第3章 函数的概念与性质（知识清单）数学湘教版2019必修第一册

第3章 函数的概念与性质（知识清单） 清单01 函数 知识点01 对函数的再认识 1、函数的定义 设A，B是两个 非空 的 实数 集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的 任意 一个数x，在集合B中都有 唯一 确定的数y和它 对应 ，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 函数 ，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 。值域是集合B的子集。 2、函数的四个特性： （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A→B 3、函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 。 4、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 5、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则。 6、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。 7、函数相等：两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时，叫作 相等 。也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么他们不是同一函数。 知识点02 表示函数的方法 1、解析法：用 解析式 来表示 函数 的方法。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可直接求任意一个x的函数值。 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出 表格 来表示 函数 的方法。 优点：具体易用，不懂数学运算的人也能查表做事； 缺点：不够全面，仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图象法：用 图象 表示 函数 的方法。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 4、作图的步骤： 列表 、 描点 、 连线 。 列表：先找出一些有代表性的自变量，并计算出与这些值相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； 描点：从表中得到一系列的点，在坐标平面上描出这些点； 连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来。 知识点03 简单的分段函数 1、分段函数的定义：如果自变量x在定义域的不同取值范围内时，函数由 不同 的解析式给出，这种函数叫作 分段函数 。 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整（高斯）函数：（表示不大于的最大整数）； （2）含绝对值符号的函数，如：； （3）自定义函数，如：； 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏。 （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。 清单02 函数的基本性质 知识点01 函数的单调性与最值 以下设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集。 1、函数的最大值 （1）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的 最大值 ，a为f(x)的 最大值点 。 （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最 高 点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最小值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的 最小值 ，a为f(x)的 最小值点 。 （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最 低 点的纵坐标。 3、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 增函数 ， 也称f(x)是区间I上 单调递增 ，如图1。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 减函数 ， 也称f(x)是区间I上 单调递减 ，如图2。 图1 图2 注意：①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定。 4、函数的单调区间 如果函数在区间上是 增函数 或 减函数 ，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 5、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④判断：根据定义域做出结论。 知识点02 函数的奇偶性 1、奇函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是 奇函数 ，图象关于 原点 对称。 2、偶函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是 偶函数 ，图象关于 轴 对称。 3、判断奇偶性的常用方法 1）定义法：如下图 2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于 原点 或 轴 对称。 3）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。分段函数不是几个函数，而是一个函数。因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。 【易错01：函数的三要素考虑不周】 由于函数的值域是由函数的定义域及对应关系（法则）来确定，所以判断两个函数是否表示同一个函数，只需判断定义域和对应关系（法则）是否都相同即可。 【典例】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ①；②；③； ④；⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 【针对训练】 1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误.故选：C. 2．（24-25高一上·湖南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是，对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.故选：B. 【易错02：抽象函数的定义域】 （1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围。 （2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。 （3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围（值域）为A，求x的取值范围。 （4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域。 【典例】（2025高一·湖南·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】（1）设．因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考察函数．因为的定义域为， 所以，得，所以的定义域为． 设，要使有意义，必须，解得． 故的定义域为．故答案为：；． 【针对训练】 1．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得，故的定义域为．故选：B． 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域需满足： ，解得.故选：D. 【易错03：换元法没注意新元的范围】 利用换元法求函数的解析式，求函数的定义域、值域的时，一定要注意换元后新元的限制条件。 【典例】（25-26高一上·湖北·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）令，则， 于是有，所以. （2）函数，又的值域为，. （3）∵，∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【针对训练】 1.（24-25高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【详解】令，则，， ∴函数的解析式为．故答案为：． 2．（2025高一上·江苏·专题练习）若，则函数 ． 【答案】， 【详解】，即；令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即，， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【易错04：分段函数单调性问题忽略分段处大小比较】 一般地，若函数f（x）在区间[a，b）上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f（x）在[a，c]为增函数，如图1，由图象可知函数f（x）在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此，时不能说f（x）在[a，c]上增函数， 若图象满足如图2，即可说函数在[a，c]上为增函数，即只需f（x）在[a，b）上的最大值不大于f（x）在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论。 图1 图2 【典例】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立，所以函数在上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C. 【针对训练】 1.（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，在中，函数在上是增函数， ，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 、【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 【易错05：讨论复合函数单调性忽略定义域】 求复合函数的单调性要注意 （1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性。 （2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接。 （3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质。 （4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数。 【典例】（24-25高一下·江苏无锡·月考）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】由，得：或，所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得.故答案为： 【针对训练】 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求.故选：B 2．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或，即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【易错06：奇偶性概念理解错误】 若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与的关系。 奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即 【典例】（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称，且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下：由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下：由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 【针对训练】 1.判断函数的奇偶性． 【详解】当时，，∴， 当时，，∴，但当时，，∴此函数为非奇非偶函数． 2．（25-26高一上·江苏·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)；(2)；(3)； (4)；(5) 【答案】(1)奇函数(2)既是奇函数又是偶函数(3)既不是奇函数也不是偶函数(4)奇函数(5)奇函数 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 【易错08：函数的单调性、奇偶性综合应用】 1）在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 2）在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 【典例】（25-26高一上·广西·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式；(2)探究的奇偶性；(3)求不等式的解集． 【答案】(1)(2)偶函数(3) 【详解】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为R，关于原点对称， 又，所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减，因为函数是偶函数， 所以由 或，因此原不等式的解集为. 【针对训练】 1．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得，故答案为：. 2．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为，且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：. 【易错09：抽象函数的简单性质证明】 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解； 【典例】（24-25高一上·浙江金华·月考）（多选题）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【答案】ABC 【详解】由定义在上的函数满足， 令，可得，可得，所以A正确； 令，可得，因为，可得， 所以函数为定义域上的奇函数，所以C正确； 用代替，可得，所以B正确； 任取，且，则，则， 其中的符号不确定，所以函数的单调性不确定， 所以在区间上的最大值不一定为，所以D不正确.故选：ABC. 【针对训练】 1.（25-26高一上·黑龙江·期中）（多选题）已知函数的定义域为．若对任意，都有成立，且当时，均有，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 【答案】BCD 【详解】因为，令可得，即，A不正确； 令可得，令可得，B正确； 令可得，因为，所以，即是奇函数，C正确； 设，则，所以，因为当时，均有，所以，即，所以为增函数；若，则，解得，D正确.故选：BCD. 2．（2025高一·重庆·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数；(2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)或． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以，即，解得或． 1．（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为．故选：B． 2．（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误.故选：C 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即.故选：D. 4．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，由，得， 因此的定义域为，所以函数的自变量满足且，得， 即函数的定义域为.故选：B 5．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 【答案】B 【详解】令，可得，即， 所以． 故选：B． 6．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，在中，函数在上是增函数，， 解得.故选：A. 7．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符；故选：C 8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】任取，从而, 因为，所以，所以，则在R上单调递增． 不等式等价于不等式，即． 因为在R上单调递增，所以，解得．故选：A. 9．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．或0 D． 【答案】A 【详解】时，，则， 进一步分类讨论，时，即时，，整理得，根据条件得； 时，即时，，得，不符题意； 时，，， 进一步分类讨论，时，即时，与不符； 时，即，所以时，有，得，与题意不符；故选：A 10．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，，由， ∴，∴．故选：B． 10．（多选题）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，令，由得： ，故或者故A错误； 对于B，令则由得： 又时， 令，则可得，则，故B正确； 对于C，当时，令，则， 则，故，所以函数是偶函数， 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数，综上可知，函数是偶函数，故C正确； 对于D，若，令，得， 令，则，，则， ，则，，则， ，则，     ，则， ，则， 故，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·江苏淮安·期中）（多选题）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得，故选：AB. 12．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为.故答案为：，. 13．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为.故答案为：. 14．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得，故答案为：. 15．（25-26高一上·山东·月考）若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，所以，故．故答案为： 16．（25-26高一上·江苏·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)偶函数；(4)偶函数；(5)非奇非偶函数 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有,所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有，所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有，所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 17．（2025高一·浙江·专题练习）已知对任意正实数，总有． (1)求的值；(2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）令，则，故． （2）令，则，故． 令，则，又，故． 18．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值；(2)若，求的值；(3)解不等式． 【答案】(1)1(2)或2(3) 【详解】（1）因为，， 所以，因为，所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故，综上，的值为或2 （3）当时，，所以，当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 19．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式；(2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1)(2)单调递增，证明见解析． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立，故. （2）在上单调递增． 证明如下：任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 20．（2025高一·广东·专题练习）已知函数是奇函数，求a的值，并求的单调递增区间． 【答案】，单调递增区间为，，． 【详解】因为是奇函数，所以恒成立， ，， 即，∴，解得 ，定义域为. ， 所以的单调递增区间为，，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 函数的概念与性质（知识清单） 清单01 函数 知识点01 对函数的再认识 1、函数的定义 设A，B是两个 的 集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数y和它 ，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 ，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 。值域是集合B的子集。 2、函数的四个特性： （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A→B 3、函数的三要素： 、 、 。 4、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 5、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则。 6、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。 7、函数相等：两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时，叫作 。也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么他们不是同一函数。 知识点02 表示函数的方法 1、解析法：用 来表示 的方法。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可直接求任意一个x的函数值。 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出 来表示 的方法。 优点：具体易用，不懂数学运算的人也能查表做事； 缺点：不够全面，仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图象法：用 表示 的方法。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 4、作图的步骤： 、 、 。 列表：先找出一些有代表性的自变量，并计算出与这些值相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； 描点：从表中得到一系列的点，在坐标平面上描出这些点； 连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来。 知识点03 简单的分段函数 1、分段函数的定义：如果自变量x在定义域的不同取值范围内时，函数由 的解析式给出，这种函数叫作 。 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整（高斯）函数：（表示不大于的最大整数）； （2）含绝对值符号的函数，如：； （3）自定义函数，如：； 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏。 （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。 清单02 函数的基本性质 知识点01 函数的单调性与最值 以下设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集。 1、函数的最大值 （1）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的 ，a为f(x)的 。 （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最 点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最小值M＝f(a)，称M是函数y＝f(x)的 ，a为f(x)的 。 （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最 点的纵坐标。 3、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 ， 也称f(x)是区间I上 ，如图1。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 ， 也称f(x)是区间I上 ，如图2。 图1 图2 注意：①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定。 4、函数的单调区间 如果函数在区间上是 或 ，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 5、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④判断：根据定义域做出结论。 知识点02 函数的奇偶性 1、奇函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是 ，图象关于 对称。 2、偶函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是 ，图象关于 对称。 3、判断奇偶性的常用方法 1）定义法：如下图 2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于 或 对称。 3）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。分段函数不是几个函数，而是一个函数。因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。 【易错01：函数的三要素考虑不周】 由于函数的值域是由函数的定义域及对应关系（法则）来确定，所以判断两个函数是否表示同一个函数，只需判断定义域和对应关系（法则）是否都相同即可。 【典例】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ①；②；③； ④；⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【针对训练】 1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·湖南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【易错02：抽象函数的定义域】 （1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围。 （2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。 （3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围（值域）为A，求x的取值范围。 （4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域。 【典例】（2025高一·湖南·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【针对训练】 1．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【易错03：换元法没注意新元的范围】 利用换元法求函数的解析式，求函数的定义域、值域的时，一定要注意换元后新元的限制条件。 【典例】（25-26高一上·湖北·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【针对训练】 1.（24-25高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 2．（2025高一上·江苏·专题练习）若，则函数 ． 【易错04：分段函数单调性问题忽略分段处大小比较】 一般地，若函数f（x）在区间[a，b）上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f（x）在[a，c]为增函数，如图1，由图象可知函数f（x）在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此，时不能说f（x）在[a，c]上增函数， 若图象满足如图2，即可说函数在[a，c]上为增函数，即只需f（x）在[a，b）上的最大值不大于f（x）在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论。 图1 图2 【典例】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【易错05：讨论复合函数单调性忽略定义域】 求复合函数的单调性要注意 （1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性。 （2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接。 （3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质。 （4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数。 【典例】（24-25高一下·江苏无锡·月考）函数的单调减区间是 ． 【针对训练】 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【易错06：奇偶性概念理解错误】 若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与的关系。 奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即 【典例】（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)；(2)；(3)；(4). 【针对训练】 1.判断函数的奇偶性． 2．（25-26高一上·江苏·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)；(2)；(3)； (4)；(5) 【易错08：函数的单调性、奇偶性综合应用】 1）在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 2）在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 【典例】（25-26高一上·广西·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式；(2)探究的奇偶性；(3)求不等式的解集． 【针对训练】 1．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 2．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【易错09：抽象函数的简单性质证明】 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解； 【典例】（24-25高一上·浙江金华·月考）（多选题）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【针对训练】 1.（25-26高一上·黑龙江·期中）（多选题）已知函数的定义域为．若对任意，都有成立，且当时，均有，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 2．（2025高一·重庆·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数；(2)若，求的取值范围． 1．（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 6．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．或0 D． 10．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 11．（24-25高一上·江苏淮安·期中）（多选题）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 12．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 13．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 14．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 15．（25-26高一上·山东·月考）若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 16．（25-26高一上·江苏·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1)；(2)；(3)；(4)；(5) 17．（2025高一·浙江·专题练习）已知对任意正实数，总有． (1)求的值；(2)求证：． 18．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值；(2)若，求的值；(3)解不等式． 19．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式；(2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 20．（2025高一·广东·专题练习）已知函数是奇函数，求a的值，并求的单调递增区间． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $