专题23.1 锐角的三角函数重难点题型专训（3个知识点+21大题型+6大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

专题23.1 锐角的三角函数重难点题型专训 （3个知识点+21大题型+6大拓展训练+自我检测） 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 已知余弦求边长 题型六 余弦的概念辨析 题型七 求角的正切值 题型八 正切的概念辨析 题型九 已知正切值求边长 题型十 特殊三角形的三角函数 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型十三 用计算器求锐角三角函数值 题型十四 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型十五 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 题型十六 已知角度比较三角函数值的大小 题型十七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十八 利用同角三角函数关系求值 题型十九 求证同角三角函数关系式 题型二十 互余两角三角函数的关系 题型二十一 三角函数综合 拓展训练一 正弦的性质、求解及应用 拓展训练二 余弦的性质、求解及应用 拓展训练三 正切的性质、求解及应用 拓展训练四 特殊角、三角函数的相关问题 拓展训练五 角度（锐角）与三角函数值的相互关系 拓展训练六 同角三角函数的综合问题 知识点一：正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【即时训练】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，，，则（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知在中，，，，则等于（   ） A．6 B．16 C．3 D．12 知识点二：特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，若，则 ． 知识点三：锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【即时训练】 1．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【经典例题一 正弦的概念辨析】 【例1】（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【例2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 2．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【经典例题二 求角的正弦值】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 1．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南玉溪·二模）如图，在中，若，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖南永州·期中）如图，中，，，，则的值为 4．（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值． 【经典例题三 已知正弦值求边长】 【例1】（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【例2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 3．（24-25九年级下·江西新余·阶段练习）在中，，，，则边的长为 ， 4．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在中，，，，求的值． 【经典例题四 求角的余弦值】 【例1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，求的长和的度数． 1．（2025·云南·模拟预测）在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南楚雄·二模）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图在正方形网格中，求的值为 ． 4．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 【经典例题五 已知余弦求边长】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 4．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，已知，分别是的边，上的高． (1)求证：； (2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题六 余弦的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【例2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【经典例题七 求角的正切值】 【例1】（2024·湖北·模拟预测）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示． (1)试探索随着锐角度数的增大，正切值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较，，，角的正切值的大小． 1．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·期中）在中，，，则 ． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 在中， 于D， 若 求 【经典例题八 正切的概念辨析】 【例1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 2．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽淮南·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，，，解这个直角三角形. 【经典例题九 已知正切值求边长】 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某数学兴趣小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过两栋建筑物的顶部和．示意图中点，，，，，，均在同一平面内，点在上，．测得．．请求出建筑物的高度． 1．（2025·云南大理·一模）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知在中，，，，则等于（   ） A．6 B．16 C．3 D．12 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，且，则 ． 4．（2024·安徽·三模）如图，某人行天桥的高为，斜坡的坡角为，为方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新斜坡的坡角为，且米，请求出人行天桥高值？（结果精确到0.1米）（） 【经典例题十 特殊三角形的三角函数】 【例1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们发现：当为锐角时，．由此可知，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，，则 ． 4．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题十一 特殊角三角函数值的混合运算】 【例1】（23-24九年级下·湖北荆门·自主招生）已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期末）计算：． 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025·天津南开·三模）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期中） ． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)． (2)． 【经典例题十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，判断的形状． 1．（24-25九年级·山东潍坊·阶段练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期末）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，判断△ABC的形状． 【经典例题十三 用计算器求锐角三角函数值】 【例1】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器计算：（精确到0.01） (1)． (2)． (3)． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（　　） A． B．   C．   D．   2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算： （精确到）． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【经典例题十四 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 1．（22-23九年级上·全国·期中）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的度数为 ． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【经典例题十五 给出三角函数值，用计算器求锐角度数】 【例1】（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）（1）若sinα=0.5138，则锐角α= （2）若2cosβ=0.7568，则锐角β= （3）若tanA=37.50，则∠A= （结果精确到1〞） 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 【经典例题十六 已知角度比较三角函数值的大小】 【例1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 4．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：如图，，、是上的两点，． （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________． 【经典例题十七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例1】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏泰州·二模）（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）若为锐角，且，则的取值范围是 ． 4．（2023·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【经典例题十八 利用同角三角函数关系求值】 【例1】（23-24九年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023九年级上·全国·专题练习）已知，求的值． 1．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）求下列各式的值： （1）2sin30°﹣3cos60° （2）16cos245°﹣． 【经典例题十九 求证同角三角函数关系式】 【例1】（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 2．（2023·福建泉州·二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【经典例题二十 互余两角三角函数的关系】 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 1．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知，则值为 ． 4．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来求已知两角的正弦值，其公式为：sin( +)= sincos + cossin ，请利用这个公式，解决下列问题： (1)计算sin75°的值； (2)利用公式证明：sin2 =2 sin cos；并在已知sin =的条件下，求sin2的值． 【经典例题二十一 三角函数综合】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·福建南平·模拟预测）在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，） 1．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（   ）    A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡 C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）规定：，，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·上海·二模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 4．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【拓展训练一 正弦的性质、求解及应用】 【例1】（2025·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·二模）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 4．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【拓展训练二 余弦的性质、求解及应用】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【例2】（2025·浙江·三模）如图，在中，是边上的高线，的面积为6，． (1)求的长； (2)求的值． 1．（2025·贵州遵义·二模）在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·二模）如图，在矩形中、，垂足为，，若，则矩形的面积为 ． 4．（2024·山东青岛·一模）图1为某机械臂3D模型，该机械臂底部AB是固定的，高度为40cm，连杆BC的长度为60cm，手臂CD的长度为50cm，机械手DE的长度为30cm。点B、C、D是转动点，且AB、BC、CD与DE始终在同一平面内。转动连杆BC，手臂CD，机械手DE使∠ABC=150°，CD//AF，∠CDE=120°，如图2所示。求机械手端点E离地面的高度（结果精确到1cm） 【拓展训练三 正切的性质、求解及应用】 【例1】（23-24九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）在海龙屯景区，同一平面内五个景点的道路分布如图所示．经测量，景点B、C均在景点A的正东方向，景点E在景点A的正北方向，景点B在景点E的南偏东方向且米，景点D在景点B的北偏西方向，景点D在景点C的西北方向且米． (1)请计算线段______米； (2)求道路的长度（结果保留根号）； 1．（2025·广西·一模）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中，，，，则 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）综合与实践活动中，某小组要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度，其示意图如下图所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，垂足为C．该小组在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为（结果取整数，参考数据：）． (1)求CD的长． (2)求桥塔AB的高度． 【拓展训练四 特殊角、三角函数的相关问题】 【例1】（23-24九年级上·山东东营·期中）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 1．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东梅州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．（23-24九年级上·山东临沂·期末）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ． 4．（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【拓展训练五 角度（锐角）与三角函数值的相互关系】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：   ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（   ）， A．的正切函数值约为 B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为 D．正切函数值为的角约是 【例2】（23-24九年级·上海徐汇·阶段练习）已知：△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为边BC上一动点，△ABD的形状可由BD的长来确定． （1）若△ABD为直角三角形，求BD的长； （2）若△ABD为锐角三角形，求BD的取值范围； （3）若△ABD为钝角三角形，求BD的取值范围． 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·期末）已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有 条． B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．） 4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由    【拓展训练六 同角三角函数的综合问题】 【例1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 1．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    1．（广东省深圳市23校2018-2019学年九年级下学期第一次联考数学试卷）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，向量可以用点P的坐标表示为：，已知如果，那么互相垂直，下列四组向量，不互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 6．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·湖南长沙·三模）锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（   ） A．的值等于边和的比值 B．当时， C．的值与的形状无关 D．当越大，越小 9．（24-25九年级·浙江绍兴·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 12．（25-26九年级上·海南·期中）在中，，则的值是 ． 13．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    14．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，则的值为 ． 15．（2024九年级上·浙江台州·竞赛）如图所示，可以在等边三角形内部任意位置移动，记，若，则的最小值为 ．    16．（2023·黑龙江鸡西·一模）计算：． 17．（22-23九年级上·广西梧州·期末）计算：． 18．（2024·江西宜春·模拟预测）如图是的正方形网格，点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图（1）中，作出，使得且点C在格点上； (2)在图（2）中，作出，使得且点P在格点上． 19．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 20．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图①，在等腰中，，为边上的中线，，线段交于点． (1)若，，，求的长； (2)如图②，取外一点，连接，，，，其中与交于点，若，，，． ①求证：； ②求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1 锐角的三角函数重难点题型专训 （3个知识点+21大题型+6大拓展训练+自我检测） 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 已知余弦求边长 题型六 余弦的概念辨析 题型七 求角的正切值 题型八 正切的概念辨析 题型九 已知正切值求边长 题型十 特殊三角形的三角函数 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型十三 用计算器求锐角三角函数值 题型十四 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型十五 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 题型十六 已知角度比较三角函数值的大小 题型十七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十八 利用同角三角函数关系求值 题型十九 求证同角三角函数关系式 题型二十 互余两角三角函数的关系 题型二十一 三角函数综合 拓展训练一 正弦的性质、求解及应用 拓展训练二 余弦的性质、求解及应用 拓展训练三 正切的性质、求解及应用 拓展训练四 特殊角、三角函数的相关问题 拓展训练五 角度（锐角）与三角函数值的相互关系 拓展训练六 同角三角函数的综合问题 知识点一：正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【即时训练】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知在中，，，，则等于（   ） A．6 B．16 C．3 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选D． 知识点二：特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值， 根据特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 2．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 知识点三：锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【即时训练】 1．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设，根据正切的定义， 即可得答案． 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等， 再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 【经典例题一 正弦的概念辨析】 【例1】（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 【例2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【经典例题二 求角的正弦值】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．根据直角三角形中正弦等于对边比斜边列式即可得解． 【详解】解：如图， =． 故选：B． 【例2】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正弦的比值关系列式比较即可． 【详解】解：根据勾股定理可得：在中，， 又∵，， ∴， ∴b＝4， ∴，． 1．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，再证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 2．（2025·云南玉溪·二模）如图，在中，若，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数，根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：A． 3．（24-25九年级下·湖南永州·期中）如图，中，，，，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：△中，，，， 则， 故答案为：． 4．（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值． 【答案】AC=4，sinA= 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴． ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键． 【经典例题三 已知正弦值求边长】 【例1】（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的意义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级下·江西新余·阶段练习）在中，，，，则边的长为 ， 【答案】12 【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长．根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ，即， 解得， 故答案为：12． 4．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在中，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握解直角三角形的基本知识是解答本题的关键． 先根据正弦函数的定义求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求出，求出答案． 【详解】解：在中，，，， ，即． ． ． ． 【经典例题四 求角的余弦值】 【例1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】首先利用勾股定理求出的长度，再根据在中各边的长度求出的余弦，根据余弦值求出的度数． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，， ； ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形．解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数，解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值． 1．（2025·云南·模拟预测）在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理求出的长，根据余弦的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 2．（2025·云南楚雄·二模）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得， 由锐角的余弦，得． 故选：C． 3．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图在正方形网格中，求的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，牢记余弦的定义是解题的关键． . 过点C作，垂足为点D，在中，，利用勾股定理可求出的长，结合余弦的定义可求出的值，此题得解． 【详解】解：过点C作，垂足为点D，如图所示． 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 【答案】(1)千米，平方千米 (2) 【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键． （1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积； （2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中． 【详解】（1）解：千米，， ∴， ∴由勾股定理可得 千米． 又∵， ∴（千米） ∴周长为：（千米） 面积为：（平方千米） 故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米． （2）在中，千米，千米， ∴． 故的余弦值为． 【经典例题五 已知余弦求边长】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【例2】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析（作法不唯一） 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，余弦的定义，等腰三角形的性质，根据题意只需作出的垂直平分线，得到为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得，即． 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； 是的垂直平分线， ， ． 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 4．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，已知，分别是的边，上的高． (1)求证：； (2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先证，即可得出； （2）利用（1）中结论可得，结合，可证，根据可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：，分别是的边，上的高， ． 又， ， ； （2）解：与之间的数量关系为； 理由：由（1）得， ． 又， ． ， ， 与之间的数量关系为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，余弦的定义等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【经典例题六 余弦的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，将代入即可求得的长． 【详解】解：如图，在中， ， ， ， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据余弦的定义解答即可求解，掌握余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解； （2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴根据勾股定理可得， （2）解：在中，， ∴． 【经典例题七 求角的正切值】 【例1】（2024·湖北·模拟预测）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数是对边与邻边的比值是解题的关键．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义（对边与邻边的比值）来计算的值． 【详解】解：设小正方形的边长为，在的对边取个单位长度，邻边取个单位长度，根据正切函数定义对边邻边， 故选：D． 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示． (1)试探索随着锐角度数的增大，正切值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较，，，角的正切值的大小． 【答案】(1)锐角的正切值随着角度的增大而增大 (2) 【分析】本题考查比较正切值的大小： （1）根据正切的定义，结合图形，进行探究即可； （2）直接利用（1）中规律进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴． ∴． ∴锐角的正切值随着角度的增大而增大． （2）由（1）可知：． 1．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．根据锐角三角函数求解即可． 【详解】解：在中，， 所以， 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切值是解题的关键. 根据正切的定义解答. 【详解】解：在中， 根据勾股定理得： 则 故选：A ． 3．（22-23九年级上·全国·期中）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了锐角三角函数，根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 在中， 于D， 若 求 【答案】 【分析】证明，得到，结合已知条件和正切的定义，进行求解即可，此题考查了相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义，难度不大． 【详解】解：，于， ，， ． ， 即． ， 设为，则为． ． 在中，， ． 【经典例题八 正切的概念辨析】 【例1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，   ， 在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键． 3．（2023·安徽淮南·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 【答案】30° 【分析】根据坡比=坡角的正切值，进而可求出的值． 【详解】解：因为， 所以∠α＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了坡比、坡角的关系，解题的关键是掌握坡角的正切值等于坡比． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，，，解这个直角三角形. 【答案】见解析 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据a、b的长求出∠A的度数，进而求出∠B的度数． 【详解】在Rt△ABC中,∵,a=,b= ∴c= ∵tanA= == ∴∠A=30∘， ∴∠B=90∘−∠A=90∘−30∘=60∘. 【点睛】本题考查勾股定理,解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质. 【经典例题九 已知正切值求边长】 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接利用正切的定义解答即可，正确理解正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某数学兴趣小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过两栋建筑物的顶部和．示意图中点，，，，，，均在同一平面内，点在上，．测得．．请求出建筑物的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用．由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 1．（2025·云南大理·一模）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据正切求边长，掌握正切的定义是解题的关键．根据正切的定义直接计算即可． 【详解】解：如图，    在中，，，， ∴ 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知在中，，，，则等于（   ） A．6 B．16 C．3 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握“ 在中，，是的对边，是的对边，是的对边，正切函数就是，即”是解题的关键. 【详解】解：在中， ， 故答案为：. 4．（2024·安徽·三模）如图，某人行天桥的高为，斜坡的坡角为，为方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新斜坡的坡角为，且米，请求出人行天桥高值？（结果精确到0.1米）（） 【答案】人行天桥高约为9.6米 【分析】设高的值x米，根据三角形函数得，，即，根据即可得． 【详解】解：设高的值x米， 在中， ∴， ∴ 在中， ∴， ∴ 即 ∵， （若先代入，最后取近似值也可以） 即人行天桥高约为9.6米． 【点睛】本题考查了锐角三角形函数，解题的关键是掌握正切函数． 【经典例题十 特殊三角形的三角函数】 【例1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2)2 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们发现：当为锐角时，．由此可知，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用将原式变形即可得到结果． 【详解】由题意，得． 故选：A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．由角的正弦值直接可得答案． 【详解】解：； 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先利用，得出，再推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴是锐角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示 【分析】此题考查了尺规作角平分线，特殊角的三角函数值， 作出的平分线交于点D即为所求，，即可得到． 【详解】如图所示，点D即为所求． 由作图得， ∴． 【经典例题十一 特殊角三角函数值的混合运算】 【例1】（23-24九年级下·湖北荆门·自主招生）已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，特殊角的三角函数，正确化简各项是解题关键． 先计算每一项的值，再计算即可． 【详解】原式． 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（2025·天津南开·三模）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ，； 故选项B正确，其它选项错误； 故选：B． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为： 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，二次根式的混合计算，熟记、、角的三角函数值是解题关键． （1）将、、角的三角函数值代入计算即可； （2）将、角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【经典例题十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，判断的形状． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 1．（24-25九年级·山东潍坊·阶段练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 3．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期末）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，判断△ABC的形状． 【答案】等边三角形 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 则，， 故，， 则，即的形状是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 【经典例题十三 用计算器求锐角三角函数值】 【例1】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，根据按键顺序写出式子即可显示的结果． 【详解】 解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器计算：（精确到0.01） (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)235.59 (2)36.21 (3)543.35 【分析】本题考查计算器的使用方法以及度、分、秒之间的换算，掌握度、分、秒之间的换算再利用计算器便可解决问题． （1）先将换成度数，再相加进行计算器计算，最后乘以280即可； （2）先将换成度数，再相加进行计算器计算，最后算除法即可； （3）先将换成度数，再相加进行计算器计算，最后算除法即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 再使用计算器求出 ∴； （2）解：∵ ∴， 再使用计算器求出 ∴； （3）解：∵， ∴， 再使用计算器求出 ∴ 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（　　） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键．根据计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：根据计算器的按键顺序可知， 正确的按键顺序为D选项， 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用计算器求三角函数，解题的关键是熟练利用计算器．根据用计算器求锐角的方法和步骤，即可得出结论． 【详解】解：科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”“分”“秒”为单位的结果，按下的键是“”． 故选：C． 3．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算： （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【详解】（1） 解：依次按键， 显示结果为2.144506921，即； （2） 依次按键， 显示结果为0.4101298895，即． 【经典例题十四 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，当正切值为时，对应的角度为，由此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：D． 【例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，见解析 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， 则． 故为直角三角形． 1．（22-23九年级上·全国·期中）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】D 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识．根据利用非负数的性质求得，，再利用特殊角的三角函数值求出，，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是顶角为钝角的等腰三角形． 故选：D． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 利用的三角函数值解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据题意可得，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【答案】为直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由， 得， 则， 度． 为直角三角形． 【经典例题十五 给出三角函数值，用计算器求锐角度数】 【例1】（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦三角函数的定义，及其用计算器求值．根据正弦函数的定义，可得，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 用科学计算器计算，按键顺序是  ． 故选：B． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件用计算器求锐角α的度数（结果精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.893 6”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可； （4）先按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“” 得出答案即可． 不同品牌的计算器，按键顺序不同，以上仅供参考． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由图可知，的正切值是， ∴的度数为． 故选A． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及计算器．先求出，再求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴，故A、B选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 故选：C 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）（1）若sinα=0.5138，则锐角α= （2）若2cosβ=0.7568，则锐角β= （3）若tanA=37.50，则∠A= （结果精确到1〞） 【答案】 30.92° 67.77° 88°28′21″ 【详解】(1)若sinα=0.5138，则锐角 (2)若2cosβ=0.7568，则锐角 (3)若tanA=37.50，则 故答案为 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】利用计算器完成即可． 【详解】（1）由计算器可得：，； （2）由计算器可得：，； （3）由计算器可得：， 【点睛】本题考查了在已知三角函数值的情况下用计算器求锐角，关键是会使用计算器． 【经典例题十六 已知角度比较三角函数值的大小】 【例1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 【例2】（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：如图，，、是上的两点，． （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________． 【答案】（1）证明见解析；（2）增大． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义进行比较即可； （2）由（1）可总结出规律． 【详解】解：（1）∵， ∴ 和均为直角三角形， ∴ ，， ∴ ； （2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性. 【经典例题十七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例1】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 【例2】（2025·江苏泰州·二模）（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 【答案】（1）-1；（2）． 【详解】试题分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 试题解析：（1）原式=-2-2×+1=-1； （2）原式= = = = 当时，原式=． 考点：1．分式的化简求值,2．实数的运算,3．零指数幂,4．特殊角的三角函数值 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）若为锐角，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2023·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【经典例题十八 利用同角三角函数关系求值】 【例1】（23-24九年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 【例2】（2023九年级上·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】首先根据同角的三角函数关系进行变形，得到，然后对原式进行替换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查同角的三角函数关系，锐角三角函数的混合运算，理解基本定义，熟练运用整体代入思想是解题关键． 1．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果． 【详解】解：是锐角，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即． 3．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）求下列各式的值： （1）2sin30°﹣3cos60° （2）16cos245°﹣． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案； （2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】（1）2sin30﹣3cos60 ＝2×﹣3× ＝1﹣ ＝﹣； （2）16cos245﹣tan260 ＝16×（）2﹣×（）2 ＝8﹣ ＝． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【经典例题十九 求证同角三角函数关系式】 【例1】（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 【例2】（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系可得答案． 【详解】∵， ∴的大小与角的大小无关，与P点的位置都无关. 故选D. 【点睛】本题主要了考查同角的三角函数关系：sin2 +cos2 =1. 2．（2023·福建泉州·二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【经典例题二十 互余两角三角函数的关系】 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握三角函数的定义进行解题．由题意，互余的两个角的正弦和余弦值相等，即可得到答案； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 【例2】（2025·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 1．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，熟练掌握是解题关键．根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知，则值为 ． 【答案】/ 【分析】根据公式解答即可． 本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在直角三角形中， 由， 故， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来求已知两角的正弦值，其公式为：sin( +)= sincos + cossin ，请利用这个公式，解决下列问题： (1)计算sin75°的值； (2)利用公式证明：sin2 =2 sin cos；并在已知sin =的条件下，求sin2的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将75°写成30°+45°，运用题中公式计算； （2）通过题中所给公式进行证明，然后根据sin =可得cos =，代入所证公式计算. 【详解】解：(1)sin75°= sin(30°+45°)= sin30°cos45° + cos30°sin45°= (2)sin2 =sin( +)= sincos + cossin =2 sin cos ∵sin = ,∴ cos = ,   ∴sin2 = 2sincos =. 【点睛】本题给出两角和的三角函数公式，进而推导二倍角公式，考查了三角函数的恒等变换等知识以及推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想． 【经典例题二十一 三角函数综合】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 【例2】（2024·福建南平·模拟预测）在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，） 【答案】第二天凌晨时发起攻击 【分析】利用锐角三角函数得出CD和BD的值，即可求出到达点D的时间，即可得． 【详解】解：∵∠ACD=70°，cos∠ACD=， 则CD＝AC ·cos∠ACD=500×0.34=170， ∵∠BCD=37°， ∴， ∵tan∠BCD =， ∴BD=CD tan∠BCD=170×0.75=， ， 即第二天凌晨时发起攻击． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数． 1．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（   ）    A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡 C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意； B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）规定：，，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：依题意，①，故此结论正确； ②，故此结论正确； ③，故此结论正确； ④，故此结论错误． ∴正确的结论有3个， 故选：C． 3．（2024·上海·二模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用，根据题意在，，中，根据得出． 【详解】解：由题意知，赤道式日晷“晷面”和“晷针”互相垂直，则，， 又∵ 在中， 在中， 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度； （2）由，代值计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 【拓展训练一 正弦的性质、求解及应用】 【例1】（2025·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，，，设，则，勾股定理求出，然后得出，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵ ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，求角的正弦值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，过点作，垂足为，由可得，进而由勾股定理可得，，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ． 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 根据正弦的定义可得，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图： ∵， ， 又∵，， ∴， 解得：，（负值已经舍去）． 故选：A． 2．（2024·浙江温州·二模）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正弦函数，掌握正弦的定义成为解题的关键. 先根据正弦的定义表示出，然后根据线段的和差即可解答. 【详解】解：在中，,则，即, 同理：， ∴. 故选A. 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据两角对应相等证明，根据性质得，则 又，根据判定方法即可求证； （）根据相似三角形的性质和正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 余弦的性质、求解及应用】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出的长是解题关键．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点O，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（2025·浙江·三模）如图，在中，是边上的高线，的面积为6，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、求角的余弦值，熟练掌握勾股定理和余弦的定义是关键． （1）证明，根据的面积为6，，得到，则，利用勾股定理即可求出答案； （2）根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ∴ ， 在中，， ∴ （2）在中，， ∴， 1．（2025·贵州遵义·二模）在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据余弦的定义得出与的比值，设未知数后利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，设，则， ∴， 解得：， 则， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证，过点作于点，可证，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 3．（2024·山东聊城·二模）如图，在矩形中、，垂足为，，若，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，根据矩形的性质和，得，继而得到，然后在中，得，在中，得，即可得解．掌握矩形的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 4．（2024·山东青岛·一模）图1为某机械臂3D模型，该机械臂底部AB是固定的，高度为40cm，连杆BC的长度为60cm，手臂CD的长度为50cm，机械手DE的长度为30cm。点B、C、D是转动点，且AB、BC、CD与DE始终在同一平面内。转动连杆BC，手臂CD，机械手DE使∠ABC=150°，CD//AF，∠CDE=120°，如图2所示。求机械手端点E离地面的高度（结果精确到1cm） 【答案】66cm 【分析】由于CD//AF，因此求出点C离地面的高度，减去点D与点E的竖直距离即可得到点E离地面的高度． 【详解】过点B作BGCD，交DC的延长线于点G， 过点E作EHCD，交CD的延长线于点H， 如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E离地面的高度约为66cm． 【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，理清楚各线段之间关系并能正确利用三角函数进行计算是做出本题的关键． 【拓展训练三 正切的性质、求解及应用】 【例1】（23-24九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题先证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由图可得：，，，，为直角三角形，，，，，，，，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）在海龙屯景区，同一平面内五个景点的道路分布如图所示．经测量，景点B、C均在景点A的正东方向，景点E在景点A的正北方向，景点B在景点E的南偏东方向且米，景点D在景点B的北偏西方向，景点D在景点C的西北方向且米． (1)请计算线段______米； (2)求道路的长度（结果保留根号）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，包含解含有的直角三角形，勾股定理解三角形，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． （1）可得，由米，可求解米，再由勾股定理求解即可； （2）添加适当的辅助线，过点D作于点F，先求解的长度，再求解的长度，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米， ∴， 在中，米， 由勾股定理可得，米； 故答案为：； （2）解：过点D作于点F，如图， 解：由题意可得，，米， 在中，， 即，解得米， ∴米， ∵， 在中，， 即，解得米， ∴米． 1．（2025·广西·一模）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．如图1，设等腰直角的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于点H，则，， 由图（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记性质和定义是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据勾股定理求得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，根据题意，利用锐角三角函数可以设，，然后根据勾股定理列方程即可求得的长．解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，， 设，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）综合与实践活动中，某小组要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度，其示意图如下图所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，垂足为C．该小组在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为（结果取整数，参考数据：）． (1)求CD的长． (2)求桥塔AB的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决题的关键熟练掌握锐角三角函数的定义． （1）根据垂直定义可得：，然后设,则分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设． ． ． ， ． ， ， ，解得． 答：的长约为． （2）解：， ， ． 答：桥塔的高度约为． 【拓展训练四 特殊角、三角函数的相关问题】 【例1】（23-24九年级上·山东东营·期中）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 【例2】（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4；（2）； 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算． （1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算． （2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算． 【详解】（1） （2）解： 当时，原式 ∴化简结果为，代入求值结果为． 1．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得，，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东梅州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东临沂·期末）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状． 【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0， 所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0， 即cosA＝，tanB＝1， 所以∠A＝45°，∠B＝45°， 所以 所以△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提． 4．（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 【拓展训练五 角度（锐角）与三角函数值的相互关系】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：   ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（   ）， A．的正切函数值约为 B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为 D．正切函数值为的角约是 【答案】D 【分析】本题主要考查计算器中的三角函数，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．根据计算器的使用方法即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该计算结果为正切函数值为的角约是， 故选D． 【例2】（23-24九年级·上海徐汇·阶段练习）已知：△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为边BC上一动点，△ABD的形状可由BD的长来确定． （1）若△ABD为直角三角形，求BD的长； （2）若△ABD为锐角三角形，求BD的取值范围； （3）若△ABD为钝角三角形，求BD的取值范围． 【答案】（1）△ABD是直角三角形时，BD＝4或,（2）△ABD为锐角三角形时，4＜BD＜,（3）△ABD是钝角三角形时，0＜BD＜4或＜BD≤8． 【分析】（1）对△ABD为直角三角形分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数，即可得出BD的长； （2）由（1）的数据和图形，再根据△ABD为锐角三角形，即可得出BD的取值范围； （3）由（1）的数据和图形，再根据△ABD为钝角三角形，即可得BD的取值范围． 【详解】（1）如图，∵△ABD是直角三角形， ∴①当∠AD'B＝90°时， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BD'＝BC＝4， 当∠BAD＝90°时， 在Rt△ABD'中，cosB＝＝， 在Rt△BAD中，tanB＝＝， ∴BD＝AB＝＜BC， 即：△ABD是直角三角形时，BD＝4或； （2）∵△ABD为锐角三角形， ∴4＜BD＜； （3）∵△ABD为钝角三角形， 当∠ADB＞90°时，0＜BD＜4， 当∠BAD＞90°时，BD＞， ∵D在边BC上， ∴BD≤8， ∴＜BD≤8， 即：△ABD是钝角三角形时，0＜BD＜4或＜BD≤8． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，求出直角三角形ABD时，BD的值是解本题的关键． 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级下·全国·期末）已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【答案】C 【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围. 【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大， 由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°． 故选择C． 【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键. 3．（24-25九年级下·全国·单元测试）请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有 条． B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．） 【答案】 35 83.6° 【分析】A：根据多边形的外角和，可得多边形，根据多边形的对角线，可得答案； B：首先画出图形，再利用sin∠BAD，结合计算器求出答案． 【详解】A：由一个正多边形的一个外角为36°，得： 　360÷36=10，则这个多边形的对角线有35． B：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB=3，BC=4，∴BD=DC=2，∴sin∠BAD，∴∠BAD≈41.8°，∴∠BAC≈83.6°． 故答案为83.6°． 故答案为35，83.6°． 【点睛】本题考查了多边形的对角线和计算器求三角函数值，熟记多边形的对角线是解题的关键． 4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由    【答案】(1) y=x(0＜x＜10 且x≠5);(2) 存在符合条件的P点，且x=2 .5或3.2 【详解】试题分析：（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PH⊥BC于H，易证得△BPH∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式； （2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论； 一、D在BC上， ①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△BCA，同①可求得x的值； 二、D在BC延长线上时； 由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似； 综合两种情况，可得出符合条件的x的值． 试题解析：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；    Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10． ∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10） 但是x不能等于5． ∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤或5＜x≤10， 易知△BPH∽△BAC，得：，PH=x； ∴y=×4×x=x（0≤x≤或5＜x≤10）； （2）当D在BC上时， ①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2； PB=x，AB=10，MH=2，BC=8， 此时△PBH∽△BCA， ∴，得：，解得x＝； ②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：，即DP•BA=DM•BC； ∴10x=4×8，解得x=； 当D在BC延长线上时， 由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况； 当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM， ∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB， ∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B； 由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM； 所以△PDM和△ACB不可能相似；    综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2． 【方法点睛】主要考查了相似三角形的判定和性质，需注意的是（2）题中，虽然当D在BC延长线上的情况不成立，但是一定要将这种情况考虑到，以免漏解． 【拓展训练六 同角三角函数的综合问题】 【例1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 1．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 1．（广东省深圳市23校2018-2019学年九年级下学期第一次联考数学试卷）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，向量可以用点P的坐标表示为：，已知如果，那么互相垂直，下列四组向量，不互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是理解题意． 根据新定义下的运算，列出算式求解进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴该选项两个向量互相垂直； B. ， ∴该选项两个向量互相垂直； C. ， ∴该选项两个向量互相垂直； D. ∵， ∴该选项两个向量不是互相垂直； 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值，度数之和为90度的两个角互余，据此可得的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 5．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 6．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．首先明确，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析． 【详解】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 8．（2025·湖南长沙·三模）锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（   ） A．的值等于边和的比值 B．当时， C．的值与的形状无关 D．当越大，越小 【答案】C 【分析】本题考查了正弦三角函数，特殊三角函数值，解题关键是熟悉正弦三角函数，特殊三角函数值． 根据正弦三角函数的定义式，可判断A；根据的正弦值可判断B；根据的意义可判断C；根据正弦三角函数的定义式，可判断D． 【详解】解：是的一个锐角，并没有告诉哪一个角是直角，所以不能说的值等于边和的比值，故A错误； 当时，，故B错误； 的值与的形状无关，故C正确； 当越大，越大，故D错误， 故选：C． 9．（24-25九年级·浙江绍兴·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数和勾股定理，熟练掌握勾股定理、三角函数等知识是解题的关键. 根据已知画出图形，然后根据勾股定理求出的长，最后由进行解答即可. 【详解】解：由条件可得： 故选：B ． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义． 直接根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·海南·期中）在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 13．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 14．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分两种情况讨论：当点为直角顶点时，，代入计算即可；当点为直角顶点时，先根据勾股定理求出的长，则，代入计算即可求解． 【详解】解：当点为直角顶点时，如图， ； 当点为直角顶点时，如图， 在中，， ． 综上，的值为或． 15．（2024九年级上·浙江台州·竞赛）如图所示，可以在等边三角形内部任意位置移动，记，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正切的应用，等边三角形性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于根据圆的运动情况找出最大最小的临界状态． 连接并延长交于点，连接，，过点分别作．设等边三角形边长为，的半径为，根据等边三角形性质可知，，，结合等边三角形性质，直角三角形性质，推出，，结合，推出，再结合勾股定理得到，进而得到，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，，过点分别作． 可以在等边三角形内部任意位置移动， 圆心的运动范围为以为顶点的等边三角形内部及边上． 设等边三角形边长为，的半径为， 则， 根据等边三角形性质可知，，， ， ，， 同理可得， ， 记，若， ， 即， 整理得， ， ， 的最小值为； 故答案为：． 16．（2023·黑龙江鸡西·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解：原式， ． 17．（22-23九年级上·广西梧州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟练掌握各特殊角的锐角三角函数值． 先求出特殊角的锐角三角函数值，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解： ． 18．（2024·江西宜春·模拟预测）如图是的正方形网格，点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图（1）中，作出，使得且点C在格点上； (2)在图（2）中，作出，使得且点P在格点上． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题主要运用等腰直角三角形的性质以及构造直角三角形的方法，利用网格的特殊性来作出特定角度和正切值的角． （1）利用等腰直角三角形的性质，借助网格构造等腰直角三角形来确定点C的位置，从而作出； （2）以为斜边，根据正切函数的定义，构造直角边长之比为1：3的直角三角形，从而确定点P的位置，作出． 【详解】（1）无刻度的直尺以A为顶点，从A出发，向右数4个格，再向下数2个格，确定一个格点C，连接，设网格中每个小正方形的边长为1，与所在直角三角形的直角边长度均为，，根据勾股定理可得，，即，所以是等腰直角三角形，所以，如图，即为所求： （2）以A为顶点，通过观察网格，找到合适的格点，从A出发，向右数1个格，再向下数1个格，确定一个格点P，连接，，，，即，因此是直角三角形，满足，如图，即为所求： 19．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查应用解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识以及逻辑推理能力和运用能力． （1）利用已知条件可以证明，再利用其对应边成比例即可求出的长． （2）作边上的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ∵， ， ∴，即， ∴， ， （舍去）， ； （2）解：过点B作，交于点E， ， ，， ， ， ， ． 20．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图①，在等腰中，，为边上的中线，，线段交于点． (1)若，，，求的长； (2)如图②，取外一点，连接，，，，其中与交于点，若，，，． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（）由得，又由等腰三角形的性质可得，，即可得，得到，最后利用勾股定理即可求解； （）①由垂直可得，，即得，，进而得，又根据等腰直角三角形得，据此即可求证；②由等腰直角三角形的性质可得，进而可得，即可得，得到，即得到，又由得，，可得，得到，由此可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，       ∴，      ∴， ∵在等腰三角形中，，为边上的中线，， ∴，，        ∴，      ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得； （2）①证明：∵，， ∴， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵是等腰直角三角形，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由①得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $