第3章 函数的概念与性质（单元测试·基础卷）数学湘教版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 函数的概念与性质·基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东·校考期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·湖南·月考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 5．（24-25高一上·福建·期中）已知是奇函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 8．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·山东·期中）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（　　） A． B． C． D．， 10．（24-25高一上·辽宁·期中）下列命题，其中正确的命题是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数的单调递减区间是 D．已知在上是增函数，若，则有 11．（24-25高一上·广东深圳·校考期中）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二下·天津·期中）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 13．（2025高一上·湖南·专题练习）已知函数同时满足：①在定义域内单调递增；②满足对任意实数都成立；③.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式 ．（答案不唯一，正确即可.） 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高一上·天津和平·期中）（1）已知函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 16．（15分）（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域. 17．（15分）（24-25高一上·成都·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求的值；并求当时，的解析式； (2)若函数，，求函数的最小值． 18．（17分）（24-25高一上·北京·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明结论； (2)证明函数在上是减函数；(3)求函数在上的最值． 19．（17分）（24-25高一上·广东肇庆·期末）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 函数的概念与性质·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A A D B C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．(答案不唯一) 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）令，则（1分） ， ，（4分） 故．（5分） （2），令，则，（9分） 联立方程，解得.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)5(2)见解析(3)减区间为，增区间为；值域为 【详解】（1）因为，所以，（2分） 所以.（4分） （2）草图如下： （9分） （3）由图可知，减区间为，增区间为；（11分） 当时，；（12分） 当时，为减函数，所以；（13分） 当时，为增函数，所以；（14分） 综上，的值域为.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）；（2分） 设，则，所以，（4分） 因为函数是定义在上的偶函数，所以，则时，；（7分） （2）当时，， 所以，对称轴为，（8分） 当时，即时，；（10分） 当时，即时，；（12分） 当时，即时，；（14分） 综上所述 （15分） 18．（17分） 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3)无最大值，最小值为. 【详解】（1）函数为奇函数，（1分） 证明如下：由知：函数定义域为R，（2分） ，所以为奇函数，得证.（4分） （2）令，则，（6分） 所以，（9分） 而，，，则，（11分） 所以，故函数在上是减函数，得证.（12分） （3）由（1）（2）知：在上是减函数， 且，易知趋向时函数值趋向于0，（14分） 所以，无最大值.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)直线(2)对称中心为点，证明见解析(3)对称中心为，理由见解析 【详解】（1）函数图象的对称轴为直线. （2分） （2）函数图象的对称中心为点，证明如下： （4分） 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，（5分） 故有，即，故.（6分） 又，代入化简得， 即对任意的恒成立，（8分） ，解得. 故函数图象的对称中心为点.（10分） （3）关于成中心对称.原因如下：（11分） 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有， 即，即.（13分） 又，代入上式化简得 对任意的恒成立，（14分） 故，，即.（16分） 综上所述，图象的对称中心为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 函数的概念与性质·基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东·校考期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·湖南·月考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 5．（24-25高一上·福建·期中）已知是奇函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 8．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·山东·期中）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（　　） A． B． C． D．， 10．（24-25高一上·辽宁·期中）下列命题，其中正确的命题是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数的单调递减区间是 D．已知在上是增函数，若，则有 11．（24-25高一上·广东深圳·校考期中）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二下·天津·期中）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 13．（2025高一上·湖南·专题练习）已知函数同时满足：①在定义域内单调递增；②满足对任意实数都成立；③.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式 ．（答案不唯一，正确即可.） 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高一上·天津和平·期中）（1）已知函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 16．（15分）（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域. 17．（15分）（24-25高一上·成都·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求的值；并求当时，的解析式； (2)若函数，，求函数的最小值． 18．（17分）（24-25高一上·北京·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明结论； (2)证明函数在上是减函数；(3)求函数在上的最值． 19．（17分）（24-25高一上·广东肇庆·期末）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 函数的概念与性质·基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，它没有对应的元素，故A错误； 对于BC，，而，故BC错误； 对于D，当时，，且与唯一一个对应， 根据函数定义可得构成从到的函数，故选：D. 2.（24-25高一上·广东·校考期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 则，故.故选：B. 3．（2025高一上·湖南·月考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值．故选：A． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 5．（24-25高一上·福建·期中）已知是奇函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以，则，， 所以A，B均错误． 因为在上单调递减，所以，则，得，C错误，D正确．故选：D 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即函数的定义域为， 且，则函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为，故选：B. 7．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C 【详解】对于A，显然的定义域为，故A正确； 对于B、D，易知函数，即为奇函数，图象关于原点对称， 且，当且仅当时取得等号，故值域为，故BD正确； 对于C，函数的单调区间不能用并集表示，且的单调递减区间为，故C错误.故选：C 8．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以， 设，则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数，所以， 所以在R上为奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为.故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·山东·期中）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（　　） A． B． C． D．， 【答案】BC 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故B正确；对于C，函数， 所以两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于D，函数，， 所以两个函数的对应关系不同，不是同一个函数，故D错误．故选：BC． 10．（24-25高一上·辽宁·期中）下列命题，其中正确的命题是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数的单调递减区间是 D．已知在上是增函数，若，则有 【答案】AD 【详解】A选项：对称轴为，函数的单调递增区间为，又，所以函数在上是增函数，A选项正确； B选项：函数在和上单调递减，B选项错误； C选项：定义域为，且函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，C选项错误； D选项：在上是增函数，若，则，，所以，，则，D选项正确；故选：AD. 11．（24-25高一上·广东深圳·校考期中）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，，当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确；故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·海南·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·天津·期中）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为.故答案为： 13．（2025高一上·湖南·专题练习）已知函数同时满足：①在定义域内单调递增；②满足对任意实数都成立；③.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式 ．（答案不唯一，正确即可.） 【答案】(答案不唯一) 【详解】由，且在定义域内单调递增，可设（）， 结合可得，即满足题意.故答案为：.(答案不唯一) 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数满足对上的任意实数，， 恒有成立，所以函数在上递减， 所以，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高一上·天津和平·期中）（1）已知函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）令，则（1分） ， ，（4分） 故．（5分） （2），令，则，（9分） 联立方程，解得.（13分） 16．（15分）（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域. 【答案】(1)5(2)见解析(3)减区间为，增区间为；值域为 【详解】（1）因为，所以，（2分） 所以.（4分） （2）草图如下： （9分） （3）由图可知，减区间为，增区间为；（11分） 当时，；（12分） 当时，为减函数，所以；（13分） 当时，为增函数，所以；（14分） 综上，的值域为.（15分） 17．（15分）（24-25高一上·成都·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求的值；并求当时，的解析式； (2)若函数，，求函数的最小值． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）；（2分） 设，则，所以，（4分） 因为函数是定义在上的偶函数，所以，则时，；（7分） （2）当时，， 所以，对称轴为，（8分） 当时，即时，；（10分） 当时，即时，；（12分） 当时，即时，；（14分） 综上所述（15分） 18．（17分）（24-25高一上·北京·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明结论； (2)证明函数在上是减函数；(3)求函数在上的最值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3)无最大值，最小值为. 【详解】（1）函数为奇函数，（1分） 证明如下：由知：函数定义域为R，（2分） ，所以为奇函数，得证.（4分） （2）令，则，（6分） 所以，（9分） 而，，，则，（11分） 所以，故函数在上是减函数，得证.（12分） （3）由（1）（2）知：在上是减函数， 且，易知趋向时函数值趋向于0，（14分） 所以，无最大值.（17分） 19．（17分）（24-25高一上·广东肇庆·期末）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 【答案】(1)直线(2)对称中心为点，证明见解析(3)对称中心为，理由见解析 【详解】（1）函数图象的对称轴为直线. （2分） （2）函数图象的对称中心为点，证明如下： （4分） 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，（5分） 故有，即，故.（6分） 又，代入化简得， 即对任意的恒成立，（8分） ，解得. 故函数图象的对称中心为点.（10分） （3）关于成中心对称.原因如下：（11分） 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有， 即，即.（13分） 又，代入上式化简得 对任意的恒成立，（14分） 故，，即.（16分） 综上所述，图象的对称中心为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $