1.2 反比例函数的图象与性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

参考答案 第1章反比例函数 1.1反比例函数 名师导学 ①y-乡 比例系数②所有非零实数 【例1】解：1)(2)(4(5)是反比例函数，比例系数分别是3，，5,10. 【例21y=12(x>0) 【例3】①②④ 1.C2.-23.a≠-1【变式题】a≠-3 4解：(1比例系数是一号，自变量的取值范围是x≠0.(2)当x=一10时， y=2X210子(3)当y=6时，--6，解得x=一是 5 5.B6.C 7解：由题意，得y=200×20=4000 8.B9.C10.180 1.解：1)当x=5时，下底长为5÷号-15.Seg=号×(6+15)×6 60.当上底长为，易得下底长为3x:梯形的面积为定值，“60=7(x+ 3x)×y,即y=30.(2)把y=4代入y=30,得4=30，解得c=7.5.3x= 22.5..当y=4时，下底长为22.5. 12.解：，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，∴.设y1=ax(a≠0)，y2= （≠0.y=n十%=ax+是.把x=2y=19和x=3,y=19代人，得 19=2a+ 4 19=3a+ 解得 a5:y与工之间的函数关系式为y=5x+36. k=36. 9 1.2反比例函数的图象与性质 第1课时反比例函数y=(>0)的图象与性质 名师导学 一、三曲线不相交减小 【例1】解：(1)-3一4-6643(2)如图所示.(3)一、三(4)减小 6-54-3-2-1O123456x 【例2】D 1.A2.D3.B4.C5.D6.A【变式题】A 7.解：(1)由题意，得m十2>0，解得m>一2.(2)当x>1时，函数值y随x 的增大而减小.当x<一1时，函数值y随x的增大而减小. 8.C9.D10.-1<a<0 11.解：(1)由题意，得|-2=0，且2-k≠0，解得=-2.(2)一、三减 小(3)由(1)，得反比例函数的表达式为y=兰当-3≤≤-时y 随x的增大而诚小当x=一3时，y=一专当x=-2时，y=一8.小当 -3≤≤一合时，函数的最大值为一号，最小值为一8. 12.解：1)把C2,2)代人y=冬得2=会解得=4=：BD=1, “点D的纵坐标为1.令y=1,得1=兰，解得x=4.“点D的坐标为(4， 1).(2)点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4. 第2采时反比例函教y-(质<0)的困象与性质 名师导学 ①二、四增大②x 【例】解：1)把5，-1D代入y-会，得-1=号，解得=-5.y关于x的 函数表达式为)=一是(2)当y=一4时，一4=一解得x=景.(3)： =一5<0，∴.这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增 大面增大.(4④：-号×10=-5，÷点A在该反比例函数的图象上.”一号× 1=吉≠一5，“点B不在该反比例函数的图象上. 1.B2.B3.A4.C5.-1(答案不唯一) 6,解：1)y=-(2)n<,理由如下：k=-16<0,在每个象限 内，y随x的增大而增大.2<4，y<y2 7.D8.C9.1>k3>k2 10,解：1)把(3，一2)代入y=是（≠0），得A=3×(-2)=-6.4这个反 比例函数的表达式为y=一如图所示.(2)当y=5时，5=一，解得x 号由图象，得当5，且y≠0时<一号或>0， 5 y 16 5 4 65-4-3-2+1O12B456x 2 (3.-2) -6-5-4-3-2-10123456x -5 -6 -21 (第10题图) (第11题图) —2 11.解：(1)x≠043(2)如图所示.(3)①士3②图象关于y轴对称 (答案不唯一，合理即可) 第3课时反比例函数图象与性质的综合运用 名师导学 I1受个 【例1】解：(1)把A(a,4)代入y=2x-2,得2a-2=4,解得a=3.∴.点A的 坐标为3,4.(2)把A3,4)代入y-冬得4=夸，解得及=12.反比例函 数的表达式为y一号把B(一3，m)代人，得m=号=一4 【例2】-6 1.C2.(1)y=4(21,223.B4.y=-45.C x 6.解：(1)把A(-2,1)代入y-,得1=”2，解得m=一2.反比例函数 的表达式为)y=一是把B1,m)代人，得a=-是--2.(2)-2<<0或 x>1 7.A8.D9.10 10.解：1)把B(-1,4)代入y=,得4=，解得m=-4.∴反比例函 数的表达式为y=一兰把A(0,一2)代入，得一2=一音解得n=2A(2。 -2).把A(2,-2),B(-1,4)代入y=kx+b,得 2k十b=一2·解得 -+b=4, 函数的表达式为y=一2x+2.(2)设直线 b=2. 点为C.在y=一2x十2中，当x=0时，y=2..C(0,2)..S△Aos=S△A0c十 Sax=号×2X2+号×2X1=3. 11.解：(1).四边形OABC是矩形，D(4,1),且D为AB的中点，∴.B(4, 2》.点E的纵坐标为2.把D(4,1)代入)=是，得1=冬，解得是=4.反 比例函数的表达式为y=是把y=2代人，得2=1，解得x=2.∴点E的 坐标为(2,2).(2)-3≤m≤0.【解析】把D(4,1)代人y=x十m,得1=4十 m,解得m=-3.把E(2,2)代入y=x十m,得2=2+m,解得m=0.∴.m的 取值范围是3≤m≤0. 专题一反比例函数中k的几何意义【湖南热点】 1.6【变式题(1)-10(2)12.43.3【变式题】-64.D5.2 6.-67.38.B9.C10.A11.B12.813.-8 大单元整合练反比例函数与一次函数的图象共存及 交点问题【湖南热点】 知识回顾 增大减小减小增大 1.B2.C3.A4.C【变式题1】A【变式题2】10 5.解：1)把A(一1,4)代人y=冬，得4=年，解得=-4.反比例函数 一31.2 第1课时 反比 【名师导学 ◆◆预习先知 司新知梳理 一般地，当>0时，反比例函数y= 的图象由分别在第 象限内的 两支 组成，它们与x轴、y轴都 ,在每个象限内，函数值y随 自变量x的增大而 ☑例题引路 【例1)画出函数y=12的图象，并根据 图象解答问题 (1)列表： x… -3-2234 y… (2)描点、连线（在所给平面直角坐标系 中画图)； (3)图象经过第 象限； (4)当x<0时，y随x的增大而 y↑ 54 32 6-5-43-2+1O123456x 【学生解答】 刻易错典例 【例2】已知点A(x1,y),B(x2,y2)在反 比例函数y=兰的图象上，且>， 则y,y2的大小关系为 ) A.y>y2 B.y<y2 C.y1=yz D.无法确定 【易错剖析】判断y1,y2的大小时，若根 据条件无法确定两点所在的象限，需分 情况进行讨论，不能直接认为是在同一 象限内 【学生解答】 3数学九年级上册(X) 反比例函数的图象与性质 例函教y飞(>0)的图象与性质 基础过关 ●◆●逐点击破 知识点1 反比例函数y=(k>0)的图象 1.函数y=二的大致图象是 小子小 2.若反比例函数y=8的图象经过点(a,2),则a的值为 ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024-2025·岳阳期中)已知反比例函数y=的图象 经过点P(一1，一3)，则这个函数的图象位于() A第二、三象限 B.第一、三象限 C.第三、四象限 D.第二、四象限 知识点2反比例函数y=飞(k>0)的性质 4(2025·长沙模拟)在双曲线y=的任意一支上，y都 随x的增大而减小，则k的值可以是 () A.-2 B.0 C.2 D.-1 5.已知反比例函数)一三，则下列描述不正确的是( ) A.图象位于第一、三象限B.图象关于原点中心对称 C.图象不可能与坐标轴相交D.y随x的增大而减小 6.已知点(2，)，(3，)在反比例函数y=6的图象上，则 y1与y2的大小关系是 ( ) A.y1>y2 B.y<y2 C.y1=y2 D.无法确定 【变式题】点在双曲线的一支上→点在双曲线的两支上 (2024·广西中考)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比 例函数y=2的图象上.若<0<，则下列说法正确 的是 ( A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.0<y1<y2 7.已知反比例函数y=m十2的图象位于第一、 x 三象限！ (1)求m的取值范围. (2)当x>1时，函数值y随x的增大如何变 化？当x<-1时，函数值y随x的增大 又如何变化？ 口能力提升 ●》》整合运用 8.如图，在平面直角坐标系中，有P,Q,M,N 四个点，其中恰有三点在反比例函数y= (k>0)的图象上.这四个点中不在函数y= 的图象上的是 A.点P B.点Q C.点M D.点N 9.(2024-2025·郴州期末)若点(-6，a),(2, b),(3,c)在反比例函数y=的图象上，则 a,b,c的大小关系是 ( A.a>b>c B.a>c>b C.ba>c D.b>c>a 10.(易错题)已知点A(a,y1),B(a+1,y2)在 反比例函数y=m中史的图象上，且1< y2,则a的取值范围是 11.已知反比例函数y=2二+1一2. (1)求的值； (2)它的图象位于第 象限，在各象 限内，y随x的增大而 (填“增 大”或“减小”)； (3)当-3<x≤-时，求函数的最大值和 最小值. 口思维拓展 ，》◆强化素养 12.数形结合新理念如图，点A在第一象限内， ABLx轴于点B,反比例函数)一冬(k≠0， x>0)的图象分别交AO,AB于点C,D.已 知点C的坐标为(2,2)，BD=1. (1)求k的值及点D的坐标； (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在 △ABO的内部（包括边界），直接写出点 P的横坐标x的取值范围. 第1章反比例函数4 第2课时 反比 【名师导学 P●》预习先知 同新知梳理 ①一般地，当k<0时，反比例函数y= 的图象由分别在第 象限 x 内的两支曲线组成，它们与x轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x的增大而 ②当<0时，反比例函数y=的图象 x 与y=一的图象关于 x 轴对称。 ☑例题引路 【例)已知反比例函数y=的图象经过 点(5，-1). (1)求y关于x的函数表达式. (2)当y=一4时，求x的值. (3)这个函数的图象在哪几个象限？y 随x的增大怎样变化？ (④点A(-,10,B(-日，1)在该函 数的图象上吗？ 【名师点拨】(4)中根据反比例函数图象 上的点(x,y)的横、纵坐标的积是定值 k,即xy=k进行计算即可. 【学生解答】 5数学九年级上册(X) 例函数y=(k<0)的图象与性质 2 基础过关 ◆》逐点击破 知识点1反比例函数y= (<0)的图象 1.反比例函数y一一是的大致图象是 手冬水小 2.(2024·重庆中考)反比例函数y=-10 的图象一定经 过的点是 A.(1,10) B.(-2,5)C.(2,5) D.(2,8) 3.已知反比例函数y=m二5的图象经过第二象限，则m 的值可能为 () A.4 B.5 C.6 D.7 知识点2反比例西数y一(k<0>的性质 4.(2024-2025·泪罗月考)关于反比例函数y=-2,下 列说法正确的是 () A.它的图象分布在第一、四象限 B.它的图象过点(3，一2) C.当x<0时，y的值随x的增大而增大 D.当x<0时，y的值随x的增大而减小 5.半开放性试题新趋势已知反比例函数y=k,1,当x<0 时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的飞的整 数值： 6.（教材P12练习T2变式)如图，已知反比例函数y=飞 (k≠0)的图象经过点A(一2,8) (1)这个反比例函数的表达式为 (2)若(2，y),(4,y2)是这个反比例函数图象上的两个 点，比较y1,y2的大小，并说明理由. 能力提升 ◆整合运用 7.(2024-2025·怀化期未)若(2，-号)是反 比例函数y=图象上一点，则下列各点不 在其图象上的是 ( A.(-1,1) R(竖v C.(1,-1) D(3 8.(2024·济宁中考)已知点A(-2,M),B(-1, ),C(3,)在反比例函数y-色(k<0)的 图象上，则y1,y2y的大小关系是( A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 9.反比例函数y=， 为=在x轴上方的图象如 图所示，则1，k2,k3的大小关系为 (用“>”连接) 10.已知反比例函数y一冬(k≠0)的图象的一 支如图所示，且经过点(3，一2). (1)求这个反比例函数的表达式，并画出该 函数图象的另一支； (2)求当y<5,且y≠0时自变量x的取值 范围. O12B456x 思维拓展 >◆强化素养 11.实践探究新趋势用描点法探究函数y= 品的图象与性质的过程如下，请将其补充 完整. ①)函数y=的自变量x的取值范围是 ,根据取值范围写出y与x的 几组对应值，补全下表， x -6 -4 -2 -1.5 -1 y 1.5 x 1.5 2 y 6 1.5 1 (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以 上表中各组对应值为坐标的点.请你根 据描出的点，画出该函数的图象 (3)观察画出的函数图象，解答下列问题： ①当y=2时，对应的自变量x的值为 6 ②写出函数)y一的图象的一条性质： 4 3 2 1 -6-5-4-3-2-10 123456x 第1章反比例函数6 第3课时 反 【名师导学 ◆◆预习先知 同新知梳理 如图，已知P(x,y)是反比例函数 y一名(k≠0)上的任意一点，过点P作 PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,则 S矩形PBOC= SAOPC= ☑例题引路 【例1】已知反比例函数y= 与一次函 2 数y=2x-2的图象都经过点A(a,4). (1)求点A的坐标； (2)若点B(一3，m)在反比例函数的图 象上，求m的值. 【名师点拨】(1)把A(a,4)代入y=2x 2,可得a的值，即可得到点A的坐标； (2)由点A的坐标可得k的值，得到反 比例函数的表达式，再把B(一3，m)代 入即可求出m的值. 【学生解答】 易错典例 【例2】如图，在平面直角 坐标系中，点A在反比 例函数y=的图象上， AB⊥y轴于点B,点P 在x轴上.若△ABP的面积为3，则k的 值为 【易错剖析】未注意反比例函数图象所 在的象限，忽略值的符号而出错 【学生解答】 7数学九年级上册(X) 比例函数图象与性质的综合运用 基础过关 ◆·◆逐点击破 知识点1用待定系数法求反比例函数的表达式 1.如果反比例函数的图象经过点(4，一2)，那么这个反比 例函数的表达式为 () Ay=-是 B.y=2 C.y=-8D.y=8 x 2.已知y是x的反比例函数，y与x的部分对应值如下表， (1)y关于x的函数表达式为 m 2√2 (2)m,n的值分别为 4 知识点2反比例函数中k的几何意义 3.如图，B是反比例函数y=6在第一象限内图象上的一 点，过点B作BA⊥x轴于点A,BC⊥y轴于点C,则矩 形ABCO的面积为 () A.3 B.6 C.-3 D.-6 B O (第3题图) (第4题图) 4.(2024一2025·岳阳期中)如图，点A在反比例函数y= 上ABL2轴于点B.若SA082, 例函数的表达式为 知识点3反比例函数与一次函数的综合 5已知反比例函数y-冬，3(k为常敢)的图象与正比例函 数y=x的图象有交点，则k的取值范围是() A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 6.如图，一次函数y=k虹十b的图象与反比例函数y=的 图象交于A(-2,1),B(1,n)两点. (1)求m,n的值； (2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量x 的取值范围为 能力提升 >>整合运用 7.(2024·安徽中考)已知反比例函数y= (k≠0)的图象与一次函数y=2一x的图象的 一个交点的横坐标为3，则k的值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 8.(2024·元江一模)如图，反比例函数y=飞 x 的图象经过点A(一1，一2).当x>1时，函 数值y的取值范围是 A.y>1 B.0<y<1 C.y>2 D.0<y<2 (第8题图) (第9题图) 9.(2024一2025·邵东月考)如图，在平面直角 坐标系中，过点M(一3,2)分别作x轴、y轴 的垂线，与反比例函数y=4的图象交于A, B两点，连接OA,OB,则四边形MAOB的面 积为 10.(2024一2025·怀化期末)如图，已知A(n, 一2)，B(一1,4)是一次函数y=x十b的图 象和反比例函数y=的图象的两个交点. (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积. 【思维拓展 >强化素养 11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数y=是(x>0)的图象分 别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且D 为AB的中点. (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标； (2)若一次函数y=x十m的图象与反比例 函数y=(x>O)的图象相交于点M, 当点M位于反比例函数图象上D,E之 间的部分时（点M可与，点D,E重合）， 直接写出m的取值范围. y 第1章反比例函数8