第3章 函数的概念与性质（复习讲义）数学湘教版2019必修第一册

第3章 函数的概念与性质（复习讲义） 1、用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求函数的定义域。 2、会判断两个函数是不是同一个函数，通过求简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。 3、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（列表法、图象法、解析法）表示函数，能根据函数解析式作出函数图象；通过选择合适的方法求函数解析式。 4、理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用。 5、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会根据函数单调性的定义，判定证明函数的单调性； 理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数单调性求最值、比较大小、解不等式、复合函数的单调性。 6、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用。 1、函数的定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。值域是集合B的子集。 2、函数的三要素：定义域、 对应关系、值域。 3、函数相等：两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时，叫作相等。也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么他们不是同一函数。 4、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的增函数， 也称f(x)是区间I上单调递增。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的减函数， 也称f(x)是区间I上单调递减。 等价变形： ，，，在区间I上是增函数. ，，，在区间I上是减函数. 5、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④判断：根据定义域做出结论。 6、函数的最大值与最小值 （1）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点。 （2）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最小值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点。 7、奇函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是奇函数，图象关于原点对称。若奇函数在原点处有定义，则。 8、偶函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是偶函数，图象关于轴对称。 9、判断奇偶性的常用方法 1）定义法：如下图 2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点或轴对称。 补充1. 具体函数定义域求法 1）分式的分母不能为零； 2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 3）零次幂的底数不能为零，即中； 4）实际应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使实际问题有意义； 5）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 注意：（1）定义域用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而要用并集符号“∪”连接； （2）求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错。 补充2. 抽象函数定义域求法：函数，三者之间定义域的关系。 切记函数，定义域都是指的取值范围；同一个对应关系下括号里面整体的范围相同。 如：①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域。 ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域。 ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域。 补充3：值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：适用于几类基本初等函数求值域； ②单调性法：由一些简单且能辨别单调性的初等函数合成的函数；如：增函数+增函数=增函数等。 ③换元法：形如，（令）；，（令）； ，（令）；（令）。 补充4：函数解析式的求法 1）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可。 2）代入法（直接法）：适用于由求复合函数。 3）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 4）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5）方程组法：主要解决已知与、f(a－x)、、的方程，求解析式。 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！ 补充5：函数单调性的常用结论与性质 （1）函数y＝f(x)（f(x)>0或f(x)<0）在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反。 （2）复合函数的单调性：同增异减。 （3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①与单调性相同； ②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反； ③当时，与单调性相同； ④见下列表格： 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 不确定 不确定 不确定 不确定 增函数 减函数 增函数 减函数 不确定 不确定 不确定 不确定 增函数 减函数 补充6：函数奇偶性的常用结论与性质 （1）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 不确定 偶函数 差 奇函数 不确定 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 （2）奇偶性与单调性（简记：奇同偶异）。 ①奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性； ②偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足. （3）伪奇函数的性质：若，其中为奇函数. 则；(2). 补充7：函数对称性的常用结论与性质（补充7为培优内容，部分学生根据自身情况选择学习即可） ①图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； ③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称。 题型一 函数的定义域（含抽象函数） 【例1】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）若有意义，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 题型二 判断两个函数是否相等 【例1】（多选题）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】（24-25高一上·湖南·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【变式1-3】（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 函数的值域（含复合函数、抽象函数） 【例1】（25-26高一上·广东·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式1-1】（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【变式1-2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 【变式1-3】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【变式1-4】（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型四 求函数的解析式 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，求的解析式； (3)已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【变式1-2】（24-25高一上·云南·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025高一·江苏·专题练习）若，则函数 ． 【变式1-4】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）已知，则函数的解析式为 ． 题型五 根据定义域求参数范围 【例1】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【变式1-1】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【变式1-2】（2025高一·湖南·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型六 函数的最值（值域）及参数问题 【例1】（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【变式1-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【变式1-5】（多选题）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 题型七 定义法判断函数的单调性（含复合函数单调性） 【例1】（2025高一·成都·专题练习）已知函数，试用定义探求的单调区间． 【变式1-1】（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 【变式1-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【变式1-3】（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【变式1-4】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式；(2)用定义法判断的单调性． 题型八 利用函数的单调性比较大小、解不等式 【例1】（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高一·江苏·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【变式1-3】（25-26高一上·湖北·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26高一上·重庆·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型九 根据函数的单调性求参数问题 【例1】（25-26高三上·北京·阶段练习）若满足，，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025高一·成都·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 题型十 分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 【例1】（多选题）（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【变式1-1】（2025高一·成都·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高一·湖北·专题练习）若表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的为 ．（填序号） ①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线． 【变式1-3】（多选题）（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 【变式1-4】（25-26高一上·成都·月考）已知函数 (1)求，的值；(2)若，求的值；(3)作出函数的大致图象，并求的解集．    题型十一 判断函数的奇偶性及求值问题 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)；(3)；(4) 【变式1-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·山东·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【变式1-4】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 题型十二 奇偶性中的参数问题 【例1】（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【变式1-1】（25-26高一上·山东·月考）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（25-26高一上·湖南·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【变式1-3】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 题型十三 类奇偶性求最值问题（奇函数+常数型） 【例1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数且，则的值为 . 【变式1-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 题型十四 利用奇偶性求解析式 【例1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象；(2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【变式1-1】（2025高一·重庆专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【变式1-2】（2025高一·河北·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【变式1-3】（2025高一·江苏·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【变式1-4】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式；(2)写出的单调区间；(3)求出的值域． 题型十五 奇偶性结合单调性比较大小 【例1】（25-26高一上·天津·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（    ） A． B． C． D． 题型十六 奇偶性结合单调性解不等式 【例1】（24-25高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【变式1-1】（24-25高一上·上海宝山·月考）若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且，则不等式的解集为 ． 【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·月考）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【变式1-3】（24-25高一上·成都·校考期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【变式1-4】（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数为奇函数，且其定义域为． (1)求出的值，并利用单调性的定义证明：在上单调递减；(2)解不等式. 题型十七 抽象函数综合问题 【例1】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．(1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式：． 【变式1-1】（多选题）（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【变式1-2】（多选题）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；(3)若，试求的值. 【变式1-4】已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值；(2)求证：当时，；(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 基础巩固通关测 1．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 3．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 7.（25-26高一上·天津·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9.（多选题）（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 10．（多选题）（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）下列函数相等的是（ ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 11．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是 12．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 13．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 14.（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 15．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，则 . 16.（25-26高三上·山东菏泽·阶段练习）已知，若，，则 17．（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 18.（25-26高三上·宁夏·阶段练习）函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求和的值；(2)求函数在时的解析式． 19．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求；(2)若，求的值；(3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 20．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. 21．（24-25高一上·重庆·课后作业）求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)（）；(4). 22．（2025高一·河北·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 能力提升进阶练 1．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，都有成立，则的值为（    ） A．2026； B．2022； C．2018； D．0． 8．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 11．（多选题）（2025高一上·山东·专题练习）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 12．（多选题）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 13．（多选题）（24-25高一上·四川绵阳·期末）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 14．（24-25高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 15．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 16．（24-25高二下·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 17．（25-26高一上·河北保定·开学考试）定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 19．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数.(2)证明：在上是减函数.(3)求不等式的解集. 20．（24-25高一·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式；(2)证明在上为增函数；(3)解不等式. 21．（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）的值域为，求实数的取值范围． 22．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意,都有；②对任意且，都有. 请解答下列问题：(1)求的值；(2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 函数的概念与性质（复习讲义） 1、用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求函数的定义域。 2、会判断两个函数是不是同一个函数，通过求简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。 3、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（列表法、图象法、解析法）表示函数，能根据函数解析式作出函数图象；通过选择合适的方法求函数解析式。 4、理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用。 5、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会根据函数单调性的定义，判定证明函数的单调性； 理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数单调性求最值、比较大小、解不等式、复合函数的单调性。 6、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用。 1、函数的定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。值域是集合B的子集。 2、函数的三要素：定义域、 对应关系、值域。 3、函数相等：两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时，叫作相等。也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么他们不是同一函数。 4、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的增函数， 也称f(x)是区间I上单调递增。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的减函数， 也称f(x)是区间I上单调递减。 等价变形： ，，，在区间I上是增函数. ，，，在区间I上是减函数. 5、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④判断：根据定义域做出结论。 6、函数的最大值与最小值 （1）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点。 （2）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最小值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点。 7、奇函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是奇函数，图象关于原点对称。若奇函数在原点处有定义，则。 8、偶函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是偶函数，图象关于轴对称。 9、判断奇偶性的常用方法 1）定义法：如下图 2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点或轴对称。 补充1. 具体函数定义域求法 1）分式的分母不能为零； 2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 3）零次幂的底数不能为零，即中； 4）实际应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使实际问题有意义； 5）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 注意：（1）定义域用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而要用并集符号“∪”连接； （2）求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错。 补充2. 抽象函数定义域求法：函数，三者之间定义域的关系。 切记函数，定义域都是指的取值范围；同一个对应关系下括号里面整体的范围相同。 如：①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域。 ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域。 ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域。 补充3：值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：适用于几类基本初等函数求值域； ②单调性法：由一些简单且能辨别单调性的初等函数合成的函数；如：增函数+增函数=增函数等。 ③换元法：形如，（令）；，（令）； ，（令）；（令）。 补充4：函数解析式的求法 1）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可。 2）代入法（直接法）：适用于由求复合函数。 3）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 4）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5）方程组法：主要解决已知与、f(a－x)、、的方程，求解析式。 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！ 补充5：函数单调性的常用结论与性质 （1）函数y＝f(x)（f(x)>0或f(x)<0）在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反。 （2）复合函数的单调性：同增异减。 （3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①与单调性相同； ②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反； ③当时，与单调性相同； ④见下列表格： 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 不确定 不确定 不确定 不确定 增函数 减函数 增函数 减函数 不确定 不确定 不确定 不确定 增函数 减函数 补充6：函数奇偶性的常用结论与性质 （1）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 不确定 偶函数 差 奇函数 不确定 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 （2）奇偶性与单调性（简记：奇同偶异）。 ①奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性； ②偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足. （3）伪奇函数的性质：若，其中为奇函数. 则；(2). 补充7：函数对称性的常用结论与性质（补充7为培优内容，部分学生根据自身情况选择学习即可） ①图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； ③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称。 题型一 函数的定义域（含抽象函数） 【例1】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为.故选：C 【变式1-2】（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）若有意义，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由有意义，得：，解得：或.故选：A 【变式1-3】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，即，可得，故函数的定义域为， 对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为.故选：D. 【变式1-4】（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，须有：，所以或. 所以所求函数的定义域为：.故答案为： 题型二 判断两个函数是否相等 【例1】（多选题）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错. 故选：BC. 【变式1-1】（24-25高一上·湖南·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误，故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误；故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误.故选：C. 题型三 函数的值域（含复合函数、抽象函数） 【例1】（25-26高一上·广东·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号，所以函数的值域为． （2）设，，则，所以，所以函数的值域为． （3），则，所以函数的值域为． 【变式1-1】（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为，则函数的值域是. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，可得，所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则，所以函数的值域为.故答案为：. 【变式1-3】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是.故答案为：. 【变式1-4】（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且, 所以，当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，代数式的最小值为3. 故选：A. 题型四 求函数的解析式 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法，所以． （3）设， 则， 所以，解得，所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，求的解析式； (3)已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设，则， ，解得，或，或． （2）由题意设，因为，所以，因为， 所以，所以， 所以，得，所以． （3）由题意知，用代换，得， ，消去，可得． 【变式1-2】（24-25高一上·云南·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，且，代入原式得， 故的解析式为.故选：C. 【变式1-3】（2025高一·江苏·专题练习）若，则函数 ． 【答案】 【详解】函数，又的值域为. 所以，故答案为：. 【变式1-4】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）已知，则函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设，则，又，所以， 则，因此，故答案： 题型五 根据定义域求参数范围 【例1】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是.故答案为：. 【变式1-1】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为.故答案为：. 【变式1-2】（2025高一·湖南·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为．故选：C． 题型六 函数的最值（值域）及参数问题 【例1】（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数，即方程在实数范围内有解． 所以，解得．故选：B． 【变式1-1】（24-25高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增，所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以.故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此，所以或.故答案为：或3 【变式1-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，若，则，若，则， 函数的值域不可能为； 当时，，在上单调递增，在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是.故选：B. 【变式1-4】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，，当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是.故答案为： 【变式1-5】（多选题）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【详解】当时，； 当时：，当且仅当，即时等号，此时. 当时，，当且仅当，即时等号，此时，综上，. 若，则，由题，所以； 若，则，由题，所以，故选：BC. 题型七 定义法判断函数的单调性（含复合函数单调性） 【例1】（2025高一·成都·专题练习）已知函数，试用定义探求的单调区间． 【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为. 【详解】设任取，且，， （1）当时，，所以，又， 所以，即，所以在单调递增； （2）当时，，，所以，又， 所以，即，所以在单调递减； （3）当时，，所以，又， 所以，即，所以在单调递增； 所以单调递增区间是和，单调递减区间是. 【变式1-1】（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由解得或，则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为.故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为，由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 【变式1-3】（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【详解】证明：，，且， ， ，，，， 则，即，所以函数在区间上单调递增. 【变式1-4】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式；(2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1)(2)在区间和和上分别单调递减 【详解】（1）因为，所以，则，故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即，故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即，故在区间单调递减， ③当时，， 则，即，故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 题型八 利用函数的单调性比较大小、解不等式 【例1】（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以．故选：． 【变式1-1】（多选题）（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为的图象关于直线对称，所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以，所以， 所以和正确；故选：BD 【变式1-2】（2025高一·江苏·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】作出函数的图象如下图所示：由图可知，在上是减函数．    因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：． 【变式1-3】（25-26高一上·湖北·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得．故选C 【变式1-4】（25-26高一上·重庆·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立．故选：D 题型九 根据函数的单调性求参数问题 【例1】（25-26高三上·北京·阶段练习）若满足，，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，在上为减函数， 故，当时，有，符合题意； 当时，在上为增函数，在上为增函数， 当时即时，的图象如图所示： 则存在，且，综上，，故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增，且，符合题意. 若，则须满足：即.综上，.故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得，所以a的取值范围是.故选：D 【变式1-3】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增，．故选：B. 【变式1-4】（2025高一·成都·专题练习）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数，那么，即.故答案为：. 题型十 分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 【例1】（多选题）（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得，当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 【变式1-1】（2025高一·成都·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为的最小值为， 所以在单调递减，故，且，在上恒成立. 又，当且仅当时等号成立，所以，解得. 综上，的取值范围是.故选：A. 【变式1-2】（2025高一·湖北·专题练习）若表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的为 ．（填序号） ①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线． 【答案】② 【详解】函数的部分图象如图所示，由图可知函数的值域为，故①错误； 方程有无数个解，故②正确；函数的图象不是一条直线，故③错误．故答案为：②．    【变式1-3】（多选题）（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】AD 【详解】对于A，由题意得，得，解得，故A正确； 对于B，若在上单调递增，则得，所以不符合题意，故B错误； 对于C，若在上单调递减，则不等式组无解，故C错误； 对于D，若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得恒成立，即符合题意． 综上，的取值范围为，故D正确.故选：AD. 【变式1-4】（25-26高一上·成都·月考）已知函数 (1)求，的值；(2)若，求的值；(3)作出函数的大致图象，并求的解集．    【答案】(1)，(2)或1或(3)作图见解析， 【详解】（1）因为，所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得．综上所述，的解集为． 题型十一 判断函数的奇偶性及求值问题 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)偶函数(4)偶函数 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ，即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，观察可知图象关于轴对称，则为偶函数．    【变式1-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设，则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意；故选：A． 【变式1-2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确；对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，，由，所以成立，故正确；故选：C 【变式1-3】（25-26高一上·山东·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【详解】∵为偶函数，∴， ∵当时，，∴，故．故答案为：2． 【变式1-4】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【详解】易知，即为奇函数， 所以.故答案为：. 题型十二 奇偶性中的参数问题 【例1】（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由函数为奇函数，所以， 即，解得.当时，所以符合题意，所以．故选：D． 【变式1-1】（25-26高一上·山东·月考）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则.故选： 【变式1-2】（25-26高一上·湖南·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数.故答案为：1；0 【变式1-3】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是奇函数，所以，即， 所以函数关于点中心对称，函数， 它是由函数向左平移1个单位再向上平移2个单位得到的， 而函数的对称中心为，所以函数的对称中心为， 所以，当时， ，显然为奇函数，符合题意.故选：A 【变式1-4】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以.故答案为：. 题型十三 类奇偶性求最值问题（奇函数+常数型） 【例1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数且，则的值为 . 【答案】 【详解】易知满足，即为奇函数， 所以，可得， 即可得，所以.故答案为： 【变式1-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【详解】设，则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数，设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以.故答案为：6. 【变式1-2】（25-26高一上·江苏·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【详解】因为，令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故.故答案为： 题型十四 利用奇偶性求解析式 【例1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象；(2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析(2)(3) 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 【变式1-1】（2025高一·重庆专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 【变式1-2】（2025高一·河北·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 故当时，. 故答案为: 【变式1-3】（2025高一·江苏·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【详解】由题意得，则有 两式相减得，所以 故答案为：， 【变式1-4】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式；(2)写出的单调区间；(3)求出的值域． 【答案】(1)(2)单增区间为，，单减区间为，.(3) 【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则，则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，，单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，，故的值域为    题型十五 奇偶性结合单调性比较大小 【例1】（25-26高一上·天津·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以.故选：D. 【变式1-1】（多选题）（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】为偶函数，且在上是减函数， 有，即，选项A正确； 有，即，选项B错误； 有，选项C错误；有，选项D正确；故选：AD 【变式1-2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即.故选：A. 【变式1-3】（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为，所以，即，故选：C. 【变式1-4】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 因为在上是单调减函数，所以在上是单调递增函数， 所以.故选：D. 题型十六 奇偶性结合单调性解不等式 【例1】（24-25高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【答案】 【详解】因为是定义域为上的偶函数，成立， 所以，，则， 又因为在上严格减函数，所以，平方得，解得， 所以.故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海宝山·月考）若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且， 则函数在上为严格增函数，且， 所以，故所求为.故答案为：. 【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·月考）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，等价于， 又奇函数在上单调递增，可知在R单调递增， 所以可得：，解得：，所以实数的取值范围是，故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·成都·校考期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意.故答案为： 【变式1-4】（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数为奇函数，且其定义域为． (1)求出的值，并利用单调性的定义证明：在上单调递减；(2)解不等式. 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）根据奇函数的性质可知，，即， 当时，，满足，所以， 设，则， 当时，，，，， 所以，即，所以在上单调递减； （2）， 因为函数是奇函数，且在区间上单调递减，，所以函数在区间上单调递减， 所以，解得：，所以不等式的解集为. 题型十七 抽象函数综合问题 【例1】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．(1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析(2)函数在上单调递减，证明见解析(3) 【详解】（1）函数是奇函数，证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减，证明：，设，则， ，，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即，在上单调递减； （3）因为，由（1）知为定义在上的奇函数， 则，的定义域为且在上是单调递减的， 解得，不等式的解集为． 【变式1-1】（多选题）（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ACD 【详解】A.令，得，即，故A正确； B.令，所以，故B错误； C.令，则，即，所以函数为奇函数，故C正确；D.设，，即， 即， 因为，所以，则，所以， 即，所以为上的减函数，故D正确.故选：ACD 【变式1-2】（多选题）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，函数的定义域为，满足， 对于A，令，可得，因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，所以一定不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以，， 由此可得，函数的周期为2，则，所以C正确； 对于D，由，，可得， 所以，所以D不正确.故选：AC. 【变式1-3】（24-25高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；(3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)在上单调递减，理由见解析(3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下：定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则，所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下：设， 因为，，，所以，， 所以，即，因此在上单调递减. （3）， 因为，所以. 【变式1-4】已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值；(2)求证：当时，；(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3)在上为减函数，理由见解析. 【详解】（1）令，则，故； （2）； （3）在上为减函数，理由如下：设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 基础巩固通关测 1．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得且，所以的定义域为.故选：D 2．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令，则，， 所以.故选：D. 3．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即函数的定义域为， 且，则函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为，故选：B. 4．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，令，则； 令，则，联立两式可得，故选：A. 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，.故选：B 6．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C 【详解】对于A，显然的定义域为，故A正确； 对于B、D，易知函数，即为奇函数，图象关于原点对称， 且，当且仅当时取得等号，故值域为，故BD正确； 对于C，函数的单调区间不能用并集表示，且的单调递减区间为，故C错误.故选：C 7.（25-26高一上·天津·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得，所以.故选：D. 8．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为， 又，解得或，所以的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误； 对于选项B，由的定义域为，而的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，由， 所以与的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，由，且定义域为， 又定义域为，所以与的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正确．故选：D． 9.（多选题）（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD 【详解】，故A选项错误；，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得，即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得，综上，的解集为，故D选项正确；故选：BD. 10．（多选题）（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）下列函数相等的是（ ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【答案】AB 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，又，所以函数与函数相等，A正确； 对于B，函数的定义域为，且， 函数的定义域为，所以函数与函数相等，B正确； 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为，函数与函数的定义域不相同， 所以函数与函数不相等，C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与函数的定义域不相同， 所以函数与函数不相等，D错误；故选：AB. 11．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【详解】由题意可得：，解得：，所以定义域是，故答案为： 12．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【详解】函数是偶函数， 则且，得，所以.故答案为：4 13．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递增，可知函数为上单调递增，且，，则， 若，即，可得，解得， 所以的取值范围是.故答案为：. 14.（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为.故答案为：. 15．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，则 . 【答案】5 【详解】根据题意知，则.故答案为：5 16.（25-26高三上·山东菏泽·阶段练习）已知，若，，则 【答案】或 【详解】当时，. 若，则，解得. 若，则，解得或（舍去）.故答案为：或. 17．（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由，解得或，则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为，所以的单调递减区间是.答案： 18.（25-26高三上·宁夏·阶段练习）函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求和的值；(2)求函数在时的解析式． 【答案】(1)​，；(2)当时，. 【详解】（1）函数，则当时，，， 由函数是定义在R上的奇函数，得. （2）由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. 19．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求；(2)若，求的值；(3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0；(2)或或(3)图像见解析 【详解】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：；综上的值为：或或 （3） 20．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)最大值为1，最小值为. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即，所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增，所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 21．（24-25高一上·重庆·课后作业）求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)（）；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）∵，∴,∴的值域为. （2），显然,所以,故函数的值域为. （3）由,知.则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8.故函数（）的值域为. （4）设,则,且,所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    22．（2025高一·河北·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法，所以． （3）设， 则， 所以，解得，所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． 能力提升进阶练 1．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，有，可得，故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为.故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，函数的定义域为，且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增， 所以．故选：D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或，函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.故选：D. 4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为，所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为，则的取值范围是，选：B. 5．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为.故选：B 6．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增，因为，所以， 又因为，所以.故选：B. 7．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，都有成立，则的值为（    ） A．2026； B．2022； C．2018； D．0． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，可得，， 所以，所以，是周期为4得函数， 则.故选：D 8．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A 9．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以， 设，则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数，所以， 所以在R上为奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 所以的解集为，所以的解集为.故选：D 10．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数.故选：C 11．（多选题）（2025高一上·山东·专题练习）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则，∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则∵， ∴，即，故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴，∵，∴， 又奇函数为增函数，∴， ， 即，故D正确.故选：ABD. 12．（多选题）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于，则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则，故，C错误； D选项，当时，，则，所以，D正确．故选：AD． 13．（多选题）（24-25高一上·四川绵阳·期末）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得，因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号，所以选项D正确，故选：ABD 14．（24-25高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【详解】由,得, 由，得若，则,即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得.当时,也符合题意,∴.故答案为：5；5. 15．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是.故答案为：． 16．（24-25高二下·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形，因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形，即，故答案为：. 17．（25-26高一上·河北保定·开学考试）定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则，得， 令，则，即，所以为奇函数. 令，且，则， 因为，所以，所以，所以在R上为减函数， 所以不等式 ，即，解得.故答案为： 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得，所以的取值范围是.故答案为： 19．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数.(2)证明：在上是减函数.(3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）令，则，所以， 令，则，所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 20．（24-25高一·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式；(2)证明在上为增函数；(3)解不等式. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得，所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以，所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数，所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 21．（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，得，所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得，综上所述：实数的取值范围是． 22．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意,都有；②对任意且，都有. 请解答下列问题：(1)求的值；(2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 【答案】(1)(2)奇函数，在上单调递减，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）令得：； （2）令得，是奇函数，在上单调递减. 下面证明：任取且， ，，且，则 而，则，在上单调递减； （3） 由、知在单调递减，， 当时，，，则 得证. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $