3.2 勾股定理的逆定理（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的逆定理，核心内容为利用逆定理判定直角三角形及勾股数应用。通过古埃及金字塔绳结法情境导入，关联已学勾股定理，搭建从性质到判定的知识支架。 此资料亮点在于通过构造全等三角形证明逆定理，培养推理能力，结合古埃及情境和中线问题提升应用意识，勾股数倍数特征探究发展抽象能力。助力学生深化逻辑推理，教师可直接用于情境教学与分层训练。

3.2勾股定理的逆定理 教学设计 1.教学内容 本节为新教材苏科版八年级数学第三章第2节“勾股定理的逆定理”，核心内容是使用勾股定理的逆定理判定直角三角形，并进一步了解勾股数的概念与应用。 2.内容解析 本节通过古埃及人用“3、4、5”分段绳子构造直角三角形的实例，引入勾股定理逆命题“若一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形”。重点在于将“直角三角形”的性质与“判定”区分开，同时引出勾股数的概念及常用性质，强化学生对数形结合的理解与推理。学生需掌握利用逆定理判定直角三角形的方法，理解勾股数的产生与倍数特征。 1.教学目标 •经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力。 •能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识。 •了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数。 2.目标解析 • 通过构造辅助三角形并运用边边边全等等方法，引导学生理解“若 则为直角三角形”的推理思路。 • 通过典型例题与生活情境（如古埃及金字塔构造），提升学生对勾股定理逆定理的应用意识。 • 结合数形结合与运算技巧，培养学生识别和运用常见勾股数的能力。 3.重点难点 • 教学重点：勾股定理的逆定理判定直角三角形的过程及勾股数应用。 • 教学难点：充分理解“直角三角形”的判定思路，以及正确区分勾股定理和其逆定理的条件与结论。 学生对勾股定理已有初步认知，但对逆定理的逻辑推理仍需深化。能熟练计算平方和并进行比较，但在灵活应用勾股数及建模推理方面较欠缺。需通过多样化情境和例题，帮助学生体会代数与几何结合在判定与计算中的重要作用。 创设情境，引入新课 1. 教师展示“古埃及建造金字塔”的故事情境： “四千多年前，古埃及人在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份组成三角形，据说其中一个角就是直角。你能想一想，这个结论是如何得到的吗？” 2. 组织学生结合已有对勾股定理的认识，思考下述问题： o 他们为何认定此三角形有一个角为直角？ o 这与我们之前学习的勾股定理有什么关联？ 【设计意图】通过生活化的“古埃及绳结法”情境，引出“三边长组成3,4,5的三角形是直角三角形”的事实，激发学生的探究兴趣，为“勾股定理的逆定理”新知做铺垫，明确本节课学习目标与方向。 探究点1：勾股定理的逆定理的提出与证明 1. 问题引入 o 教师提问：勾股定理的内容是“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”，那么它有一个逆命题：“如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形”，它是否真实？应如何证明？ 2. 新知导出 o 先请学生口头复述勾股定理： “在直角三角形中，若三边分别为（是斜边），则有。” o 引导学生观察、思考：如果只给出，能不能肯定这是一个直角三角形？ o 师生共同回顾“逆命题”定义，明确要证明其真伪，并探究证明思路。 3. 师生活动 o 教师演示：在中，已知，且。求证：△ ABC是直角三角形． 证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°， B′C′＝a， A′C′＝b． 根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2. 因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB 根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ . 于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形． o 学生分组讨论“如何用全等三角形的思想证明‘逆定理’”，并在小组内尝试复述该证明过程。 4. 结论归纳 o 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，且满足，那么该三角形一定是直角三角形。 符号语言： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长 分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. o 勾股定理的逆定理是判断三角形是否是直角三角形的重要方法。 5. 例题巩固 例1 △ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论． 证明：是直角三角形， ∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1． c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1． ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. o 教师总结：运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？ 找：确定三角形的最长边； 算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； 比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； 判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 【设计意图】通过“构造一个与已知三角形具有相同两边的直角三角形，再利用全等推断”的活动，让学生亲身经历演绎证明过程，发展推理能力，掌握“勾股定理的逆定理”的核心思想与关键证明过程。 探究点2：勾股定理的逆定理的应用——勾股数的概念与典型实例 1. 问题引入 o 教师提问：你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？ o 学生讨论：∵32＋42＝52，∴这个三角形为直角三角形． o 教师总结：古埃及人用了3、4、5组成直角三角形，那么其他所有满足的正整数三元组，都有什么特别称呼？ o 学生猜想：或许这些正整数都称为“勾股数”。 2. 新知导出 o 师生总结勾股数定义：如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数． 勾股数必须同时满足两个条件： （1）三个数都是正整数； （2）两个较小数的平方和等于最大数的平方． 3. 师生活动 o 教师出示例题，让学生通过计算或推导，判断“、”等是否是勾股数。 o 学生分组讨论：为什么满足还要求均为正整数？ o 教师补充演示：若是一组勾股数，则也是一组勾股数，进一步完善对勾股数性质的认识。 例2 已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2．求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数． 证明：∵a2＋b2＝c2， ∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2 ＝k2(a2＋b2) ＝k2c2＝(kc)2． ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数. ∴ka，kb，kc构成勾股数. 4.例题巩固（几何应用） 例3 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20．求AC的长． 解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20， ∴BD＝DC＝BC＝10． ∵AD＝24，AB＝26， ∴AD2＋BD2＝242＋102＝676， AB2＝262＝676． ∴AD2＋BD2＝AB2． ∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴AD垂直平分BC． ∴AC＝AB＝26 ． 【设计意图】通过典型算例与数形结合，学生体会“整式运算与直观几何”在判定直角三角形中的应用价值，进一步加深对于勾股数及其推广规律的理解，培养其综合运用所学知识解决问题的能力，并逐步提升对勾股定理及其逆定理的应用意识。 探究点2：勾股定理与其逆定理的区别与联系 教师提问：通过试题的练习，那么勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？ 学生分组讨论，共同完成下表： 1. 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角． (1) a＝8，b＝15，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15． 解：(1) 在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289， ∴ a2＋b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角． (2) 在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225， ∴ a2＋b2≠c2， ∴ △ABC不是直角三角形． 2. 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形． (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2) a:b:c=3:4:5． 解：(1) 在△ABC中，∵∠A＝25°，∠C＝65°， ∴ ∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－65°＝90°． ∴△ABC是直角三角形. (2)设a＝3k、b＝4k、c＝5k (k＞0 )， ∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2， ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角. 3.下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12． 解：(1) ∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324， ∴ 122＋152≠182． ∴ 12，15，18不是勾股数． (2) ∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721， ∴ 112＋602＝612． ∴ 11，60，61是勾股数． (3) ∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521， ∴ 152＋362＝392． ∴ 15，36，39是勾股数． (4) ∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269， ∴ 122＋352≠362． ∴ 36，35，12不是勾股数． 4. 已知直角三角形的三边长分别是a，b，c下列说法是否正确？ (1)以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形； (2)以长分别为，，的三条线段能组成一个直角三角形． 证明：(1)说法正确． 假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2， ∵(2a)2＋(2b)2＝4a2＋4b2＝4(a2＋b2)＝4c2＝(2c)2． ∴以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形. (2)说法不正确． 假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2， ∵()2＋()2＝a＋b，()2＝c． 由三角形三边关系得a＋b＞c， ∴()2＋()2＞()2， ∴以长分别为，，的三条线段不能组成一个直角三角形. 5. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60. 求这个三角形的面积. 解：设三角形的三边长分别为3x，4x，5x． 由题意，得3x＋4x＋5x＝60， 解得x＝5． ∴三边长分别为15，20，25． ∵152＋202＝252， ∴这个三角形是直角三角形． ∴S＝×15×20＝150． 6. 计算图中四边形ABCD的面积． 解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 BD2＝122＋162＝400， ∴BD＝20. ∵CD＝15，BC＝25， ∴CD2＋BD2＝152＋202＝625， BC2＝252＝625． ∴CD2＋BD2＝BC2． ∴∠BDC＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC ＝×12×16＋×15×20＝246． 7. 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由. 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5. 在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20. ∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25. ∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°. 思维提升 观察下列勾股数： 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请写出： (1)当a＝19时，b＝___180_____，c＝____181____； (2)当a＝2n＋1时，求b，c的值； (3) 用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 解：(2)通过观察知c－b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2. 又∵c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1. （3）不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1 为一组勾股数． 当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111， ∴15，111，112不是一组勾股数． 1. 标题：3.2 勾股定理的逆定理 2. 勾股定理： 文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 公式：a² + b² = c² 3. 逆定理内容及判定过程： 文字表述：若三边满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形 判定步骤：找最长边、算平方和、比大小、作判断 4. 勾股数概念：满足a² + b² = c²的正整数a、b、c 5. 应用举例： 例1 1. 基础练习：课本或配套习题中与勾股定理逆定理相关的试题； 2. 应用题： （1）给出三角形的三条边长度，判断是否为直角三角形，并说明理由（不少于2组数据）； （2）尝试利用“勾股数”构造新的直角三角形并计算其面积； 3. 拓展思考：查找并举例说明在实际测量或工程中，利用勾股定理逆定理进行判定或测量的具体场景。若条件允许，可用课外读物或资料进行整理，并于下次课分享。 本节课在“勾股定理的逆定理”教学中，教学目标整体达成较为理想：学生对“当三条边满足a²+b²=c²时，三角形必为直角三角形”这一核心判定方法能基本理解并运用。通过古埃及人的实际应用场景导入，激发了学生的学习兴趣，也帮助他们将数学知识与历史文化相联系。在此过程中，利用典例分析的形式逐步培养学生的推理能力，但部分学生在涉及较复杂数字时，仍需加强运算与模型建构的熟练度。今后可在课堂中适当增加小组合作解题的时间，让学生在讨论与交流中掌握列方程、检验真假的过程。同时，应针对“勾股数与直角三角形”的合作探究，让学生更深刻地体会数形结合、数学抽象与实际应用之间的联系，进一步提升他们的学习兴趣与综合素养。 学科网（北京）股份有限公司 $