精品解析：江苏省无锡市太湖高级中学2025-2026学年高一上学期9月学情调研数学试题

江苏省无锡市太湖高中2025-2026学年高一年级9月学情调研 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分别求集合，再求. 【详解】，得或，即， 且，所以. 故选：D 2. 已知，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先判断由能否推出，结合充分条件的定义判断是否为的充分条件，再判断由能否推出，结合必要条件的定义判断是否为的必要条件，由此可得结论. 【详解】取，，此时，但， 所以由不能推出， 所以不是的充分条件， 由，且，由不等式性质可得， 所以可推出， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 3. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的最小值即可得． 【详解】，的最小值是，因此， 故选：B． 4. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合之间的关系，确定集合的元素．列举出满足条件的集合得到个数. 【详解】因为⫋，所以集合中至少含有0，且集合中最多含有3个元素， 所以满足条件的集合为，共7个. 故选：C. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项. 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 6. 若集合中的元素是的两条边的边长，则（ ） A. 一定不是等腰三角形 B. 一定不是直角三角形 C. 一定不是等边三角形 D. 一定不是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 8. 已知实数满足，且，求的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由可得：，代入，得，令 ，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】由方程 ，可得： ， 代入所求表达式得： ， 令 ，则： ， 由 ，所以， 因为，所以，所以 . 由基本不等式得： ， 当且仅当“”，即“”，即时取等号. 所以最小值为 8. 故选：D 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空集的性质即可求解AB，根据集合交和并的性质即可求解CD. 【详解】对于A,空集为不含任何元素的集合，故，故A错误， 对于B, 空集是任意集合的子集，故，B正确， 对于C，若，则，C正确， 对于D, 若，则，D正确， 故选：BCD 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由可得，故A正确， 对于B,由，则，故B错误， 对于C,当时，则，当时，则，此时，则，综上可得，故C正确， 对于D,由可得，当时，则，当，则，故，进而，综上可得，故D正确， 故选：ACD 11. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程的三个根分别为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】观察图象可得函数的零点，由此可得方程的根，由此判断B，由此可得可化为，结合图象可得当时，，由此可得，判断A，再结合图象判断CD. 【详解】由图象可得函数的零点从小到大依次为， 所以的三个根分别为，B正确， 所以， 所以可化为， 当时，，，， 由图象可得当时，，即， 所以，A错误， 观察图象可得不等式的解集为或，C正确， 不等式的解集为或，D错误， 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题，．则命题的否定为：__________． 【答案】，. 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为：，. 故答案为：，. 13. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可. 【详解】若,得,符合题意； 若，由题知，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 15. 已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】存在, 【解析】 【分析】 ，分，讨论，并满足互异性，列式求解. 【详解】解:， 或， ， ∴存在实数，使得. 【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题. 16. 设全集，集合，其中. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据集合等式可得，从而可得关于的不等式，从而可求其取值范围； （2）根据可得，再根据条件关系可得集合间的包含关系，求解不等式即得的取值范围. 【小问1详解】 因或，故， 因为，故，故，解得. 【小问2详解】 因为，故即. 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集， 故，故. 17. 某校要建造一间的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为1200元，房屋侧面的造价为800元，屋顶的造价为10000元.如果墙高，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长为多少时，长方形小房的造价最低？最低造价是多少？ 【答案】当长为时造价最低，最低总造价是元. 【解析】 【分析】设底面的长为，宽，表示出房屋总造价为，利用基本不等式即可得出． 【详解】设底面的长为，宽，则， 设房屋总造价为，由题意可得： ， 由，且. 当且仅当，即，此时造价最低. 综上：当长为，宽为时，最低总造价是元. 18. （1）若，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式，其中. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法求解. （2）按分类讨论求解含参的一元二次不等式. 【详解】（1）由，得，当且仅当时取等号， 则，解得，因此， 又，当且仅当时取等号， 则，而，解得， 所以的取值范围分别为. （2）当时，解不等式，得； 当时，，解方程，得， 因此不等式的解为或； 当时，，不等式恒成立，解集为； 当时，，不等式，即，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 对于集合，集合. （1）若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； （2）若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 【答案】（1）； （2）（i）. （ii）中元素的个数为，所有元素为. 【解析】 【分析】（1）根据差集的定义求解； （2）（i）（ii）根据的定义求解. 【小问1详解】 因为，，，所以； 因为，，，所以. 【小问2详解】 （i）已知， 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 所以. （ii）若集合有个元素，集合有个元素， 则中的每一个元素是由中的一个元素和中的一个元素组成的有序数对， （其中，）. 因此，中元素的个数为，所有元素为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市太湖高中2025-2026学年高一年级9月学情调研 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若集合中的元素是的两条边的边长，则（ ） A. 一定不是等腰三角形 B. 一定不是直角三角形 C. 一定不是等边三角形 D. 一定不是钝角三角形 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知实数满足，且，求的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程的三个根分别为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题，．则命题的否定为：__________． 13. 若，则的最小值为__________. 14. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 15. 已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 16. 设全集，集合，其中. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 某校要建造一间的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为1200元，房屋侧面的造价为800元，屋顶的造价为10000元.如果墙高，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长为多少时，长方形小房的造价最低？最低造价是多少？ 18. （1）若，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式，其中. 19. 对于集合，集合. （1）若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； （2）若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $