第08讲 简单列举（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第08讲 简单列举 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.能用列举法（枚举法）解决简单实际问题，做到不重复、不遗漏地找到符合要求的答案； 2.发展思维的条理性和严密性，提升分类、归纳及有序思考的能力。 知识梳理 知识点一、枚举法的定义 根据问题要求，将所有可能的情况一一列举出来，通过分析列举结果解决问题的方法，称为枚举法（或列举法）。其核心是“一一列举”，目的是全面覆盖问题的所有可能情形。 知识点二、枚举法的核心要点 1.无重复、无遗漏：列举时需确保每种情况仅出现一次，且不遗漏任何符合条件的情形； 2.有条理、有规律：按一定顺序（如从大到小、按类别、按步骤等）或规则列举，避免杂乱无章。 知识点三、常见枚举问题类型及解题方法 1.计数类问题 （1）特征：求完成某件事的不同方法数（如路线、信号、组合等），需通过枚举所有可能方案计数。 （2）解题方法：按步骤或类别有序列举，确保不重复。 ①路线/路径问题：如“从A到B有m条路，从B到C有n条路，求A到C的不同走法”，可按“分步列举”（A→B的每条路对应B→C的n条路，共m×n种）。 ②信号/组合问题：如“用不同元素（如颜色、数字）组成信号或组合”，按元素顺序或类别列举。 ③通话/握手问题：如“n人互相通一次电话，求通话次数”，按“两两组合”列举（避免重复计数）。 2.几何相关问题 （1）特征：涉及图形的边长、面积、分割等，需结合几何性质（如周长公式）枚举符合条件的量（如整数长、宽）。 （2）解题方法：根据数量关系（如周长=2×(长+宽)）确定范围，按规律（如长从大到小）列举。 ①长方形周长与面积：已知周长为整数，求面积的可能值或最大/最小值。需先根据周长确定“长+宽”的值，再枚举长、宽的整数组合（长≥宽）。 ②图形分割问题：如“n条直线分圆最多分成多少块”，通过枚举n=1、2、3…时的结果，归纳规律（块数=1+1+2+…+n）。 3.数字与组合问题 （1）特征：涉及数字组成（如奇数、三位数）、数字出现次数、人民币取法等，需结合数字特征（如奇数个位为1/3/5/7/9）或元素特征（如不同面额）枚举。 （2）解题方法：按数字位置（个位、十位、百位）或元素类别（如人民币面额）分类列举，排除不符合条件的情况。 ①数字组成问题：如“用1、2、3、4组成三位数奇数”，需先确定个位（只能是1或3），再枚举十位和百位。 ②数字出现次数问题：如“1到400中数字‘2’出现次数”，按数位（个位、十位、百位）分类枚举：个位每10个数出现1次，十位每100个数出现10次，百位在200-299出现100次，合计180次。 ③人民币取法问题：如“用5元、2元、1元取9元”，按“大额优先”原则枚举（先取5元，再枚举2元和1元组合；再取0张5元，枚举2元和1元组合），共7种取法。 4.复杂计数与排列问题 （1）特征：涉及多步骤或多条件限制（如“第一天在A市，第五天回A市的游览路线”“错拿书包的不同方式”），需按顺序分步枚举，结合排除法缩小范围。 （2）解题方法：用列表或树状图记录每一步的可能情况，排除不符合条件的路径。 知识点四、枚举法的解题关键步骤 1.明确范围：根据题意确定枚举的“边界”（如长、宽的取值范围，数字的位数等）； 2.分类列举：按类别（如数位、元素类型）或顺序（如从大到小）有序列举，避免混乱； 3.排除筛选：剔除不符合条件的情况（如非整数、重复计数等），缩小列举范围； 4.归纳结果：统计所有符合条件的列举结果，得出最终答案。 例题讲解 一、计数类问题 【例题1】如图，从A地到B地有2条不同的路，从B地到C地有3条不同的路，从C地到D地有2条不同的路。若不重复走某一段路，从A地到D地共有多少种不同的走法？ 【例题2】如图，用红、黄、蓝3种颜色的旗子，每次挂1面或2面（不同顺序算不同信号），一共能组成多少种不同的信号？ 二、几何相关问题 【例题1】一个长方形的周长是20厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积有多少种不同的可能值？ 【例题2】5条直线最多能将一个圆分成多少块？ 三、数字与组合问题 【例题1】有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案） 【例题2】用1、3、5、7这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的三位奇数？ 【例题3】东东有1元､5元两种人民币若干张｡他要拿15元钱，有多少种不同的拿法？ 四、复杂计数与排列问题 【例题1】3个同学分别拿了A、B、C三个不同的书包，每人都拿错书包的情况有多少种？ 【例题2】某人从A市出发，第一天在A市，之后每天去另一个城市（B、C、D），第三天必须在B市，第五天回到A市。若每天只能去一个城市且不重复去同一城市（除A市），共有多少种不同的路线？ 考点练习 一、计数类问题 1. 8位同学参加聚会，每两人互相握一次手，一共要握多少次手？ 2. 6支球队进行单循环赛（每两队赛一场），共要安排多少场比赛？ 3. 小宁从家到少年宫，如果只允许向东或向北走，一共有多少种不同的路线？ 4. 用1、2、3三个数字，组成无重复数字的一位数、两位数、三位数，一共能组成多少个不同的数？ 5. 从5本不同的数学书中选2本，共有多少种不同的选法？ 6．书法兴趣小组要购进44支钢笔，文具店有4支装和6支装两种不同的包装，一共有多少种不同的买法？ 二、几何相关问题 1．李大爷打算用一根长24米的竹篱笆围成一个长方形，有几种不同的围法？（长､宽不相等，且取整米数） 2. 一个长方形的周长是24厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积最大是多少平方厘米？ 3. 一个长方形的周长是30厘米，长和宽均为质数厘米，它的面积是多少平方厘米？ 4. 2条直线最多能将一个三角形分成多少块？ 5. 面积在20到50平方厘米之间（包含20和50），边长为整数厘米的正方形有多少个？ 6. 一个等腰三角形的周长是12厘米，边长为整数厘米，这样的等腰三角形有多少种？ 7. 用1×2的小长方形（多米诺骨牌）拼3×4的长方形，共有多少种不同的拼法？（只考虑形状，不考虑旋转翻转） 8. 一个三角形的三条边均为整数厘米，且周长为15厘米，这样的三角形有多少种？ 三、数字与组合问题 1．多这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？ 2. 在1到500的所有自然数中，数字“3”共出现了多少次？ 3. 用1元、5元、10元、20元的纸币，取30元钱（每种纸币数量不限），共有多少种不同的取法？ 4. 用0、2、4、6这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的两位偶数？ 5. 一个两位数，其各位数字之和为8，这样的两位数有多少个？ 6. 在100到999的所有三位数中，十位数字是“5”的三位数有多少个？ 7. 用2、3、4、5这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的三位偶数且是3的倍数？ 8. 用1、2、3、4这四个数字（数字不重复）组成的四位数中，百位数字大于十位数字的有多少个？ 9．4个茶杯的价格分别为32元、26元、18元和12元，3个杯垫的价格分别是7元、5元和2元。如果一个茶杯和一个杯垫配成一套，一共可以配成多少套不同价格的组合？ 四、复杂计数与排列问题 1．在用0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的两位数中，个位是单数的一共有多少个？请你全部写出来。 2．实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 3．《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 简单列举 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.能用列举法（枚举法）解决简单实际问题，做到不重复、不遗漏地找到符合要求的答案； 2.发展思维的条理性和严密性，提升分类、归纳及有序思考的能力。 知识梳理 知识点一、枚举法的定义 根据问题要求，将所有可能的情况一一列举出来，通过分析列举结果解决问题的方法，称为枚举法（或列举法）。其核心是“一一列举”，目的是全面覆盖问题的所有可能情形。 知识点二、枚举法的核心要点 1.无重复、无遗漏：列举时需确保每种情况仅出现一次，且不遗漏任何符合条件的情形； 2.有条理、有规律：按一定顺序（如从大到小、按类别、按步骤等）或规则列举，避免杂乱无章。 知识点三、常见枚举问题类型及解题方法 1.计数类问题 （1）特征：求完成某件事的不同方法数（如路线、信号、组合等），需通过枚举所有可能方案计数。 （2）解题方法：按步骤或类别有序列举，确保不重复。 ①路线/路径问题：如“从A到B有m条路，从B到C有n条路，求A到C的不同走法”，可按“分步列举”（A→B的每条路对应B→C的n条路，共m×n种）。 ②信号/组合问题：如“用不同元素（如颜色、数字）组成信号或组合”，按元素顺序或类别列举。 ③通话/握手问题：如“n人互相通一次电话，求通话次数”，按“两两组合”列举（避免重复计数）。 2.几何相关问题 （1）特征：涉及图形的边长、面积、分割等，需结合几何性质（如周长公式）枚举符合条件的量（如整数长、宽）。 （2）解题方法：根据数量关系（如周长=2×(长+宽)）确定范围，按规律（如长从大到小）列举。 ①长方形周长与面积：已知周长为整数，求面积的可能值或最大/最小值。需先根据周长确定“长+宽”的值，再枚举长、宽的整数组合（长≥宽）。 ②图形分割问题：如“n条直线分圆最多分成多少块”，通过枚举n=1、2、3…时的结果，归纳规律（块数=1+1+2+…+n）。 3.数字与组合问题 （1）特征：涉及数字组成（如奇数、三位数）、数字出现次数、人民币取法等，需结合数字特征（如奇数个位为1/3/5/7/9）或元素特征（如不同面额）枚举。 （2）解题方法：按数字位置（个位、十位、百位）或元素类别（如人民币面额）分类列举，排除不符合条件的情况。 ①数字组成问题：如“用1、2、3、4组成三位数奇数”，需先确定个位（只能是1或3），再枚举十位和百位。 ②数字出现次数问题：如“1到400中数字‘2’出现次数”，按数位（个位、十位、百位）分类枚举：个位每10个数出现1次，十位每100个数出现10次，百位在200-299出现100次，合计180次。 ③人民币取法问题：如“用5元、2元、1元取9元”，按“大额优先”原则枚举（先取5元，再枚举2元和1元组合；再取0张5元，枚举2元和1元组合），共7种取法。 4.复杂计数与排列问题 （1）特征：涉及多步骤或多条件限制（如“第一天在A市，第五天回A市的游览路线”“错拿书包的不同方式”），需按顺序分步枚举，结合排除法缩小范围。 （2）解题方法：用列表或树状图记录每一步的可能情况，排除不符合条件的路径。 知识点四、枚举法的解题关键步骤 1.明确范围：根据题意确定枚举的“边界”（如长、宽的取值范围，数字的位数等）； 2.分类列举：按类别（如数位、元素类型）或顺序（如从大到小）有序列举，避免混乱； 3.排除筛选：剔除不符合条件的情况（如非整数、重复计数等），缩小列举范围； 4.归纳结果：统计所有符合条件的列举结果，得出最终答案。 例题讲解 一、计数类问题 【例题1】如图，从A地到B地有2条不同的路，从B地到C地有3条不同的路，从C地到D地有2条不同的路。若不重复走某一段路，从A地到D地共有多少种不同的走法？ 【答案】12种 【详解】根据分步计数原理，从A到B有2种选择，每种A→B的选择对应B→C的3种选择，故A→C有2×3=6种走法；每种A→C的走法对应C→D的2种选择，因此A→D共有6×2=12种走法。 【分析】考点为路径问题的分步列举，核心是“分步相乘”。易错点：忽略路径的分步独立性，误将加法与乘法原理混淆。 【例题2】如图，用红、黄、蓝3种颜色的旗子，每次挂1面或2面（不同顺序算不同信号），一共能组成多少种不同的信号？ 【答案】9种 【详解】分两类枚举：①挂1面旗：红、黄、蓝，共3种；②挂2面旗：（红,黄）、（黄,红）、（红,蓝）、（蓝,红）、（黄,蓝）、（蓝,黄），共6种。总信号数=3+6=9种。 【分析】考点为信号问题的分类列举，需注意“不同顺序算不同信号”（即有序组合）。易错点：漏算2面旗的反向顺序（如红-黄与黄-红是两种信号）。 二、几何相关问题 【例题1】一个长方形的周长是20厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积有多少种不同的可能值？ 【答案】5种 【详解】周长=2×(长+宽)→长+宽=10厘米。枚举长≥宽的整数组合： 长=9，宽=1→面积=9×1=9； 长=8，宽=2→面积=16； 长=7，宽=3→面积=21； 长=6，宽=4→面积=24； 长=5，宽=5→面积=25（正方形是特殊长方形）。 共5种面积。 【分析】考点为长方形周长与面积的关系，核心是“先确定长+宽，再有序枚举长和宽”。易错点：漏算正方形（长=宽）的情况。 【例题2】5条直线最多能将一个圆分成多少块？ 【答案】16块 【详解】枚举直线数n与分块数的关系： n=0时：1块； n=1时：1+1=2块； n=2时：2+2=4块； n=3时：4+3=7块； n=4时：7+4=11块； n=5时：11+5=16块。 规律：块数=1+1+2+3+…+n，故5条直线时块数=1+1+2+3+4+5=16。 【分析】考点为图形分割规律的枚举归纳，核心是“每增加第n条直线，最多与前n-1条直线相交，增加n块”。易错点：未按规律枚举，直接猜测结果。 三、数字与组合问题 【例题1】有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案） 【答案】18、17、13、16、12、8 【分析】9、8、4三个数字卡片，小英每次任意抽一张再放进去，抽两次，抽出的两个数字可能相同，也可能不同。则可能的结果为9，9；或9、8；或9、4；或8、8；或8、4；或4、4，共6种情况，然后将数字加起来即可解答。 【详解】9＋9＝18 9＋8＝17 9＋4＝13 8＋8＝16 8＋4＝12 4＋4＝8 答：可能得到的数字和是18、17、13、16、12、8。 【例题2】用1、3、5、7这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的三位奇数？ 【答案】24个 【详解】三位奇数的个位必须是1、3、5、7（4种选择）。个位选好后，百位有3种选择（剩余3个数字），十位有2种选择（剩余2个数字）。总个数=4×3×2=24个。 【分析】考点为数字组成的奇数，需优先确定个位（奇数特征），再分步枚举百位和十位。易错点：忽略“数字不重复”的限制，误算为4×4×4=64个。 【例题3】东东有1元､5元两种人民币若干张｡他要拿15元钱，有多少种不同的拿法？ 【答案】4种 【分析】分别判断15可以由多少个1组成；可以由多少个5组成；或者多少个1和5共同组成，据此解答。 【详解】第一种：0张1元和3张5元； 第二种：5张1元和2张5元； 第三种：10张1元和1张5元； 第四种：15张1元。 答：他要拿15元钱，有4种不同的拿法。 四、复杂计数与排列问题 【例题1】3个同学分别拿了A、B、C三个不同的书包，每人都拿错书包的情况有多少种？ 【答案】2种 【详解】枚举所有拿法（共3!=6种），排除至少1人拿对的情况： 全拿对：1种（A→A,B→B,C→C）； 仅1人拿对：3种（A→A,B→C,C→B；B→B,A→C,C→A；C→C,A→B,B→A）； 故全拿错=6-1-3=2种（A→B,B→C,C→A；A→C,B→A,C→B）。 【分析】考点为错排问题（全错位排列），n=3时错排数为2。易错点：漏算或重复枚举拿错的情况。 【例题2】某人从A市出发，第一天在A市，之后每天去另一个城市（B、C、D），第三天必须在B市，第五天回到A市。若每天只能去一个城市且不重复去同一城市（除A市），共有多少种不同的路线？ 【答案】2种 【详解】路线为A→（第二天）→（第三天B）→（第四天）→（第五天A），第二天和第四天不能为A或重复城市： 第二天只能去C或D（2种）： 若第二天→C，第三天→B，第四天只能去D（不能去A、C、B），第五天→A（路线：A→C→B→D→A）； 若第二天→D，第三天→B，第四天只能去C，第五天→A（路线：A→D→B→C→A）； 共2种。 【分析】考点为多步骤路线限制，需按顺序分步枚举，结合排除法（不能重复城市）。易错点：忽略“每天去另一个城市”，误将第二天安排为A。 考点练习 一、计数类问题 1. 8位同学参加聚会，每两人互相握一次手，一共要握多少次手？ 【答案】28次 【详解】第1位同学与其余7人握手（7次），第2位与剩余6人握手（6次）……第7位与第8位握手（1次），总次数=7+6+5+4+3+2+1=28次。 【分析】考点为两两组合的计数。 2. 6支球队进行单循环赛（每两队赛一场），共要安排多少场比赛？ 【答案】15场 【详解】类比握手问题，每支球队与其他5支比赛，共6×5=30场，但每场比赛被重复计算2次（如A vs B与B vs A），故总场次=30÷2=15场。 【分析】考点为组合计数的实际应用，核心是“去重”。易错点：直接用6×5=30，忽略重复计数。 3. 小宁从家到少年宫，如果只允许向东或向北走，一共有多少种不同的路线？ 【答案】6种 【分析】根据题意，在图中每个交点处标上字母，注意只允许向东或向北走，写出所有不同的路线，再数一数即可。 【详解】如图： 路线①：ABCDE； 路线②：ABFDE； 路线③：ABFGE； 路线④：AHFDE； 路线⑤：AHFGE； 路线⑥：AHIGE； 共有6种不同的路线。 答：一共有6种不同的路线。 4. 用1、2、3三个数字，组成无重复数字的一位数、两位数、三位数，一共能组成多少个不同的数？ 【答案】15个 【详解】分类枚举：①一位数：1、2、3（3个）；②两位数：12、13、21、23、31、32（6个）；③三位数：123、132、213、231、312、321（6个）。总个数=3+6+6=15个。 【分析】考点为数字组合的分类列举，需按位数（一位、两位、三位）有序枚举。易错点：漏算某一类位数的数字。 5. 从5本不同的数学书中选2本，共有多少种不同的选法？ 【答案】10种 【详解】设书为A、B、C、D、E，枚举所有组合：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种。 【分析】考点为无序组合计数，需注意“选2本”无顺序。 6．书法兴趣小组要购进44支钢笔，文具店有4支装和6支装两种不同的包装，一共有多少种不同的买法？ 【答案】4种 【分析】要购进44支钢笔，文具店有4支装和6支装两种不同的包装，根据搭配的相关知识得出答案。 【详解】有4种不同的买法： 第一种：买2盒4支装的钢笔，再买6盒6支装的钢笔； 第二种：买5盒4支装的钢笔，再买4盒6支装的钢笔； 第三种：全部买11盒4支装的钢笔； 第四种：买8盒4支装的钢笔，再买2盒6支装的钢笔。 答：共有4种方法。 二、几何相关问题 1．李大爷打算用一根长24米的竹篱笆围成一个长方形，有几种不同的围法？（长､宽不相等，且取整米数） 【答案】5种 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知这个长方形的周长是24米，用24÷2即可求出一条长和一条宽的和，也就是12米，然后把12拆分成2个数相加，先从1开始，有顺序地一一列举，才能找到所有正确答案，可以用表格整理。 【详解】24÷2＝12（米） 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6 长和宽不相等且取整米数，所以长和宽不等于6米。 用表格整理： 长（米） 11 10 9 8 7 宽（米） 1 2 3 4 5 答：根据表格可知，有5种不同的围法。 2. 一个长方形的周长是24厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】36平方厘米 【详解】长+宽=24÷2=12厘米。当长=宽=6厘米时（正方形），面积=6×6=36平方厘米（此时长与宽差距最小，面积最大）。 【分析】考点为长方形面积最值，规律是“周长一定时，长和宽越接近，面积越大”。易错点：误认为长越大面积越大（如长11、宽1时面积仅11，小于长6、宽6）。 3. 一个长方形的周长是30厘米，长和宽均为质数厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】26平方厘米 【详解】长+宽=30÷2=15厘米。枚举质数组合（质数：2,3,5,7,11,13）： 13+2=15（13和2均为质数）； 11+4=15（4不是质数，排除）； 7+8=15（8不是质数，排除）； 故长=13厘米，宽=2厘米，面积=13×2=26平方厘米。 【分析】考点为质数与长方形边长的结合，需先确定长+宽，再筛选质数组合。易错点：忽略“宽=2”（最小质数）的情况。 4. 2条直线最多能将一个三角形分成多少块？ 【答案】4块 【详解】枚举直线数： 0条直线：1块； 1条直线：2块（连接两边中点或顶点与对边）； 2条直线：若两条直线相交，最多分成4块（如两条中线相交）。 【分析】考点为图形分割的枚举，需考虑“直线相交”才能分最多块。易错点：两条直线平行时仅分3块，未考虑相交情况。 5. 面积在20到50平方厘米之间（包含20和50），边长为整数厘米的正方形有多少个？ 【答案】3个 【详解】正方形面积=边长²，边长为整数，故： 边长=5厘米（面积25）； 边长=6厘米（面积36）； 边长=7厘米（面积49）。 共3个。 【分析】考点为正方形面积与边长的关系，需先确定边长范围（√20≈4.47，√50≈7.07，边长取5,6,7）。易错点：漏算边界值（如边长5和7）。 6. 一个等腰三角形的周长是12厘米，边长为整数厘米，这样的等腰三角形有多少种？ 【答案】2种 【详解】设腰长为x，底边长为y，则2x+y=12，且需满足三角形三边关系：2x>y（两边之和>第三边）。 枚举x（x≥y÷2，x为整数）： x=4：y=12-2×4=4，三边4,4,4（等边三角形，成立）； x=5：y=12-2×5=2，三边5,5,2（5+5>2，成立）； x=6：y=0（不构成三角形，排除）； 共2种。 【分析】考点为等腰三角形的边长枚举，需结合三边关系排除无效组合。易错点：忽略“2x>y”，误算x=3（y=6，2x=6=y，不满足两边之和>第三边）。 7. 用1×2的小长方形（多米诺骨牌）拼3×4的长方形，共有多少种不同的拼法？（只考虑形状，不考虑旋转翻转） 【答案】11种（注：标准结论，枚举时可先固定第一行横向或纵向放置） 【详解】通过枚举不同方向的拼法（横向1×2或纵向2×1），逐步固定第一行、第一列的拼法，排除重复情况，最终得到11种拼法。 【分析】考点为图形拼组的枚举，需有序固定部分区域，避免重复计数。易错点：漏算或重复计算对称的拼法。 8. 一个三角形的三条边均为整数厘米，且周长为15厘米，这样的三角形有多少种？ 【答案】7种 【详解】设三边a≥b≥c，a+b+c=15，且a<b+c（两边之和>第三边）。 枚举a（a<15÷2=7.5，a最大为7）： a=7：b+c=8，b≥c，b≤7，c=8-b≤b→b≥4，故b=7,c=1（7,7,1）；b=6,c=2（7,6,2）；b=5,c=3（7,5,3）；b=4,c=4（7,4,4）→4种； a=6：b+c=9，b≤6，c=9-b≤b→b≥4.5→b=6,c=3（6,6,3）；b=5,c=4（6,5,4）→2种； a=5：b+c=10，b≤5，c=10-b≤b→b≥5，故b=5,c=5（5,5,5）→1种； 共4+2+1=7种。 【分析】考点为三角形三边关系的枚举，核心是“先确定最长边范围，再有序枚举”。易错点：未按“a≥b≥c”排序，导致重复计数。 三、数字与组合问题 1．多这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？ 【答案】11种 【分析】由题意可知，此题我们可以运用列举的方法，将6个数字进行任意2个组合，算出不同的和；然后数出不同的和的个数即可，据此解答。 【详解】1＋1＝2、1＋2＝3、1＋3＝4、1＋4＝5、1＋5＝6、1＋6＝7； 2＋1＝3、2＋2＝4、2＋3＝5、2＋4＝6、2＋5＝7、2＋6＝8； 3＋1＝4、3＋2＝5、3＋3＝6、3＋4＝7、3＋5＝8、3＋6＝9； 4＋1＝5、4＋2＝6、4＋3＝7、4＋4＝8、4＋5＝9、4＋6＝10； 5＋1＝6、5＋2＝7、5＋3＝8、5＋4＝9、5＋5＝10、5＋6＝11； 6＋1＝7、6＋2＝8、6＋3＝9、6＋4＝10、6＋5＝11、6＋6＝12； 两个向上的点子数加起来，和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。 答： 两个向上的点子数加起来，可能会得到11种不同的数值. 2. 在1到500的所有自然数中，数字“3”共出现了多少次？ 【答案】200次 【详解】按数位（个位、十位、百位）分类枚举： 个位：每10个数出现1次“3”，500÷10=50次； 十位：每100个数中，30-39共10次“3”，500÷100=5组，共5×10=50次； 百位：300-399共100个数，百位均为“3”，共100次； 总次数=50+50+100=200次。 【分析】考点为数字出现次数的分类枚举，核心是“按数位拆分，避免重复”。易错点：漏算百位的100次（300-399）。 3. 用1元、5元、10元、20元的纸币，取30元钱（每种纸币数量不限），共有多少种不同的取法？ 【答案】18种 【详解】按“大额优先”枚举20元纸币的张数： 20元2张：20×2=40>30（排除）； 20元1张时，剩10元，10元张数0或1： 10元1张：1种（20+10）； 10元0张：5元0-2张（5×0+1×10，5×1+1×5，5×2+1×0）→3种，共4种； 20元0张：10元0-3张： 10元3张：1种（10×3）； 10元2张：剩10元，5元0-2张（3种）； 10元1张：剩20元，5元0-4张（5种）； 10元0张：剩30元，5元0-6张（7种）； 共1+3+5+7=16种； 总取法=4+16=20种，标准结论为20种） 【答案】20种 【分析】考点为人民币取法的枚举，核心是“按大额到小额有序枚举，避免遗漏”。易错点：漏算“只取1元”的情况。 4. 用0、2、4、6这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的两位偶数？ 【答案】9个 【详解】两位偶数的个位只能是0、2、4、6，且十位不能为0。分类枚举个位： 个位=0：十位可2、4、6（3种：20、40、60）； 个位=2：十位可4、6（0不能在十位，2种：42、62）； 个位=4：十位可2、6（2种：24、64）； 个位=6：十位可2、4（2种：26、46）； 总个数=3+2+2+2=9个。 【分析】考点为含0的数字组成偶数，需注意“十位不能为0”的限制。易错点：个位=2/4/6时，误将0算入十位。 5. 一个两位数，其各位数字之和为8，这样的两位数有多少个？ 【答案】8个 【详解】设两位数为10a+b（a为十位，1≤a≤9；b为个位，0≤b≤9），a+b=8。枚举a： a=1→b=7（17）；a=2→b=6（26）；a=3→b=5（35）；a=4→b=4（44）；a=5→b=3（53）；a=6→b=2（62）；a=7→b=1（71）；a=8→b=0（80）。共8个。 【分析】考点为数字和的枚举，需按十位数字从1到8有序枚举。易错点：漏算a=8（b=0）的情况。 6. 在100到999的所有三位数中，十位数字是“5”的三位数有多少个？ 【答案】90个 【详解】三位数的百位（1-9）、十位=5、个位（0-9）。百位有9种选择，个位有10种选择，总个数=9×1×10=90个。 【分析】考点为特定数位的数字计数，需确定每个数位的取值范围。易错点：百位漏算9（1-9共9个数）或个位漏算0（0-9共10个数）。 7. 用2、3、4、5这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的三位偶数且是3的倍数？ 【答案】8个 【详解】①三位偶数：个位只能2或4（2种）；②3的倍数：各位数字之和是3的倍数。 先选3个数字，和是3的倍数： 2、3、4（和9）；2、4、5（和11，不是3的倍数）；3、4、5（和12）；2、3、5（和10，不是）； 故可选数字组：（2,3,4）和（3,4,5）。 组1（2,3,4），个位为2或4： 个位=2：3、4在百位十位→342、432（2个）； 个位=4：2、3在百位十位→234、324（2个）； 组2（3,4,5），个位只能4（因2不在组内）： 个位=4：3、5在百位十位→354、534（2个）； 总个数=2+2+2=6个？？？（修正：组2（3,4,5）中，个位必须是偶数，只有4是偶数，故个位=4，百位十位为3和5，2种：354、534；组1（2,3,4）个位2或4，各2种，共4种；总4+2=6个） 【答案】6个 【分析】考点为数字倍数与偶数的综合枚举，需先确定数字组（和是3的倍数），再按个位偶数枚举。易错点：忽略“3的倍数”条件，直接算所有偶数。 8. 用1、2、3、4这四个数字（数字不重复）组成的四位数中，百位数字大于十位数字的有多少个？ 【答案】12个 【详解】四位数共有4!=24个。对于任意两个不同的数字a和b，在百位和十位的位置上，要么a>b，要么b>a，且两种情况对称（各占一半）。故百位>十位的个数=24÷2=12个。 【分析】考点为数字排列的对称性，无需枚举所有数，利用对称思想简化计算。易错点：逐一枚举导致漏算或重复。 9．4个茶杯的价格分别为32元、26元、18元和12元，3个杯垫的价格分别是7元、5元和2元。如果一个茶杯和一个杯垫配成一套，一共可以配成多少套不同价格的组合？ 【答案】12套 【分析】先固定32元的茶杯，再分别配上7元、5元和2元的杯垫，就可以得到3种不同的价格的组合；再固定26元的茶杯，再分别配上7元、5元和2元的杯垫，也可以得到3种不同的价格的组合；以此类推，计算出每一套的价格，注意找一找有没有相同的价格，如有相同的价格，只能算一种价格组合。据此解答即可。 【详解】32＋7＝39（元）32＋5＝37（元）32＋2＝34（元） 26＋7＝33（元）26＋5＝31（元）26＋2＝28（元） 18＋7＝25（元）18＋5＝23（元）18＋2＝20（元） 12＋7＝19（元）12＋5＝17（元）12＋2＝14（元） 答：一共可以配成12套不同价格的组合。 四、复杂计数与排列问题 1．在用0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的两位数中，个位是单数的一共有多少个？请你全部写出来。 【答案】12个 【分析】两位数中，十位上的数不能为0，其只能作个位上的数，从而知道这个两位数十位上的数字只能为1、2、3、4、5；题目要求这个两位数个位是单数，0、1、2、3、4、5这组数中，只有1、3、5三个数是单数，据此将个位分别1、3、5的两位数分别列出来即可。 【详解】当个位为1时，21、31、41、51； 当个位为3时，13、23、43、53； 当个位为5时，15、25、35、45； 答：个位是单数的一共有12个，分别是21、31、41、51、13、23、43、53、15、25、35、45。 2．实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 【答案】10种；6种 【分析】先给2种文艺类社团和3种体育类社团编号，然后用列举法把所有符合要求的组合列举出来，再数一数，即可得解。 【详解】设2种文艺类社团的编号为A、B；3种体育类社团的编号为C、D、E； 任意选择2种社团，可以是： AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，一共有10种不同的选法。 从文艺类社团和体育类社团中各选1种，可以是： AC、AD、AE、BC、BD、BE，一共有6种不同的选法。 答：他有10种不同的选法，如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有6种不同的选法。 3．《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 【答案】①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①；共18种。 【分析】因为有害垃圾桶不能放在最右边，所以最右边只能放“可回收物” “湿垃圾”“干垃圾”3种摆法，最右边摆放的垃圾种类固定后，剩下的几种垃圾可以随意排列摆放在左边3个位置上，可以有6种摆法，用画图连线表示如下： 【详解】答：可以按①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①的顺序摆放，一共有18种摆法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $