5.2.5 随机事件的独立性-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学必修第二册人教B版 5.2.5 随机 效果评价 1.某射击运动员射击一次命中目标的概 率为P,已知他独立地连续射击三次，至少 有一次命中的概率为37，则P为() 64 A.1 4 B.3 4 C.3y3 D.V37 8 8 2.某大学选拔新生补充进“篮球”“电 子竞技”“国学”三个社团，据资料统计， 新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否 相互独立.2019年某新生入学，假设他通过 考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技” “国学”三个社团的凝率依次为m,弓， 已知三个社团他都能进入的概率为4至少 进入一个社团的概率为子，且m>m,则m+ n=() A. 2 B.2 c 0多 3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内 任取2个球，现有如下说法：①至少有1个 黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件； ②至少有1个黑球与至少有1个红球不是互 斥事件：③恰好有1个黑球与恰好有2个黑 球是互斥而不对立的事件；④至少有1个黑 球与都是红球是对立事件.在上述说法中， (56)练 事件的独立性 正确的个数为() A.1B.2C.3 D.4 4.袋中装有10个红球、5个黑球，每 次随机抽取一个球，若取到黑球，则放回袋 中，直到取到红球为止.若抽取的次数为 X,则表示“放回袋中4个小球”的事件为 A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 5.分别独立地扔一枚骰子和硬币，并记 下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果 中含有“1点或正面向上”的概率为() A高 B.2 D号 6.（多选题)下列各对事件中，为相互 独立事件的有( A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶 数点”，事件N“出现3点或6点” B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的 小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一 次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的 小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一 次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D.甲组3名男生、2名女生；乙组2名 男生、3名女生.现从甲、乙两组中各选1 名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选 出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名 女生” 7.在一次数学考试中，第22题和第23 题为选做题，规定每位考生必须且只需在其 中选做一题.设4名考生选做这两题的可能 性均为乃，则其中甲、乙2名学生述做同一 道题的概率为 ， 甲、乙2名学生都 选做第22题的概率为 8.已知某种高炮在它控制的区域内击中 敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个 区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少 布置 门高炮.（用数字作答，已知 1g2≈0.3010,1g3≈0.4771) 9.设两个独立事件A和B都不发生的 概率为)，A发生B不发生的概率与B发 生A不发生的概率相同，则事件A发生的 概率P(A)= 10.某项密码破译工作需甲、乙、丙、 丁四人完成.已知每人独立破译出密码的概 率为0.5；若二人合为一组，则该组破译的 概率为0.8；若三人合为一组，则该组破译 的概率为09；若四人合作，则破译的概率 提升到0.94.为完成此项工作，现有四种方 案，方案1：四人独立翻译；方案2：分为 两组，每组两人，两组独立翻译；方案3： 分为两组，一组三人、一组一人，两组独立 翻译；方案4：四人一组合作翻译.则密码 能被破译出的概率最大的是() A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案4 提升练习 11.某心理调查机构为了了解市民的心 理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健 第五章统计与概率。 康问卷调查，按所得评分（满分100分）从 低到高将心理健康状况分为四个等级： 调查 [40, [50, [60, 70, [80, [90 评分 50) 60) 70) 80) 90) 100 心理 良好 等级 有隐患 般 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调 查评分在[70,80)的市民为400人 频率 组距 0.035 0.025 0.02 0.004 0 405060708090100分数 第11题图 (1)求n的值及频率分布直方图中t的值， (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的 市民中，按照调查评分分层抽取3人进行心 理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后， 调查评分在[40,50)的市民心理等级转为 “良好”的餐率为}，调查评分在【50,60) 的市民心理等级转为“良好”的概率为1， 3 若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试 问在抽取的3人中经过心理疏导后，至少有 1人心理等级转为“良好”的概率为多少 (3)心理调查机构与该市管理部门设定 的预案是：以抽取的样本作为参考，若市民 心理健康指数平均值不低于0.8，则只需发 放心理指导资料，否则需要举办心理健康大 讲堂.根据你所学的统计知识，判断该市是 练 57 N 高中数学必修第二册人教B版 否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由。 (每组数据以区间的中点值代替，心理健康 指数=问卷调查评分/100) 58)练 N 12.高一年级某同学为了丰富自己的课 外活动，参加了学校“文学社”“咏春社” “音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成 功进入这三个社团是相互独立的.假设该同 学进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三 个社团的概率分别为a,6,4,该同学可 以进入两个社团的概率为，且三个社团都 进不了的概率 3 ,则ab=() 3 A.0 &品 C.15 DN 高中数学必修第二册人教B版 (2),有400人回答了问题(1)，又学号为奇数或偶 数的概率也是子，故在回答问题()的400人中大约 有200人回答“是”，在回答问题(2)的400人中大约 有260-200=60（人）回答“是”. 8.解：这种说法是错误的.上述认为说法正确的同 学，其计算概率的方法自然也是错误的.为了弄清这个 问题，我们不妨用类比法，即把问题变换一下说法.原 题中所说的问题，类似于“在一个不透明的盒子里放有 6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样大小的球，从盒 中摸一个球恰好摸到2号球的概率是。那么摸6次球 是否一定会摸到一次2号球呢？”在这个摸球问题中， 显然还缺少一个摸球的规则，即每次摸到的球是否需要 放回盒子里？显然，如果摸到后不放回，那么摸6次球 一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回，那么 摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.由此看来，我 们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全 类同，是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求， 我们先看看上面掷骰子问题中的规则，在掷骰子问题 中，表面上好像没写着什么规则，但实际上却藏有一个 自然的规则，即第一次如果掷得某个数（如3），那么后 面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与 掷骰子问题中的规则相同，显然每次摸到的球必须放回 盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号 球了. 9.解：(1)如题图，方案A中“是奇数”或“是 偶数”的概率均为品-0.5：方案B中“不是4的整数倍 数”的概率为808，“是4的整数倍数”的概率为局 =0.2:方案C中“是大于4的数”的概率为品=0.6， “不是大于4的数”的概率为音-04乙为了尽可能获 胜，应选方案B,猜“不是4的整数倍数”· (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因 为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5， 从而保证了该游戏是公平的. (3)可以设计为猜“是大于5的数”或“不是大于 5的数”，此方案也可以保证游戏的公平性 78 10.CD【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率是 分，故A错误： 换到黑球、白球、红球的可能性分别为。、名 石，放B错误： 取得小于0的概率为号，取得不小于0的概率为 号，故C正确： 每名学生被选中的可能性都为了，放D正确。 故选CD. 提升练习 11.0.520.48100.350.07 【懈折】Pw=代MC.UAG..UMc品+品+品 品052， P(F)=1-P(M)=0.48; P(MUF)=1; P(MF)=P(☑)=0： GGG-8+品-05； RG,a07 12.D【解析】由折线图可知，频率在0.30.4之间. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合， 故A错误； 掷一枚正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为 名，不符合，放B错误： 副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌 的花色是红桃的概率为4，不符合，放C错误： 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球， 取到的是黑球的概率为了，在03-04之间，符合题意， 故D正确.故选D. 5.2.5随机事件的独立性 效果评价 1.A【解析】.射击一次命中目标的概率为P,..射 击一次未命中目标的概率为1-P..·每次射击结果相互独 立，.三次都未命中的概率为(1-P)3连续射击三次， 至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，“.连续射 击三次，至少有一次命中的概率为1-(1P八忍.解得 P故选A 2.C【解析】由题知三个社团都能进入的概率为 京甲mx写x如4x名，又至少进人-个社闭 的概率为子，即一个社团都没能进人的概率为1子 A 子，即（1-mx号×1-m）子→1-mn+mX=令，整理 得+子故选C 3.C【解析】①“至少有1个黑球”等价于“1个 黑球和1个红球或2个黑球”与“都是黑球”可以同时 发生，不是互斥事件，故错误；②“至少有1个黑球” 等价于“1个黑球和1个红球或2个黑球”，“至少有1 个红球”等价于“1个黑球和1个红球或2个红球”，可 以同时发生，故正确；③“恰好有1个黑球”等价于 “1个黑球和1个红球”，与“恰好有2个黑球”不同时 发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确； ④“至少有1个黑球”等价于“1个黑球和1个红球或 2个黑球”，与“都是红球”不同时发生，但一定会有一 个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个 数为3.故选C 4.B【解析】根据题意可知，如果没有抽到红球， 则将黑球放回，然后继续抽取，.“放回袋中4个小球” 也即前4次都抽到黑球，第5次抽到了红球，故X-5. 故选B. 5.C【解析】分别独立地扔一枚骰子和硬币，所有 的基本事件是：1正面向上，1反面向上，2正面向上， 2反面向上，3正面向上，3反面向上，4正面向上，4 反面向上，5正面向上，5反面向上，6正面向上，6反 面向上，共12个基本事件，含有“1点或正面向上”有 1正面向上，1反面向上，2正面向上，3正面向上，4 正面向上，5正面向上，6正面向上，共7个基本事件， :结果中含有1点或正面向上”的概率为7放选C 6.ABD【解析】样本空间2={1,2,3,4,5,6， 事件M=(2,4,6},事件N=(3,6},事件MN={6), 参考答案。 PM)=名子，PW)=名分，PMN)=2×号6，即 P(MN)=P(M)P(N),故事件M与N相互独立，A正确； 根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生 的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故B正 确；由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球 的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误； 从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个 事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D 正确.故选ABD. 7号冬【解析】设事件A表示甲迹做第2 题”，事件B表示“乙选做第22题”，则甲、乙2名学 生选做同一道题的事件为“AB+AB”,且事件A,B相互 独立，PiB+)-PAP(B)+PP(®)=×号+ 1-2×1-3)=3,甲、乙2名学生选做同一道题 的概率为宁：P4PB®)-宁×宁-合，甲、乙2名学 生都选做第2题的概率为子 8.11【解析】设需要至少布置n门高炮，.某种高 炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机 一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，1- (1-0.2)>0.9,解得n>10.3,n∈N,.需要至少布置11 门高炮 9.子【解析】由题意，知P(④)P(B)=号， P(A)P(B)=P(A)P(B).设P(A)=x,P(B)=y,则 1--g 即19'解得号或青 。1 (1-x)y=x(1-y),x=y, (含去)，故事件A发生的概率PA)号 10.B【解析】由题意可知，有任何一人成功破译密 码，则密码就被破译。 方案1：四人均没有成功破译密码的概率为分片 。四人接立承，斋码能被破译的概率为1。名 =0.9375. 方案2：分为两组，每组两人，两组独立破译.由二 79 N 高中数学必修第二册人教B版 人合为一组，该组破译的概率为0.8，.两组均没有成 功破译的概率为(0.2)2-0.04，则密码能被破译的概率为 1-0.04=0.96. 方案3：分为两组，一组三人、一组一人.三人合为 一组，该组破译的概率为0.9，则密码能被破译的概率 为0.9x(1-0.5)+0.1×0.5+0.9×0.5=0.95. 方案4：四人一组合作翻译.四人合作，则破译的概 率为0.94. 显然方案2破译密码的概率最大.故选B. 提升练习 400 11.解：(1)由已知条件可得n=002x10-2000, 每组的纵坐标的和乘以组距为1，.0.84+80t=1,解得t= 0.002. (2)由(1)知t=0.002,∴.调查评分在[40,50) 的人数占调查评分在[50,60)人数的号，若按分层抽 样抽取3人，则调查评分在[40,50)有1人、 [50,60)有2人.经过心理疏导后的恢复情况相互独 立，选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到 良好的概率为子×号×号了，小经过心理疏导后，至少 有1人心理等级转为良好的概率为1-×号×号号 (3)由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65× 0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7,估计市民心理健康 问卷调查的平均评分为80.7，.∴.市民心理健康指数平均 值为0-0807>08.只需发放心理指导材料，不需 要举办心理健康大讲堂活动， 12.B【解析】该同学可以进人两个社团的概率为 5,则b1-4+a(1-b)+b(1-)=写，整理得 aba+b=专，又：三个社团都进不了的概率为高，则 1-1-b)1-高.整理得a+b-b号，联立+ a4=号与a-b号，解得山故选B. (80 一"5.3统计与概率的应用 效果评价 1.D【解析】由题意，试验的情况总数有6×6=36， 又18=2x3×3,即两次所记数字之和能整除18的有2+ 4,2+7,3+6,4+5,两次交换顺序共8种，还有3+3， 即听求事作个数共有9种，一所求概孝为器子放 选D 2.B【解析】用同一行业中应聘人数与招聘人数 比值的大小来衡量该行业的就业情况，.建筑行业招聘 人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于 65280,建筑行业人才供不应求.物流行业应聘人数是 74570,而招聘人数不在前五位，要小于70436，.物 流行业人才供大于求，.就业形势是建筑行业好于物流 行业.故选B 3.B【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同 时发生的概率，三个人中恰有两人合格，包括三种情 况，这三种情况是互斥的，.三人中恰有两人合格的概 率为××号+号x好×号+号×子×号名做进B 4.C【解析】画出树状图如下： ④金 123456 123456 123456 2345 由图可知共有36种等可能的结果，其中点数都是 偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点 数和小于13的结果数为36，点数和小于2的结果数为 0,.发生可能性最大的是点数和小于13.故选C 5.B【解析】设小张本次电工考试中共参加3次考 试为事件A,小张本次电工考试中第一次理论考试没通 过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件 B,小张本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次 操作考试没通过，第二次操作考试通过为事件C,小张 本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试 没通过，第二次操作考试没通过为事件D,则P(A)= P(RUCUD)=P(B)+PC)+PD),面P(B)=I-子)x×