5.1.3 数据的直观表示-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

5.1.3 数拒 效果评价 1.随着人民生活水平的提高，对城市空 气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市 1月至8月的空气质量检测情况，图中一、 二、三、四级是空气质量等级，一级空气质 量最好，一级和二级都是质量合格天气，下 面四种说法正确的是（ 35 25 6 1 15 23 10 25 1月2月3月4月5月6月7月8月 口四级 口三级 口二级 ■一级 第1题图 ①1月至8月空气质量合格天数超过20天 的月份有5个；②第二季度与第一季度相比， 空气质量合格天数的比重下降了；③8月是空 气质量最好的一个月；④6月的空气质量最差， A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 2.为了了解运动健身减重的效果，某健 身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的 体重情况如三维饼图1所示，经过四个月的 健身后，他们的体重情况如三维饼图2所 示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下 面结论不正确的是( [110kg,120kg)》 10% [90kg,100kg) [100kg, 40% [80kg, 110kg)30% 90kg)30% [100kg,110kg) 90kg, 50% 100kg)40% 图1 图2 第2题图 第五章统计与概率。 的直观表示 A.他们健身后，体重在区间[90kg, 100kg)内的人数不变 B.他们健身后，体重在区间[100kg, 110kg)内的人数减少了4人 C.他们健身后，这20位健身者体重的 中位数位于[90kg,100kg) D.他们健身后，原来体重在[110kg, 120kg)内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 3.某校高三共有学生1000人，该校高三 学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方 图如图所示，则该校高三学生在本次考试中 数学成绩在[110,130]内的人数为() 频率 组距 0.030 0.025 0.020---- 0.015 0.010 0 8090100110120130分数/分 第3题图 A.30人B.300人C.10人D.100人 4.为了开发出适合消费者需求的房屋， 某房地产营销策划公司对2000位客户的需 求进行了调查，并利用专业的软件进行统计分 析，绘制出如图所示的消费者对需求面积的 需求率 60% 49.5% 50% 40% 30% 19.9% 20% 10% 7.2%12.29% 8.1% 04% 60-80 20 0 60 面积/m2 100 120 140 160-180 他 第4题图 练 35 高中数学必修第二册人教B版 统计分布图其中需求率= 需求客户数 被调查客户总数’ 请你观察并计算需求面积在100~140（含 140,不含100)m2的客户数是 5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 下列描述中，正确的是 (请写出所 有正确判断的序号)· 频数 人肠暖肠爱肠 03456789环数 分 4频数 03456789环数 第5题图 ①甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平 均数； ②甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中 位数； ③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差： ④甲的成绩的极差小于乙的成绩的 极差. 6.某校高一年级(8)班班主任为了了 解学生上网学习时间，对本班40名学生某天 上网学习时间进行了调查，将数据（取整数） 整理后，绘制出如图所示频率分布直方图. 已知从左到右各个小组的频率分别是 0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,则根据直方图 所提供的信息，这一天上网学习时间在100~ 119min之间的学生人数是 人.如果 36)练 只用这40名学生这一天上网学习时间作为样 本去推断该校高一年级全体学生该天的上网 学习时间，这样推断是否合理 (填 “合理”或“不合理”). 频率 组距 59.979.999.9119.9139.9159.9时间/min 第6题图 7.通常满分为100分的试卷，60分为 及格线，若某次满分为100分的测试卷， 100人参加测试，将这100人的卷面分数按 照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分 组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于 及格人数较少，某位老师准备将每位学生的 卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进 行换算以提高及格率（实数a的取整等于不 超过a的最大整数)，如某位学生卷面49 分，则换算成70分作为他的最终考试成绩， 则按照这种方式，这次测试的及格率将变为 频率 ↑组距 0.025 0.015 0.005 24364860728496卷面分/分 第7题图 8.某次数学考试后，抽取了20名同 学的成绩作为样本，绘制了频率分布直方图 如下： 频率 10 组距 6a 3a----- o 5060708090100成绩 第8题图 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)求20名同学成绩的平均分； (3)估计样本数据的第一四分位数和第 80百分位数（保留3位有效数字）· 9.(多选题)某学校为了调查学生在一 周内生活方面的支出情况，抽取了一个容量 为n的样本，其频率分布直方图如图所示， 其中支出在[50,60]元的学生有60人， 则下列说法正确的有() 频率 组距 0.036---- 0.024 0.010 04 2030405060元 第9题图 A.样本中支出在[50,60]元的频率 为0.03 第五章统计与概率。 B.样本中支出不少于40元的人数为 132 C.n的值为200 D.若该校有2000名学生，则定有600 人支出在[50,60]元 10.(多选题)甲、乙两人的各科成绩如 茎叶图所示，则下列说法正确的有() 甲 乙 8646 47746 3394857 239885 第10题图 A.甲、乙两人的各科成绩的平均分相同 B.甲成绩的中位数是83，乙成绩的中 位数是85 C.甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D.甲成绩的众数是89，乙成绩的众数 是87 提升练习 11.在育民中学举行的电脑知识竞赛中， 将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为 整数)进行整理后分成五组，绘制成如图所 示的频率分布直方图.已知图中从左到右的 第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40. 频率 ↑组距 0.04 0.03 0.02 0.01 49.559.569.579.589.599.5分数 第11题图 练 37 N 高中数学必修第二册人教B版 (1)求第二小组的频率，并补全这个频 率分布直方图. (2)求这两个班参赛的学生人数是 多少 (3)这两个班参赛学生的成绩的中位数 应落在第几小组内？ 12.(多选题)给出如图所示的三幅图： 世界人口变化情况统计图 人口/亿 100F 80 60F 40 201 195719741987199920252050年份 38)练 2050年世界人口分布预测图 欧洲D 非洲 亚洲 北美洲 南美洲及 大洋洲 2050年世界人口预测图 人口亿 60 40------- 30 20----- 欧洲非洲北美洲南美洲亚洲 大洋洲 第12题图 则下列说法中，正确的有() A.从折线图能看出世界人口的变化 情况 B.2050年非洲人口将达到大约15亿 C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的 总和还要多 D.从1957年到2050年各洲中北美洲人 口增长速度最慢组数据的中位数相同，将乙组数据从小到大排列得 159,161,160+b,167,178,160+b=165,故b=5;. 乙组数据为159,178,165,161,167，平均数为 159+178+165+161+167-166,甲组数据的平均数为 156+170++165+174+162=166,解得a=3,:a+b=8.故 选A. 6.A【解析】x是1,2,3，x,5,6,7这七个数 据的中位数，则3≤x≤5；1,3，x2,-y这四个数据的 平均数为1,1+3+2-y=4,=y,y1=-.设 fx)=士xe[3,5,fx)是单调增函数，)的 最小值是f3)9日-8号故选A 7.81.24.4【解析】数据都减去80，平均数减小 80,离散程度不变，故原数据平均数为81.2，方差为 4.4 8.2【解析】由表中数据计算可得，甲、乙运动员 成绩的平均数均为90，甲的方差为4，乙的方差为2. 9.解：这100天该大型超市日纯利润的平均数为x= 00×(4.5x5+5.5x20+6.5x30+7.5x30+8.5x10+9.5x5)=6.85 (万元).前2组频率之和为0.05+0.20=0.25<0.5，前3组 频率之和为0.25+0.3-0.55>0.5，故中位数位于第3组. 设中位数为，则有-6)×03+0,25=05，解得1=名，即 这100天该大型超市日纯利润的中位数为：万元. 10.C【解析】y=2x+1,∴少关于单调递增， 当：为中位数时，也为中位数.故选C. 提升练习 11.D【解析】①错误，举反例：0,0,0,0,2， 6,6,其平均数=2≤3，但不符合指标。 ②错误，举反例：6,6,6,6,6,6,6，其标准差 s=0≤2，但不符合指标 ③错误，举反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均数 ≤3且标准差=√号≤2，但不符合指标 ④正确，若极差等于0或1，在x≤3的条件下显然 符合指标，若极差等于2，新增感染人数可能为(1) 参考答案。 0,1,2(2)1,2,3(3)2,3,4(4)3,4,5 (5)4,5,6.在x≤3的条件下，只有(1)(2) (3)成立，符合指标. ⑤正确，若众数等于1且极差小于等于4，则最大 数不超过5，符合指标.故选D. 12.A【解析】能反映“学生视力保护达标年级”的 是平均值和方差；平均值反映数据的平均水平，方差反 映数据的波动大小，方差越大，波动越大 七年级，平均数和方差均为2，满足题意，因为若 有一个数据大于5，方差必然大于2；八年级，方差大 于0，但不确定具体取值，因此不能判断八年级是否达 标；高一年级，知道中位数与众数，不能判断出是否达 标，高二年级知道平均数与中位数，也不能判断是否达 标.故选A. 5.1.3数据的直观表示 效果评价 1.A【解析】在①中，1月至8月空气质量合格天数超 过20天的月份有1月、2月、6月、7月、8月，共5个， 故①正确；在②中，第一季度空气质量合格天数的比重为 2+26+19≈0.7363，第二季度空气质量合格天数的比重为 31+29+31 19+13+25≈0.6264，第二季度与第一季度相比，空气质 30+31+30 量合格天数的比重下降了，②是正确的；在③中，8月 空气质量合格天数达到30天，是空气质量最好的一个 月，.③是正确的；在（④中，5月空气质量合格天数只有 13天，5月的空气质量最差，④是错误的.故选A. 2.D【解析】易得他们健身前后，体重在区间 [90kg,100kg)内的人数占比均为40%，故A正确； 体重在区间[100kg,110kg)内的人数减少了50%- 30%=20%,即20x20%=4（人)，故B正确；因为健身后 体重在区间[80kg,90kg)内的人数占30%，[90kg, 100kg)内的人数占40%，故中位数位于[90kg, 100kg),故C正确；易举出反例，若原体重在 [110kg,120kg)内的肥胖者重量为110kg,减肥后为 1O9kg依然满足，故D错误.故选D. 3.B【解析】由题意可知，成绩在[110,130]内 的人数为1000×10×(0.020+0.010)=300（人）.故选B. 4.1234【解析】由需求率柱形图，可求得需求面积 在100-140的需求率为49.5%+12.2%=61.7%...所求客户 69 N 高中数学必修第二册人教B版 数n=2000x61.7%=1234 5.③【解析】由柱形图易知甲的平均数x甲= 4+5+6+7+8-6,中位数为6， 5 方差s=-2)4(-)40+1+2-2,极差为8-4=4： 乙的平均数x2=3x5+6+9-30=6,中位数为5， 5 方差2=3x6-54(6-6+(6-92-3+0+9>2, 5 5 极差为9-5=4，故xm=xz,甲、乙成绩的中位数不 相等且s2>s品，甲、乙成绩的极差相等. 6.14不合理【解析】由直方图可知：这一天上网 学习时间在100-119min之间的学生人数的频率为0.35， 则人数为40x0.35=14(人)；“40名学生”这个样本相 对于“该校高一年级全体学生”这个总体数据太小，不 具有代表性，.如果只用这40名学生这一天上网学习时 间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天上网学习 时间，这样的推断是不合理的。 7.0.82【解析】先考虑进行换算前36分以上（含36 分)的学生的频率，该频率为1-0.015×12=0.82，换算 后，原来36分以上（含36分）的学生都算及格，故这 次测试的及格率将变为082. 8.解：(1)依图可得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解 得a=0.005. (2)根据题意得(55×2a+65×3a+75×7a+85x6a+95× 2a)×10=76.5. (3)由图可知，[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90),[90,100]对应频率分别为0.1,0.15,0.35， 03,0.1,前两组频率之和恰为025，故第一四分位数为70.0. 前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，∴ 第80百分位数在第四组. 设第80百分位数为x,则0.6+(x-80)×10x0.03=0.8, 解得x≈86.7. 9.BC【解析】样本中支出在[50,60]元的频率为 1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误； 样本中支出不少于40元的人数为006×60：60-132， 故B正确； n89-200,故C正确： 若该校有2000名学生，则可能有0.3x2000=-600(人) 70 支出在[50,60]元，故D错误.故选BC. 10.ABC【解析】甲成绩的平均数e=)×(68+74+ 77+83+83+89+84+92+93)=743， 乙成绩的平均数元2=)×(64+66+74+76+85+87+98+ 98+95)7号，放A正确；由茎叶图知甲成绩的中位数 是83，乙成绩的中位数是85，故B正确；由茎叶图知 甲的数据相对集中，乙的数据相对分散，故甲的各科成 绩比乙的各科成绩稳定，故C正确；甲成绩的众数是 83,乙成绩的众数是98，故D错误.故选ABC. 提升练习 11.解：(1)各小组的频率之和为1.00，第一、 三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05， .∴.第二小组的频率为1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)= 0.40,∴.落在59.569.5的第二小组的小长方形的高= 频率=0,400.04，则补全的频率分布直方图如图所示. 组距10 频率 个组距 0.04 0.03 0.024 0.01 49.559.569.579.589.599.5分数 第11题答图 (2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人，第 二小组的频数为40人，频率为0,40,40=0,40，解得 x=100,.这两个班参赛的学生人数为100人. (3).0.3×100=30.0.4×100=40.0.15×100=15,0.10 ×100=10,0.05×100=5,即第一、二、三、四、五小组的 频数分别为30,40,15,10,5，.九年级两个班参赛 学生的成绩的中位数应落在第二小组内. 12.AC【解析】从折线图能看出世界人口的变化情 况，故A正确；从柱形图中可得到，2050年非洲人口 将达到大约17亿，故B错误；从扇形图中能够明显地 得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要 多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到 2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选 AC. 5.1.4用样本估计总体 效果评价 1.B【解析】这3000个数据的平均数为 78.1×800+85×1300+91.9x900=85.23.用样本平均数估计 3000 总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故 选B. 2.C【解析】由频率分布直方图得，自学时间在 [0.5,2)的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35，自学时 间在[2,2.5)的频率为0.52×0.5=0.26，∴.自学时间的 中位数为2+0.5-035x0.5≈2.29，众数为2+25=2.25.故 0.26 选C 3.C【解析】由频率分布直方图得(0.005+0.010+ 0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A 错误；样本数据低于130分的频率为1-(0.025+0.005)× 10=0.7,故B错误；[80,120)的频率为(0.005+0.010+ 0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的频率为0.030x10= 0.3,.总体的中位数（保留1位小数）估计为120+ 05-04×10≈123.3（分），故C正确；样本分布在 0.3 [90,100)的频数一定与样本分布在[100,110)的频数 相等，总体分布在[90,100)的频数不一定与总体分布 在[100,110)的频数相等，故D错误.故选C. 4.A【解析】利用特殊法解决.假设n=2,这2名学 生的得分分别为150,150，则这2名学生中得分至少为 1分的人数为b=2,这2名学生中得分至少为2分的人 数为b2=2,这2名学生中得分至少为3分的人数为b= 2,…,这2名学生中得分至少为150分的人数为b10= 2,即这2名学生中得分至少为k(1≤k≤150)分的人 数b分别为2,2，…，2,2.一共有150个“2”，从而 得k分的同学会被记k次，所有b的和恰好是所有人得 分的总和，即b+b+…+b.+b=a+a,从而b+b++b . =2+2+2+…+2=2x150=150.b+b++b1m=2+2+2…+2 2 2 150 150 =2x150=2.故选A. 150 参考答案。 5.D【解】由茎叶图得乙运动员得分的中位数是 17,平均值为9+14+15+17+18+19+20=16.根据甲得分的 7 折线图确定被墨迹污损的两个数字取值范围为 [13,15],.甲运动员得分的极差是28-9=19，甲运动 员得分有音号的叶集中在茎1上。甲运动员得分数据 比乙分散，·.甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的 稳定性差，甲运动员得分平均值x甲> 9412+13+13+13+20+26+28>16,D错误.故选D. 6.B【解析】根据茎叶图中数据的分布可得，A班 学生的分数多集中在[70,90]之间，B班学生的分数 多集中在[50,80]之间，∴x心.就两个班级的成绩分 布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更 加离散，s<s.故选B. 7.3t【解析】[0,0.5)的频数为0.08×0.5×100 =4,[0.5,1)的频数为0.16x0.5×100=8,[1,1.5)的 频数为0.3×0.5×100=15，[1.5,2)的频数为0.44×0.5× 100=22,[2,2.5)的频数为0.5×0.5×100=25， [2.5,3)的频数为0.28x0.5x100=14,[3,3.5)的频数 为0.12×0.5×100=6，[3.5,4)的频数为0.08×0.5×100= 4,[4,4.5)的频数为0.04×0.5×100=2,4+8+15+22+ 25+14=88,∴.前6组占88%，a为3t. 8.0.9825【解析】总车次：10+20+10=40，则所有 车次的平均正点率为10x0.97+20x0.99+10x0.98=0.9825. 40 9.解：(1)由样本数据可知，在昼批次的20个样 本中有2个不合格品，有18个合格品，合格品的比率为 8-0.9,因此昼批次合格品的概率估计值为0.9.在夜批次 2 的20个样本中有4个不合格品，有16个合格品，合格品 的比率为6=0.8，因此夜批次合格品的概率估计值为0.8 20 (2)昼批次合格品的概率为0.9，不合格品的概率 为0.1,1000件产品中合格品的均值为900件，不合 格品的均值为100件，∴.利润为900×10-100×5=8500 (元)；夜批次合格品的概率为0.8，不合格品的概率为 0.2,∴1000件产品中合格品的均值为800件，不合格 品的均值为200件，∴.利润为800×10-200×5=7000 (元)..这台车床一天的总利润的平均值为8500+7000=