴-3P心， 位4子成-4心-=}+子记 4 P,M,N三点共线， ,·A市(1-t)AM+Ai .AM-AAB,AN-uAC, .·A产(1-t)4B+u4C A子子京山 a=(a=+0+=1+,当 4λ4u 且仅当长=弘时，入地有最小值1+V3 4入4u 2 7.BC【解析】若AB,CD是梯形ABCD的腰，则 AB,CD不平行，.不一定能使a,b共线，故A错误； 由2a-30-e且+2b=-2e得b=-号e,a-号e,b -4a,则a,b共线，故B正确； 存在相异实数入，u,且入，u不同时为0，使Aa=6.1.4数 效果评价 1.已知非零向量a,入>0是a与入a方向 相同的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.在△ABC中，AB1=3,AC1=2,AD= }A店+子AC,则直线AD通过△ABC的 ( A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 3.若la=2,b=3,则2a-3b1的取值范围 为 4.已知AC=-2BC,则AB的值为 IBC 1 5.向量a,b如图所示，作出2a+b. 第5题图 第六章平面向量初步。 乘向量 6.已知两个单位向量e1,e2,若AB= 2e1+3e2,BC=-e1-7e2,CD=-3e1+e2. 求证：A,B,D三点共线. 7.已知向量a,b是两个非零向量，在 下列四个条件中，一定可以使a,b共线的 是() ①2a-3b=4e且a+2b=-2e; ②存在相异实数入，u,使入a-b=0; ③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+ y=0); ④已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b. A.①②B.①③C.②D.③④ 8.(多选题)对于非零向量a,下列说 法正确的有（) A.2a的长度是a的长度的2倍，且2a 与a方向相同 B.-号的长度是a的长度的子，且-号 与a方向相反 C.若A=0,则Aa等于零 练(71 N 高中数学必修第二册人教B版 D.若A,则a是与a同向的单位 向量 9.(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年 发表的《三角形的几何学》一书中有这样一 个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在 同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心 和重心距离之半.”这就是著名的欧拉线定 理.设△ABC中，点O,H,G分别是外心、 垂心、重心，下列四个选项中结论错误的有 A.GH-20G B.GA +GB+GC-0 C.设BC边的中点为D,则有AH=3OD D.OA -OB-OC 10.已知点P在直线AB上，且IABI= 4AP1,设AP=APB,则实数入= 提升练习 11.如图，在△ABC中，D,F分别是 BC,AC的中点，AE号AD,AE,AC-h (I)用a,b分别表示向量AE,BF: (2)求证：B,E,F三点共线. 第11题图 (72)练 12.设e1,e2是两个不共线的向量，如 AB=3e -2e2,BC =4e+e2,CD =8e-9e2. (1)求证：A,B,D三点共线； (2)试确定入的值，使2入e1+e2和e1+入e2 共线； (3)若e1+入e2与入e1+e2不共线，试求入 的取值范围.