高二上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

高二上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：空间向量与立体几何； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（23-24高二上·山西运城·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·开学考试）空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（    ） A． B． C． D． 2、 多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2023高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 10．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数 B．已知正四面体的棱长为1，则 C．已知，，，则向量在上的投影向量的模长是 D．已知，，（为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面 11．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）在等腰梯形中，分别是的中点，沿将折起至，使平面平面（如图）.已知，下列四个结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 3、 填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（2023高二上·全国·专题练习）若，且共面，则 ． 13．（23-24高二上·全国·课后作业）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则= . 14．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知三棱锥，PA，PB，PC的长分别为1，2，3，且PA，PB，PC两两夹角均为60°，G是三棱锥的重心，即，过点G作平面，与直线PA，PB，PC分别相交于D，E，F三点，且，，，则 ，PG的长度为 ． 四、解答题（5小题，共77分） 15．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，且点到四点距离都相等. （i）求四棱锥的体积； （ii）求的长. 16．（23-24高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 18．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点（不含端点），判断直线能否与平面平行，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：空间向量与立体几何； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（23-24高二上·山西运城·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 2．（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的模长即可求解. 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义以及向量垂直的坐标表示可得，联立解方程组即可得结果. 【详解】易知， 依题意，即， 联立，解得， 所以点. 故选：B 4．（24-25高三上·浙江·开学考试）空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设三根绳子上的拉力分别为，利用可得答案. 【详解】设三根绳子上的拉力分别为，， 因为的夹角均为， 所以，， ， 设物体的重力为，则， 所以 . 故选：C. 5．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据，可得，从而求出答案. 【详解】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量在向量上的投影向量，再分和两种情况、利用基本不等式即可求解. 【详解】由已知得，则向量在向量上的投影向量为： ， 所以， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 8．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为，，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 由重心性质可得，设， 又， 则，故，解得. 故，故. 故选：A 2、 多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2023高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【分析】根据向量的定义及性质可以判定. 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 10．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数 B．已知正四面体的棱长为1，则 C．已知，，，则向量在上的投影向量的模长是 D．已知，，（为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面 【答案】ABC 【分析】利用向量的基本概念及基本运算逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】A.因为，，且， 所以， 解得，所以A正确. B. 正四面体对棱互相垂直，所以与，与夹角为，所以，所以B正确. C.，， 向量在上的投影向量的模长是，所以C正确. D.假设向量，，共面，则，所以， 即， 所以，解得，所以向量，，共面，所以D不正确. 故选：ABC. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）在等腰梯形中，分别是的中点，沿将折起至，使平面平面（如图）.已知，下列四个结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求方向向量，看数量积是否为零，则选项可判定. 【详解】因为等腰梯形中，分别是的中点， 所以，,所以为二面角的平面角， 又平面平面，所以，即, 设，以点M为坐标原点， ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，    则，，，，， ∴, ，， , , ， , ， ∴,,. 故选:ACD. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（2023高二上·全国·专题练习）若，且共面，则 ． 【答案】1 【分析】根据三个向量的坐标，得出向量，不共线，根据，，共面，得出可由，表达，列出对应关系式，即可得出结论 【详解】由题意，， 因为向量，不共线，且，，共面， 所以存在实数，使得， 即有，解得：． 故答案为：1. 13．（23-24高二上·全国·课后作业）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则= . 【答案】 【分析】延长相交于一点，根据题设比例关系及空间向量数乘的几何意义有，，再由空间向量加法的几何意义，结合几何体即可求得目标式所表示的空间向量. 【详解】延长相交于一点，则且， 故答案为： 14．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知三棱锥，PA，PB，PC的长分别为1，2，3，且PA，PB，PC两两夹角均为60°，G是三棱锥的重心，即，过点G作平面，与直线PA，PB，PC分别相交于D，E，F三点，且，，，则 ，PG的长度为 ． 【答案】 4 【分析】根据给定的结论和共面向量定理的推论得，再利用向量数量积求出模作答. 【详解】由，可得， 因为G，D，E，F四点共面，所以根据共面定理的推论可得． 由， 又因为PA，PB，PC的长分别为1，2，3，且PA，PB，PC两两夹角均为60°， 所以， 同理可得，， ， 所以． 故答案为：4；. 四、解答题（5小题，共77分） 15．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若，且点到四点距离都相等. （i）求四棱锥的体积； （ii）求的长. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）（i）根据线面垂直的判定定理，结合棱锥的体积公式进行求解即可； （ii）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为为的中点， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，设的中点，连接， 因为为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点， 所以，又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面； （2）（i）因为，为的中点， 所以，于是有， 由（1）可知四边形是平行四边形，所以， 因为， 所以，而平面， 所以平面， 因此四棱锥的体积为； （ii）因为，， 所以，于是两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， ， 因为点到四点距离都相等， 所以， 所以. 16．（23-24高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 18．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面.    （2）如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点（不含端点），判断直线能否与平面平行，并说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不能，证明见详解 【分析】（1）在平行四边形中找到三角形的角和边，利用余弦定理解三角形，即可证明的关系，然后利用勾股定理得到的关系，然后得到线面关系； （2）取线段中点，然后由（1）证明三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，然后由条件写出点的坐标，即可得到面内空间向量的坐标，然后由空间向量的数量积求得两个面的法向量，由法向量的夹角的余弦值求得面面角的余弦值. （3）反证法，假设直线与平面平行，由线面平行推导得面面平行，又因为面与面存在交点，从而证明假设不成立，然后得到结论. 【详解】（1）在平行四边形中，为等边三角形， 则， ∴，∴， 在中，，，， ∴， ∴，∴， 在四棱锥中由可得，∴， 且，平面，平面， ∴平面. （2）分别取，中点，，连接， ∴ 由（1）可知，平面， ∵，平面， 平面，∴， 在正三角形中，， ∴如图以为原点建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∵， 即， ∴，， ，， 设向量，分别为平面和平面的一个法向量， 则和， 令，则，令，则， 即，， 设平面与平面的夹角为， 则， （3）不能. 证明：假设存在上一点（不包括端点）使得平面， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，平面，平面， 则平面平面， 又∵平面平面，故矛盾， ∴假设不成立， 即不存在上一点（不包括端点）使得平面， 即直线不能与平面平行. 学科网（北京）股份有限公司 $