专题研究 直线相关的对称问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题研究 直线相关的对称问题 （学生版） 解题通法 1.对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．主要有四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型． 2.对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．具体分三步进行： 第一步、直线和垂直，即   ①； 第二步、的中点在直线上，即 满足直线方程， 即   ②； 第三步、联立①②式可以解出 . (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 3.常见的点关于直线的对称点 ①点 关于 轴的对称点； ②点 关于 轴的对称点； ③点关于直线 的对称点； ④点关于直线 的对称点； ⑤点 关于直线 的对称点； ⑥点关于直线 的对称点； ⑦点关于直线 的对称点； ⑧点关于直线 的对称点. 专题训练 一、单选题 1．圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 4．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 6．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 8．已知圆，从点发出的光线，经轴反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 10．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 11．一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长 ． 13．已知点轴，，则周长的最小值为 ． 14．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 四、解答题 15．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 16．已知顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 直线相关的对称问题 （教师版） 解题通法 1.对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．主要有四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型． 2.对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．具体分三步进行： 第一步、直线和垂直，即   ①； 第二步、的中点在直线上，即 满足直线方程， 即   ②； 第三步、联立①②式可以解出 . (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 3.常见的点关于直线的对称点 ①点 关于 轴的对称点； ②点 关于 轴的对称点； ③点关于直线 的对称点； ④点关于直线 的对称点； ⑤点 关于直线 的对称点； ⑥点关于直线 的对称点； ⑦点关于直线 的对称点； ⑧点关于直线 的对称点. 专题训练 一、单选题 1．圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】由，得圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 解得 故所求圆的方程为． 故选：C. 2．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 3．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 4．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 5．圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】C 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【详解】圆的圆心为， 且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得， 所以或，满足. 故选：C. 6．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 7．已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 8．已知圆，从点发出的光线，经轴反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心的坐标，求出点关于轴的对称点的坐标，可知入射光线所在直线为直线，利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为直线， 易知入射光线所在直线与直线关于轴对称， 所以，反射光线所在直线的斜率为. 故选：D. 二、多选题 9．若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 10．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 11．一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长 ． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为求，最后利用切线长公式计算即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 圆心，半径， 则． 故答案为： 13．已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连接，交直线于点，交轴于点，则的周长的最小值等于. 【详解】如图，    设点关于直线的对称点为． 点关于轴的对称点为． 连接，交于点，交轴于点， 显然，，且四点共线， 故此时周长的最小值为． 故答案为： 14．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 16．已知顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程． 【答案】 【分析】根据题意，设，将中点坐标代入中线方程，将点代入的平分线方程，联立求出点的坐标，再列出方程，求得点关于直线的对称点的坐标，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】设，则的中点在直线上． 所以，即， 又点在直线上，则， 联立可得，，即点的坐标为 设点关于直线的对称点的坐标为， 由题知，得，即所求的对称点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $