专题4.3 角及其度量 角的比较与应用（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题4.3 角及其度量 角的比较与应用 教学目标 1. 了解角的概念、表示与分类； 2. 知道角度制及其换算； 3. 掌握角的大小比较的方法。 教学重难点 1.重点 （1）角的概念、表示与分类； （2）钟面角、方位角等； （3）角的比较； 2.难点 （1）角的表示； （2）角度制及其换算，角的大小比较的应用。 知识点1 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 2．图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B．C．D． 4．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 5．如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 知识点2 角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练】 1．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．比较图中的大小：因为和是公共边， 在的内部，所以 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 3．计算： 度 分． 4．已知，，则 ．（填“”“”或“”） 5．已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 题型01 角的有关概念辨析 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 D．角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 【变式1】．已知，如果用10倍的放大镜看，那么的度数（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的10倍 D．扩大到原来的100倍 【变式2】．下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 角的表示 【典例1】．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【变式2】．如图，可以表示成∠ 或∠ ，可以表示成 或 ，可以表示成 ． 题型03 角的分类 【典例1】．角可以分为 、 、 三类． 【变式1】．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【变式2】．如图，锐角的个数共有 个. 题型04 钟面角 【典例1】．如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式1】．一块手表如图，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是 ． 【变式2】．如图，钟表上显示，此时分针、时针成 度角． 题型05 方位角 【典例1】．玲玲家在学校的东偏南方向上，则学校在玲玲家的（    ）方向上． A．东偏南 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 【变式1】．一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【变式2】．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，，则点A在点O的（   ） A．北偏西处 B．东北方向处 C．北偏东处 D．北偏东处 题型06 角的比较 【典例1】．下列说法错误的是（    ）. A．比较角的大小，可以把一边对齐采用叠合法 B．比较角的大小可以先测量出它们的度数，再比较 C．角的平分线是一条线段 D．比较角的大小，就是比较它们的度数的大小 【变式1】．用“叠合法”比较与的大小，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【变式2】．比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 【变式3】．如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是(　　) A．∠AOB＜∠COD B．∠AOB＞∠COD C．∠AOB＝∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不能确定 题型07 角度制与单位换算 【典例1】．（1） ； （2） ． 【变式1】．填空题． （1） ；         （2） ； （3） ；         （4） ； （5） = ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 题型08 角度制在角的比较中的应用 【典例1】．若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 【变式1】．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列语句中不正确的个数是（    ）． ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形；③；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 2．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 3．如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 4．下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，下列说法：①就是；②就是；③就是；④就是．其中正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 6．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 7．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 8．已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 10．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 11．钟表上10时15分，时针与分针所夹的角是 度． 12．1周角= 平角= 直角= 度； 13．如图，，，则的度数为 ． 14．已知有公共顶点的三条射线，，，若，则 ． 15．（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 16．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 ． 三、解答题 17．分别用三种形式表示下图中的角： 18．如图，点是直线上一点，比小，求和的度数． 19．把下图中小于平角的角用三个大写字母的形式表示出来： 20．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_____偏_____方向上． (3)超市在学校北偏东方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 21． （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 22．（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 23．学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 角及其度量 角的比较与应用 教学目标 1. 了解角的概念、表示与分类； 2. 知道角度制及其换算； 3. 掌握角的大小比较的方法。 教学重难点 1.重点 （1）角的概念、表示与分类； （2）钟面角、方位角等； （3）角的比较； 2.难点 （1）角的表示； （2）角度制及其换算，角的大小比较的应用。 知识点1 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【分析】本题主要考查角的定义，根据具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断出选项A、B的正误；根据一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，即可判断出选项C和D的正误． 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的． 故选：D． 2．图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 3．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 4．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 5．如图，下列说法不正确的是（    ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 知识点2 角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练】 1．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 /116度20分 /11度40分20秒 /106度25分 /58度57分20秒 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）首先将度转化为度分秒，然后计算减法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先将度转化为度分秒，然后计算除法即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 2．比较图中的大小：因为和是公共边， 在的内部，所以 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 ＜ 【分析】本题考查了角的大小比较．根据两角不重合的边的位置，判断得结论． 【详解】解：因为和是公共边，在的内部，所以． 故答案为：；＜． 3．计算： 度 分． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，度分秒的换算，根据度分秒的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：，． 4．已知，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算以及大小比较，掌握，先统一单位，再比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． 5．已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键．依据，，，即可得到三个角的大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 题型01 角的有关概念辨析 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 D．角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念，熟练掌握角的概念是解题关键． 根据角的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：由两条有公共端点的射线组成的几何图形叫做角，故A、B选项错误； 角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形，故C选项正确，D选项错误． 故选：C． 【变式1】．已知，如果用10倍的放大镜看，那么的度数（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的10倍 D．扩大到原来的100倍 【答案】B 【分析】本题考查了角的大小的概念，明确角度的大小由角的两边张开的程度决定，与边的长短无关是解决本题的关键． 根据角的大小的概念，即“角的大小是指角的两边张开的程度”，由此可求解． 【详解】解：根据角的大小的概念，当用放大镜放大时，只是放大了角的边的长度， 而角的两条边张开的程度并没有发生改变， 故用10倍的放大镜看，那么的度数不变． 故选：B ． 【变式2】．下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致． 根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法错误； ②角的大小与边的长短无关，故原说法错误； ③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故原说法错误； ④有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故角的两边是两条射线，此说法正确； ⑤平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故选项错误； 以上5种说法正确的有1个， 故选：A． 题型02 角的表示 【典例1】．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 【变式1】．如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】．如图，可以表示成∠ 或∠ ，可以表示成 或 ，可以表示成 ． 【答案】 1 B 或 【分析】根据角的表示方法求解即可． 【详解】解：可以表示成或， 可以表示成或， 可以表示成或， 故答案为：1，B，，，或． 【点睛】此题考查了角的表示方法，解题的关键是熟练掌握角的表示方法． 题型03 角的分类 【典例1】．角可以分为 、 、 三类． 【答案】 钝角 直角 锐角 【分析】根据角的分类解答即可． 【详解】解：由题意可知：角可以分成钝角，直角和锐角． 故答案为：钝角，直角，锐角 【点睛】本题考查角的分类，解题的关键是理解角的分类． 【变式1】．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．如图，锐角的个数共有 个. 【答案】5 【详解】解：以OA为一边的角∠AOB=20°，∠AOC=20°+30°=50°，∠AOD=20°+30°+50°=100°（钝角舍去）， 以OB为一边的角∠BOC=30°，∠BOD=50°+30°=80°， 以OC为一边的角∠COD=50°． 锐角共有∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠COD． 故答案为：5． 题型04 钟面角 【典例1】．如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和钟面角问题，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力． 根据实际问题，时针转动速度为度/分钟，分针转动速度为度/分钟，设再次转成直角的时间间隔为x分钟，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间． 【详解】解：设再次转成直角的时间间隔为x分钟，则由题意得： ， 解得． 分钟小时． 故选：C． 【变式1】．一块手表如图，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．熟悉钟面角的特征是解题的关键． 先明确钟面一圈且分12大格，算得每大格；再看8时整时针与分针间隔大格，用算出夹角为． 【详解】解：因为钟面一圈且分12大格， 所以每大格； 因为8时整时针与分针间隔大格， 所以8点整分针与时针的夹角正好是 故答案为：． 【变式2】．如图，钟表上显示，此时分针、时针成 度角． 【答案】75 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：75． 题型05 方位角 【典例1】．玲玲家在学校的东偏南方向上，则学校在玲玲家的（    ）方向上． A．东偏南 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 【答案】C 【分析】本题考查方向角． 根据位置的相对性即可求解． 【详解】解：∵玲玲家在学校的东偏南方向上， ∴学校在玲玲家的西偏北方向上． 故选：C． 【变式1】．一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，解题的关键是掌握和理解方向的相对性，将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离．根据方向的相对性，南偏东对北偏西，角度和距离不变，进行选择即可． 【详解】解：根据分析可知：返回时飞机要按北偏西方向飞行， 故选：C． 【变式2】．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，，则点A在点O的（   ） A．北偏西处B．东北方向处C．北偏东处 D．北偏东处 【答案】D 【分析】本题考查了方位角． 根据题干图作答即可． 【详解】∵， ∴点A在点O的北偏东处 故选：D 题型06 角的比较 【典例1】．下列说法错误的是（    ）. A．比较角的大小，可以把一边对齐采用叠合法 B．比较角的大小可以先测量出它们的度数，再比较 C．角的平分线是一条线段 D．比较角的大小，就是比较它们的度数的大小 【答案】C 【分析】根据角的定义，角的平分线定义，角的有关计算判断即可. 【详解】解：A、角的大小比较,可以采用对齐叠合法，正确； B、角的大小与它们度数的大小是一致的，正确； C、角的平分线是一条射线，错误； D、比较角的大小，就是比较它们的度数的大小，正确； 故答案为C. 【点睛】本题考查了角的定义，角的平分线定义，角的有关计算的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力. 【变式1】．用“叠合法”比较与的大小，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据“叠合法”比较角的大小的规则来判断即可. 【详解】解：用“叠合法”比较角的大小时一边重合，另一边在同一侧． 故选D. 【点睛】本题考查了用“叠合法”比较角的大小，掌握比较角的大小的方法是解题的关键. 【变式2】．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 【变式3】．比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 【答案】A 【分析】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小．如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法直接填空即可． 【详解】解：比较与时，把它们的顶点A和边重合，把和放在AB的同一侧，若，则AD落在的内部． 故选：A． 【变式4】．如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是(　　) A．∠AOB＜∠COD B．∠AOB＞∠COD C．∠AOB＝∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不能确定 【答案】B 【分析】根据角的加减法则进行运算，然后进行比较． 【详解】解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立， ∵∠AOD＞∠BOC， ∴∠AOD-∠BOD＞∠BOC-∠BOD， 即∠AOB＞∠COD． 故选B． 【点睛】本题属于角的比较和运算，做题时需要细心观察，才能发现∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD． 题型07 角度制与单位换算 【典例1】（1） ； （2） ． 【答案】 34 22 12 62 7 30 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握的换算是解题的关键． 根据度分秒的转换规律求解即可． 【详解】（1），， ． 故答案为34；22；12． （2），， ． 故答案为：62；7；30． 【变式1】．填空题． （1） ；         （2） ； （3） ；         （4） ； （5） = ． 【答案】 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 【分析】本题主要考查了度分秒的换算． （1）根据大单位化成小单位要乘以60进制，列出算式进行计算即可； （2）根据小单位化成大单位要除以60进制，列出算式进行计算即可； （3）度与度相加，分与分相加，若满60，向它前面的单位进1，进行计算即可； （4）度与分分别乘以4，然后把满60的向它前面的单位进位即可； （5）先把46.8除以6，再把小数度乘以60化成分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：24； （2）， 故答案为：0.2； （3） ， 故答案为：75，10； （4） ， 故答案为：102，24； （5） ， 故答案为：7.8，7，48． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是进制． （1）相同单位分别相加，满向上一位进即可； （2）先借化为，再借化为，即化为，然后同一单位分别相减即可； （3）先将每一个单位分别乘以，满的部分向上一位进即可； （4）从度开始计算，余数乘以化成下一个单位继续除以进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 题型08 角度制在角的比较中的应用 【典例1】．若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．∠1，∠2，∠3互不相等 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ∠1，∠2，∠3互不相等， 故选：． 【变式1】．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度单位的换算和大小比较，解题的关键是掌握角度单位的换算方法． 将换算成，再比较角的大小关系． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 一、单选题 1．下列语句中不正确的个数是（    ）． ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形；③；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】由两条具有公共端点射线组成的图形叫做角，故①错误； ②正确； 4.5°＝4°＋0.5×60′＝4°30′，故③不正确； ④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的定义和性质，从而完成求解． 2．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的概念，角的大小由两边张开的程度决定，与边的长度无关．放大镜仅放大物体的长度，不会改变角的两边张开的程度． 【详解】解：用放大镜观察角时，虽然边的长度被放大，但角的两边张开的程度（即角度）保持不变．因此，原角为30度，放大后仍为30度． 故选：A． 3．如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 【答案】A 【分析】本题主要考查的是方向角的概念．根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：由图形可知：港口B相对货船A的位置可描述为南偏西方向，相距40海里处． 故选：A． 4．下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的换算，角度换算要牢记度、分、秒之间的换算关系，并注意进位和借位的规则，以确保计算准确． 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误： C．，故错误； D．，故正确． 故选：D． 5．如图所示，下列说法：①就是；②就是；③就是；④就是．其中正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，解题的关键是熟练掌握角的不同的表示方法，注意当一个顶点处有几个角时，不能用一个大写字母表示这个角．根据角的表示方法进行判断即可． 【详解】解：①就是，此说法正确； ②就是，原说法错误； ③就是，原说法错误； ④就是，原说法错误； 综上分析可知，正确的只有①． 故选：A． 6．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 7．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的比较，根据角的大小比较即可得到结论． 【详解】解：如图， ∴， 故选：A 8．已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】熟记钝角的特点是解决此题的关键． 主要利用钝角的定义，钝角都大于且小于计算． 【详解】解：因为，是两个钝角（钝角都大于且小于）， 所以一定大于且小于； 则一定大于且小于， 故正确． 故选：B． 二、填空题 9．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 10．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查角的计算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进率及四测运算法则：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减．做加法时，秒够进分，分够进度；做减法时，不够减的，从上一级借，再进行减法运算．在乘法运算中，从最低位开始乘所给的因数，够则进；除法运算中，按从高到低的顺序相除，余数乘，再加到下一级单位中进行计算．据此解答即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 11．钟表上10时15分，时针与分针所夹的角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，涉及角的和差运算；先计算出10时时针与分针所夹的角为，过15分钟，分针转了，此时时针转了，则10时15分，时针与分针所夹的角为10时时针与分针的夹角加上经过15分钟分针所转的角，再减去时针15分钟所转的角． 【详解】解：分针1分钟转，时针1分钟转； 在10时，时针与分针所夹的角为，经过15分钟，分针转了，时针转了， ∴10时15分，时针与分针所夹的角是； 故答案为：． 12．1周角= 平角= 直角= 度； 【答案】 2 4 360 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度．根据度数关系，找倍数关系． 【详解】1周角=2平角=4直角=360度. 故答案为2，4，360. 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容． 13．如图，，，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考查了角的和差，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．根据图形可得，求得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：． 14．已知有公共顶点的三条射线，，，若，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了角的计算，解题关键：要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【详解】解：当在内部， ∵， ∴； 当在外部， ∵， ∴； ∴为或． 故答案为：或． 15．（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 故答案为：． （2）以A为顶点的角有； 故答案为：． （3）图中的角为：，，共7个． 故答案为：． 16．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 ． 【答案】 10 450° 【分析】(1)∠AOE＝90°，故图中所有的角都是不大于90°的角； (2)将所有的角相加，发现有的角相加等于∠EOA，即和为90°，而有的角相加等于∠BOD，即和为45°，将这样的角凑在一起计算，即可求出所有角的度数. 【详解】不大于 90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10个； 它们的度数之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠ EOB＋∠BOA)＋[(∠DOC＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°. 故答案为10；450°. 【点睛】此题主要考查角的表示与和差关系，解题的关键是熟知角的定义运算法则. 三、解答题 17．分别用三种形式表示下图中的角： 【答案】∠ABC，∠1，∠B；∠MON，∠α，∠O；∠AOB，∠2，∠O 【分析】根据角的三种表示方法写出即可． 【详解】解：图1中的角可以表示为：∠ABC，∠1，∠B； 图2中的角可以表示为：∠MON，∠α，∠O； 图3中的角可以表示为：∠AOB，∠2，∠O． 【点睛】此题考查的是角的表示，掌握角的三种表示方法是解决此题的关键． 18．如图，点是直线上一点，比小，求和的度数． 【答案】 【分析】根据平角的定义以及角的和差关系解决此题．本题主要考查平角、角的和差关系，熟练掌握平角的定义、角的和差关系是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵比小， ∴． ， ． ． ． 19．把下图中小于平角的角用三个大写字母的形式表示出来： 【答案】∠AOC、∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB；∠MON，∠MOE，∠MOF，∠NOE，∠NOF，∠EOF；∠AEP，∠PEB，∠AFQ，∠QFB 【分析】根据用三个大写字母表示角写出图中小于平角的角即可． 【详解】解：图1中所有小于平角的角有：∠AOC、∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB； 图2中所有小于平角的角有：∠MON，∠MOE，∠MOF，∠NOE，∠NOF，∠EOF； 图3中所有小于平角的角有：∠AEP，∠PEB，∠AFQ，∠QFB． 【点睛】此题考查的是用三个大写字母表示图中小于平角的角，掌握角的表示方法是解决此题的关键． 20．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_____偏_____方向上． (3)超市在学校北偏东方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)西，北 (3)画图见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （）根据图形及方向角的定义解答即可； （）根据图形及方向角的定义解答即可； （）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为：正南，； （2）解：书店在学校西偏北方向上， 故答案为：西，北； （3）解：超市位置如图所示： 21． （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 【答案】（1）内部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜ 【分析】（1）根据图形及角度关系即可判断； （2）根据图形及角度关系即可判断； （3）根据图形及角度关系即可判断． 【详解】由图可知：（1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的内部，所以∠AOC＜∠AOB 故答案为：内部；＜； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC=∠AOD 故答案为：=； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA． 故答案为：∠BOC；外部；＜． 【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解． 22．（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】（1）见解析  （2），，  （3）  （4）> 【分析】本题考查两点间线段最短，度分秒的换算，角度的加法和比较大小； （1）连接和交于点O，则点O即为所作； （2）利用度、分、秒的进位制是计算即可； （3）根据度、分、秒的减法运算； （4）先把化为，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所作； （2）， 故答案为：，，； （3）， 故答案为：； （4）， ∵， ∴， 故答案为：． 23．学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 【答案】(1)； (2)第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； ． (3)时分或时分． 【分析】本题考查了钟面角的知识，熟悉钟表中各个指针的速度是解题关键． （1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可； （2）根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解； （3）根据题意，设显示的时间是时分， 当时，，计算即可； 当时，，计算即可． 【详解】（1）表盘上一大格的角度是， 图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是， 时针和分针中间有三个半大格， 所成的夹角为， 故答案为：． （2）第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； 该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，结合该电子表盘可知，这个时刻对应的时间为． （3）一小时后，分针的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动， 若要，则时针在一小时后会经过刻度或刻度并反向运动， 若时针一开始在刻度之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度的位置， 故时针开始的位置在刻度之间． 设显示的时间是时分， 当时，， ， 当时，， ， 故具体的时间是时分或时分， 表盘上不足一分钟的时间不显示， 故当在处时，电子表盘所显示的时间是时分或时分 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $