1.3 反比例函数的应用&专题二 反比例函数中常见的易错问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

的表达式为y=-兰把A(-1,4)代入y=-2x十m,得4=-2×(-1)十 m,解得m=2.∴.一次函数的表达式为y=一2x+2.(2).BC⊥y轴于点 D,BC∥x轴.OD=1,∴点B,C的纵坐标为1.把y=1代入y=-4, x 得x=-4,.B(-4,1).把y=1代入y=-2x十2，得1=-2x十2，解得x =7c(分，1BC=3-(-4)=42 6.号 7.解：(1)把A(1,3)代入为=，得3=，解得m=3.·反比例函数的表 达式为为=兰把B(,-1)代入，得m=号=-3B(-3,-1.把 A(1,3),B(-3,一1)代人y1=x+b,得 (k十b=3, -36+6=-1,解得 (k=1,. 1b=2. 次函数的表达式为y1=x十2.(2)一3<x<0或x>1.(3)连接OA,设直线 AB与x轴的交点为M.在y=x十2中，当y=0时，x=一2，∴.M(一2,0). Sam=5aam十Sa=号×2X3十号X2X1=4.易得点B和点C关 于点O成中心对称，∴.OB=OC..SAABC=2S△0B=8. 1.3反比例函数的应用 名师导学 (1)时间(2)宽(3)面积(4)电阻 【例1】解：1)y-128(2)80(3)当y=50时，128-50，解得=2.56.由 图象可得，当y≤50时，x≥2.56..若要使面条的总长度不大于50m,则 面条最细应为2.56mm. 【例2】D 1.B2.43.F=800 4.4 5.解：1)设这个反比例函数的表达式为1=是把(9,4)代人，得U=9X4 =36,这个反比例函数的表达式为1=治(2)当R=3时，1=9=12(4. 6.C7.2:3:6 8.解：1)设p关于V的函数关系式为p=合.把(0.04,120)代人，得120= 0.4解得=4.8p=当b=150时，48-150，解得V=0.032. k 号X3=0.032,解得=02.：=4.8>0在第一象限内，p随V的 增大而减小..要使气球不会爆炸，则V≥0032，此时r≥0.2..气球的半 径至少为0.2m时气球不会爆炸.(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内 气压增大导致爆胎， ,.解：1)设反比例函数的表达式为y=冬把C(20,45)代入，得45=易 解得k=900.反比例函数的表达式为y=900(20≤x≤45).当x=45时， y=900=20,D(45,20).A(0,20),即点A对应的指标值为20.(2)能. 45 一4 理由如下：由A(0,20),B(10,45),易得线段AB的函数表达式为)=号： 十20(0≤x<10).把y=36代入y=号x+20,得号x+20=36,解得x= 是把y=36代入y-92,得90-36，解得x=25.·当号≤≤25时，注 意力指标都不低于36.：25号=>16，王老师能经过适当的安排 使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 专题二反比例函数中常见的易错问题 1.A【变式题】-22.-13.D4.-1≤x<0或x≥2 5.(1)-4≤y<0(2)y<-1或y>06.m>0或m<-37.C8.D 9.解：1)一2<<0(2)当x=1时，y=;当x=2时，=多分两种情况 讨论：①当一2<k<0时，在1≤<2范围内，y随x的增大面增大，冬 k=1,解得=一2（舍去）；②当k>0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大 而减小长一合-1，解得及=2.综上所述，k的值是2. 第1章章末复习 思维导图 一、三二、四减小增大 考点整合 1 1.D2.D3.B4.D5.26.157.D8.B ,.解：1)把B(1,3)代入y一会，得3=奈，解得=3.反比例函数的表达 式为)=兰把A(-3@)代人，得a=写=-1.A(-3,-10.把A(-3, -1),B1,3)代入y=mx+,得厂3m+n=-1,象 解得m一次函数 m+n=3, n=2. 的表达式为y=x十2.(2)在y=x十2中，当x=0时，y=2;当y=0时，x= -2,C(-2,0),D0,2.5m=号×2X1=1.S6m=45w=4. ÷2X2·m=∴p=士4.：点P在第三象限。=一4.把y=一4 代入y=是得一4=是解得x=是P(一景，一4)， 10.D11.20 12.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=.把(24,50)代入，得50= 会解得=120.y与x之间的函数关系式为y=120(x>0.(2)当 =20时，20=120，解得x=60,60÷15=4(台.答：需要4台这样的挖 掘机. 13.解：(1)函数图象如图所示.(2)①观察图象可知，y1与x成反比例.设 y=(k≠0).把(30,10)代入，得k=30X10=300.y关于x的函数表 达式为=30.②观察图象可知，十5与工成反比例：设为十5=(m 5 ≠0).把(30,5)代人，得0-5+5，解得m=30.·%关于x的函数表达 式为y,=300-5.③减小减小下(3)当=19时，19=300-5，解得 2=25,当2=45时，45=300一5，解得x=6.托盘B与点C的距离 x x(cm)的取值范围是6≤x≤ +y/g 30 25升 20H 15升 10 y y 051015202530x/cm 第2章一元二次方程 2.1一元二次方程 名师导学 二a.x2十bx十c=0常数项 【例1】解：去括号，得2x2十6x-4x-12十3x=7.移项，合并同类项，得2x2 十5x一19=0.其中二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为一19. 【例2】B 【例3】-2 1.A2.B【变式题】-13.D 4.解：(1)2x2=1一3x化为一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为 2,一次项系数为3，常数项为一1.(2)5x(x一2)=4x2一3x化为一般形式为 x2一7x=0.它的二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为0. 5.B 6.解：1)根据题意，得2x(14-x)=24.整理，得x-14x十48=0.(2)根 据题意，得x2+(x十7)2=65.整理，得2x2十14x-16=0. 7.A8.D9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)根据题意，得2一4=0且k一2≠0，解得=-2.∴.当=一2 时，此方程是一元一次方程.(2)根据题意，得2一4≠0，解得k≠士2..当 k≠士2时，此方程是一元二次方程.此时一元二次方程的二次项系数是 一4，一次项系数是一2，常数项是0. 11.解：由题意，得AB=17m,AC=5m,BE=DM=2m,AD=CD'= 25 m,DD'=x m..'AE=AB-BE=15 m,CE=AC+AE=20 m. Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=20m,∴.D'E=DE一 DD=(20-x)m.在Rt△CED'中，由勾股定理，得D'E2十CE2=CD'2, .(20-x)2+202=252.化为一般形式为x2-40x+175=0. 2.2一元二次方程的解法 2.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 名师导学 ①相等 【例1】B 【例2】-2 —61.3 【名师导学 预习先知 同新知梳理 现实生活中的许多问题，可以通过 建立反比例函数模型来解决，常见的反 比例函数模型如下： （1)路程一定，速度与 成反比例； (2)矩形面积一定，矩形的长与 成反比例； (3)压力一定，压强与 成反比例； (4)电压一定，电流与 成反比例 ☑例题引路 【例1】一定体积的面团做成拉面，面条 的总长度y(m)是面条的粗细（横截面 积)x(mm)的反比例函数，其图象如图 所示. (1)y与x之间的函数表达式为 (2)当面条粗1.6mm时，面条的总长 度是 m; (3)若要使面条的总长度不大于50m, 则面条的粗细应有什么限制？ 【学生解答】 ↑y/m 100 80 P(4,32) 20 o123456x/mm 到易错典例 【例2】已知矩形的面积为6，则它的长y 与宽x之间的函数关系的大致图象为 卡长 【易错剖析】在实际问题中，忽略了自变 量的取值范围， 【学生解答】 13数学九年级上册(X) 反比例函数的应用 基础过关 》◆逐点击破 知识点1反比例函数在实际生活中的应用 1.某工厂现有原材料100t,平均每天用去xt,这批原材 料能用y天，则y与x之间的函数表达式为 ( A.y=100xB.y=100 C.y=100 D.y=100-x 2.科技创新情境化(2024·山西中考)机器 狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为 的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是 载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载 重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v= 6m/s,则当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移 动速度v=m/s. 知识点2反比例函数在物理学科中的应用 3.(2024·连云港中考)杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力× 动力臂.已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m,动 力为F(N),动力臂为l(m),则动力F关于动力臂l的 函数表达式为 4.已知波长λ(m)与频率f(MHz)是反比例函数关系，它们 的部分对应值如下表.若f=75MHz,则波长λ=m. 频率f/MHz o 6 50 波长/m 30 20 6 5.(2024·吉林中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电 池时，电流I(A)与电阻R()是反比例函数关系，它的 图象如图所示 (1)求这个反比例函数的表达式；（不要求写出自变量R 的取值范围) (2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I. I/A (9.4) 9 R/2 口能力提升 >整合运用 6.(2024·河北中考)节能环保已成为人们的 共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每 天用电x度，则能使用y天.下列说法错误 的是 A.若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 7.(教材P23复习题T13变式)一个长方体物 体的一顶点所在A,B,C三个面的面积比是 3：2:1.若分别按A,B,C面朝上将此物体 放在水平地面上，地面所受的压力产生的压 强分别为pA,B,c,则pA：B:c= 8.给某气球充满一定质量的气体，在温度不变 时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积 V(m3)的反比例函数，其图象如图所示， (1)当气球内的气压超过150kPa时，气球会 爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估 计气球的半径至少为多少时气球不会爆 炸.（球体的依积公式：V=号r,元取3） (2)请你利用p与V的关系解释为什么超载 的车辆容易爆胎 p/kPa 120 06.04 V/m' 口思维拓展 ,强化素养 9.(2024一2025·张家界永定区期中)通过实 验研究发现，初中生在数学课上听课注意力 指标随上课时间的变化而变化，上课开始 时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴 趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意 力指标y随时间x(min)变化的函数图象如 图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象 是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函 数图象的一部分。 (1)求点A对应的指标值. (2)王老师在一节课上讲解一道数学综合题 需要16min,他能否经过适当的安排，使 学生在听这道综合题的讲解时，注意力 指标都不低于36？请说明理由， 45 01020 45 x/min 第1章反比例函数14 专题二反比例函娄 易错点1忽略反比例函数的系数不为0或系 数与图象的关系致错 易错点拨：反比例函数常见的三种形式为：①y= x ②y=kx;③xy=k,其中飞为常数，且≠0. 1.已知y=(m+2)xm-5是反比例函数，则m 的值是 ( ) A.2 B.士2 C.±4 D.士6 【变式题】若y=一2+（®一4少是反比例函 数，则的值是 2.若反比例函数y=(2m一1)xm-2的图象在第 二、四象限，则m的值是 易错点2忽略反比例函数增减性的前提条件 是单支致错 3.已知反比例函数y=4的图象如图所示，当 y<4时，x的取值范围是 ( A.x>1 B.0<x<1 C.x<1 D.x<0或x>1 B (第3题图) (第4题图) 4.(2024·威海中考)如图，在平面直角坐标系 中，直线y=ax十b(a≠0)与双曲线边=飞 (k≠0)交于点A(-1,m),B(2,一1)，则满足 y≤2的x的取值范围是 5(D已知反比例函数y=一，当≥2时，心 的取值范围是 (2)已知反比例函数y=是，当>-2时y 的取值范围是 15数学九年级上册(X) 敌中常见的易错问题 6.若点P(m,yh),Q(一3，y2)在反比例函数y= 飞(k>0)的图象上，且>2，则m的取值 范围是 易错点3实际问题中忽略自变量的取值范围 致错 7.某校要种植一块面积为200m2的矩形草坪， 要求相邻两边长均不小于10m,则草坪的一 边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的 变化而变化的大致图象是 () 10200o100 A B O 易错点4条件指向不明时考虑不全面致错 8.反比例函数y=一2的图象上到y轴的距离 为2个单位长度的点的坐标为 () A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-2,1)或(2，-1) 9已知反比例函数y一名其中公一2且子0， 1≤x≤2. (1)若y随x的增大而增大，则k的取值范 围是 (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，求 k的值