3.1 函数的概念及其表示（10大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

3.1 函数的概念及其表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：函数的概念 2 题型二：给出解析式求函数的定义域 3 题型三：抽象函数求定义域 4 题型四：给出函数定义域求参数范围 4 题型五：同一函数的判断 5 题型六：给出自变量求函数值 7 题型七：求函数的值域 9 题型八： 求函数的解析式 11 题型九： 分段函数求值、不等式问题 12 题型十： 区间的表示与定义 14 02 重难点拓展 16 题型一：函数的概念 1．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，当时，，当时，，当时，，此时不在集合内，因此集合不可能是. 故选：A 2．（2025·高一·福建莆田·期中）给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A: 对，当时，，无实数解， 即不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故A不正确； 对于B: 对，不妨设，则，解得， 不满足唯一的实数与对应，不符合函数定义，故B不正确； 对于C: 对，当时，由得， 即在中不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故C不正确； 对于D:由得，对，都有唯一确定的与之对应， 符合函数定义，可知D正确. 故选：D. 3．（2025·高一·福建泉州·期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，，A不是； 对于B，集合中的每个值，按，在集合中都有唯一值与之对应，B是； 对于C，集合中没有元素与集合中的0对应，C不是； 对于D，当时，，D不是. 故选：B 题型二：给出解析式求函数的定义域 4．（2025·高三·宁夏银川·开学考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，解得且，的定义域是． 故选：C． 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，则，故的定义域为， 故选：C． 6．（2025·高一·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数有意义， 则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：C 题型三：抽象函数求定义域 7．（2025·高一·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 8．（2025·高一·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，得函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以所求的定义域为. 故选：C 题型四：给出函数定义域求参数范围 10．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（2025·高二·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 题型五：同一函数的判断 13．下列函数中与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，的定义域为，而原函数的定义域为，故两者不是同一个函数，故A错误； 对B，的定义域为，而原函数的定义域为，故两者不是同一个函数，故B错误； 对C，，两者对应法则不同，故两者不是同一个函数，故C错误； 对D，与是同一函数，故D正确. 故选：D. 14．（2025·高二·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 15．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 题型六：给出自变量求函数值 16．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求，的值． 【解析】（1）根据题意知且， 且，即函数的定义域为. （2）. . 17．已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【解析】（1）因为函数， 所以， 所以. （2）由函数，可得， 所以. （3）由函数可得. 根据（2）的结论， 所以 . 18．（2025·高三·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 【解析】（1）由， 所以， ； ，. （2）由（1）中求得的结果发现，证明如下： 因为， 所以. （3）由（2）知， 所以. 题型七：求函数的值域 19．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）解法1：，因为，所以． 解法2：由于，则，故． （2）解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，则，因为，所以，解得，即． 20．求函数的值域． 【解析】 画出分段函数的图象，如图， 结合图象可知，即函数的值域为． 21．求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【解析】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 题型八： 求函数的解析式 22．（2025·高一·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【解析】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 23．已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【解析】由题意知，用代换，得， ，消去，可得． 24．（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 【解析】解（1）令，又， 所以， 所以，故． （2）由题可得，与联立，所以，则，故． （3）方法一：配凑法．因为， 所以． 方法二：换元法．令，，则，则，所以． （4）①当时，，此时， ②当时，，此时， ③当时，，， 综上所述， 题型九： 分段函数求值、不等式问题 25．（多选题）已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 【答案】CD 【解析】当时，，解得； 当时，，解得. 故选：CD 26．（多选题）定义，已知函数，若在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据分段函数 又因为解得：或4， 可知函数可化为 作图如下： 令，当 或时， 或 或 当时，令或， 解得： 或，（舍）， 所以的长度可以为或 或 ， 区间或， 故选：ABC 27．（多选题）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 题型十： 区间的表示与定义 28．用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）或. 29．（2025·高一·湖南湘西·期中）解下列不等式，并把解集用区间表达. (1) (2) 【解析】（1）不等式等价于， 易知方程的两个实数根为和， 其对应的一元二次函数的图象如下图所示： 所以不等式的解集为 （2）将不等式整理成，即， 易知方程的两个实数根为和， 二次函数对应的图象如下图： 所以该不等式的解集为. 1．（2025·高一·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【解析】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 2．（2025·高一·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 3．已知是定义在上的函数，若，对任意满足：，，则的值为（    ）． A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【解析】由，分别令，则，，， 相加得，由，可得， 所以． 由，分别用代换， 可得，， 又， 累加得， 又，所以， 由，，，， 累加可得， 即，． 故选：C． 4．（2025·高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 6．已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】先说明充分性：因为，，， 令，得到：，所以， 再令，得到， 所以，充分性成立； 再说明必要性，因为，所以，且， 所以有，必要性成立； 故“，，”是“”的充要条件. 故选：C 7．（2025·高三·全国·课前预习）如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题图知：当点的横坐标为1时，抛物线顶点取，设该抛物线的解析式为：， 代入点坐标，得：，解得， 即：点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：． 当点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取， 则此时抛物线的解析式：， 即与轴的交点为或（舍去）， 点的横坐标的最大值为2． 故选：B. 8．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 9．（多选题）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D错误； 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·高一·山东德州·开学考试）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【解析】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 11．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为，，其中为有理数集，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．， C．， D．关于的方程有四个不同的实数根 【答案】CD 【解析】对于选项A：当为有理数时，，由得，得且； 当为无理数时，，由得，解得，与为无理数矛盾，故A错误. 对于选项B：取，，显然，故B错误. 对于选项C：当为有理数时，因为，所以，均为有理数，所以； 当为无理数时，因为，所以，均为无理数，所以，故C正确. 对于选项D：当为有理数时，，由得，解得或，符合题意； 当为无理数时，，由得，解得或，符合题意. 所以关于的方程有四个不同的实数根，故D正确. 故选：CD. 12．（2025·高一·全国·课前预习）若函数，则 ． 【答案】 【解析】令，则，所以，故． 故答案为：. 13．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的有 ①甲车出发2h时，两车相遇 ②乙车出发1.5h时，两车相距170km ③乙车出发2h时，两车相遇 ④甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】②③④ 【解析】观察函数图象可知，当时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误； 甲车的速度为， 乙车的速度为， ∵， ∴乙车出发时，两车相距，结论②正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论③正确； ∵， ∴甲车到达C地时，两车相距，结论④正确； 故答案为：②③④ 14．（2025·高一·全国·课前预习）设函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【解析】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故答案为：. 15．已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【解析】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 16．已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 【解析】因集合中的元素恰有2个整数， 则其区间长度应满足，得， 当时，此时，则，得； 当时，此时，符合题意； 则的取值范围为. 17．求函数的值域． 【解析】解法1：，因为， 所以，故． 解法2：由于，原函数转化为方程有实数根． 当时，，矛盾，方程无解； 当时，方程有实数根，则， 整理得，则． 综上所述，． 18．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【解析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：函数的概念 2 题型二：给出解析式求函数的定义域 2 题型三：抽象函数求定义域 2 题型四：给出函数定义域求参数范围 3 题型五：同一函数的判断 3 题型六：给出自变量求函数值 3 题型七：求函数的值域 4 题型八： 求函数的解析式 5 题型九： 分段函数求值、不等式问题 6 题型十： 区间的表示与定义 6 02 重难点拓展 8 题型一：函数的概念 1．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·福建莆田·期中）给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·高一·福建泉州·期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 题型二：给出解析式求函数的定义域 4．（2025·高三·宁夏银川·开学考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型三：抽象函数求定义域 7．（2025·高一·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四：给出函数定义域求参数范围 10．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 11．（2025·高二·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 12．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 题型五：同一函数的判断 13．下列函数中与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·高二·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 15．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 题型六：给出自变量求函数值 16．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求，的值． 17．已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 18．（2025·高三·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 题型七：求函数的值域 19．求下列函数的值域： (1)； (2)． 20．求函数的值域． 21．求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 题型八： 求函数的解析式 22．（2025·高一·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 23．已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 24．（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 题型九： 分段函数求值、不等式问题 25．（多选题）已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 26．（多选题）定义，已知函数，若在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A． B． C． D． 27．（多选题）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 题型十： 区间的表示与定义 28．用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 29．（2025·高一·湖南湘西·期中）解下列不等式，并把解集用区间表达. (1) (2) 1．（2025·高一·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 2．（2025·高一·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的函数，若，对任意满足：，，则的值为（    ）． A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 4．（2025·高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·高三·全国·课前预习）如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（多选题）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 10．（多选题）（2025·高一·山东德州·开学考试）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    11．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为，，其中为有理数集，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．， C．， D．关于的方程有四个不同的实数根 12．（2025·高一·全国·课前预习）若函数，则 ． 13．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的有 ①甲车出发2h时，两车相遇 ②乙车出发1.5h时，两车相距170km ③乙车出发2h时，两车相遇 ④甲车到达C地时，两车相距40km 14．（2025·高一·全国·课前预习）设函数的定义域为，若，则 ． 15．已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 16．已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 17．求函数的值域． 18．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 学科网（北京）股份有限公司 $