23.4中位线（题型专练）数学华东师大版九年级上册

23.4中位线 题型一 与三角形中位线有关的线段求解问题 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，相似三角形判定与性质等知识．添加合适辅助线，构造平行线是解题的关键． 如图：作，交于N，交于M.设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图：作，交于N，交于M． 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， 又 是的中位线， ， ． 故选：C． 2．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）三角形的三条中位线长分别为4、5、6，则原三角形的周长为（   ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线，根据中位线定理分别得到三角形三边的长度，从而得到三角形的周长． 【详解】解：∵三角形的三条中位线长分别为4、5、6， ∴三角形三边的长分别为：8、、， ∴三角形的周长为：， 故选：D． 3．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（    ）． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，由三角形中位线定理可得，再由菱形的性质即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：D． 4．（13-14八年级下·西藏·期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点是的中点；若，则的长为 (      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质．由平行四边形的性质可得点O为的中点，进而由点E是的中点可得为的中点，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选：B 5．（19-20八年级下·云南红河·期末）在中，，，，D，E分别是的中点，则（   ） A．13 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据D，E分别是的中点，得到是的中位线，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选B． 6．（2025九年级上·辽宁·专题练习）如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（   ） A．2 B．3.5 C．7 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，由条件确定出为的中位线是解题的关键．由菱形的周长可求得的长，再利用三角形中位线定理可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且O为的中点． ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选B． 7．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与交于点，点分别为的中点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系以及，即可求解． 【详解】解：点分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 8．（19-20八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，对角线，相交于点，点为边中点，若，则菱形的周长等于 ． 【答案】64 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握菱形的性质是关键． 根据菱形的性质得到，由点为边的中点，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵点为边的中点， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，点M是边的中点，平分，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）证明，即可求证； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴是的中位线， ∴． 题型二 与三角形中位线有关的角度求解问题 1．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，在中，点D是边中点，点E是边中点，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，易得是的中位线，进而得到，根据三角形的内角和定理和平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵点D是边中点，点E是边中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，点在上，将分割成两个等腰三角形和，和分别是和的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中位线，平行线的性质． 根据等腰三角形的定义求出，，证明是的中位线，可知，即可得到． 【详解】解：∵，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴ ∵和分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：A． 3．（20-21八年级下·广西梧州·期末）如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D，E，F分别是的中点，可得都是的中位线，利用中位线的性质即可求解题目． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， 同理， ∴． 故选：C． 4．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）在中，D是的中点，E在线段上，与交于点F，且．已知， ．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，平行线分线段成比例，等腰三角形三线合一． 取线段的三等分点G，过F作交于H，可知，可知是的中位线，根据平行线分线段成比例得到F是的中点，根据等腰三角形三线合一得到H是的中点，可知是的中位线，即，最后根据三角形内角和计算即可． 【详解】如图，取线段的三等分点G，过F作交于H， ∵， ∴， ∴ ∵D是的中点， ∴是的中位线， 即， ∴， 即F是的中点， ∵， ∴ ∵ ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴ 5．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，连接，点、分别是、的中点，连接．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与三角形中位线定理，解题的关键是利用平行四边形对边平行的性质以及三角形中位线平行于第三边的性质来推导角度关系． 利用平行四边形对边平行的性质，求出，根据三角形中位线定理，得出，进而求出的度数． 【详解】解：在中，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型一 与三角形中位线有关的证明 1．（18-19八年级下·湖南张家界·期中）如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，三角形的中位线定理等，根据题意作出图形是解题的关键； 利用三角形的中位线定理推出，，，，进一步可证四边形是平行四边形，再利用平行线的性质和推出，可证平行四边形是矩形． 【详解】如图，在四边形中，，则， E，G分别为，的中点， 是的中位线， ， 同理得，，，， ，， ， 同理可求， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 故选：B． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 3．（辽宁省沈阳市2019-2020学年下学期八年级阶段测试（二）数学试卷）如图，在中，点分别是边的中点，连接．点在线段的延长线上，连接，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积为________． 【答案】(1)详见解析 (2)27 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得，，再结合已知条件得到，因此可得四边形是平行四边形，进而即可得证； （2）根据四边形是平行四边形，得到，由，求出，，在中，根据勾股定理得到，因此可得，根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：点分别是边的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 在中，， 点分别是边的中点， ， ， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4．（20-21八年级下·陕西延安·期末）如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，进而证明结论． 【详解】证明：∵点D、点E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴． 5．（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①②或①③，证明见解析 【分析】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定： （1）利用三角形中位线即可证明； （2）选①②：根据四边形为平行四边形，平分，可得四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；选①③：根据四边形为平行四边形，，可得四边形是矩形，再由及三角形中位线的性质可得，从而可证四边形是正方形；选②③：不能证明四边形是正方形． 【详解】（1）分别是的中点， 都是的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）选择①②： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 又∵， 四边形是正方形． 选择①③： 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， 点分别是的中点， 是的中位线， 四边形是正方形． 选②③： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 点分别是的中点， 是的中位线， 故四边形不一定是正方形． 6．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，已知在中，D，E，F分别是的中点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据线段中点判定出三角形的中位线，根据三角形中位线的性质，得出平行线，最后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）由角平分线和平行线的性质得出相等角，利用等角对等边得出邻边相等，证明平行四边形是菱形，然后求解即可． 【详解】（1）解： ，分别是 的中点， 是的中位线， ，， 是的中点， ， ， ，即 ， 四边形是平行四边形； （2）解：平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 平行四边形是菱形， 是的中点， ∴， ， 所以，四边形的周长为12． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的判定，三角形的中位线的性质和判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 首先得到，是的中位线，得到，，推出四边形是平行四边形，然后结合，得到，即可证明出四边形是菱形． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴点E，F分别是，的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 8．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，D、E、F分别为边、、的中点．证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和三角形中位线定理中的关系．数量关系：中位线的长度等于所对应的边长的一半．位置关系：中位线与对应边是平行的关系．先由中位线定理得到，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行平行四边形的判定． 【详解】证明：∵D、F分别为边、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 9．（20-21九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，、分别是、的中点．且，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由、分别是、的中点，，易证得，，即可判定四边形是平行四边形，又由，即可证得四边形是菱形； （2）由，易证得是等边三角形，又由，即可求得菱形的高，继而求得菱形的面积． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 且， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：，且在菱形中，， ， ∵， 是等边三角形， ，即菱形的边长为4， 过点E作于点H， 则， 由勾股定理得：， 菱形的面积为：． 题型二 三角形中位线的实际应用 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，首先证明出是的中位线，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：， ∴点A是中点，点B是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ． 故选：． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 4．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵点，是，的中点 ∴米， 故选：D． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 【答案】52 【分析】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线平行且等于底边的一半是解题的关键． 根据是的中位线，即可作答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：52． 7．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 8．（2025·云南昆明·三模）如图，学校有一块空地形状为等边三角形． 已 知 D，E 分别是的中点，测得，现在后勤部打算将四边形用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是 m． 【答案】25 【分析】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， 又∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴需要篱笆的长是， 故答案为：． 题型三 与三角形中位线有关的辅助线作法 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（  ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理，正确得出的长是解题关键．直接利用三角形中位线定理进而得出，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出以及的长． 【详解】解：连接． ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， 又 D，E 分别为，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设， ∵G 是的中点， ∴， 在 中，由勾股定理，得， ∴，即， 解得 （负值已舍去）， ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理， 得，即（负值已舍去）． 故选：C． 2．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】2 【分析】通过连接辅助线、，利用三角形中位线定理得出与的数量关系，再根据矩形性质确定的最值，进而求出的最值差． 【详解】解：连接、． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 在矩形中，，． 当与重合时，，此时最小，； 当与重合时，，此时最大，． ∴长度的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）四边形的形状是________，证明你的结论． 【答案】平行四边形，理由见详解 【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确构造三角形并正确运用中位线定理，难度不大． 连接，根据三角形的中位线定理得到，，推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形的形状是平行四边形． 证明：如图，连接， ∵、分别是、中点， ∴， 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．（2020八年级·全国·竞赛）如图，已知四边形中，，分别为与的中点，连接与的延长线相交于，与CD的延长线相交于． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，连接，取的中点，连接，，则分别是和的中位线，根据平行线的性质定理即可证明，掌握知识点的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：连接，取的中点，连接，， ∵，， ∴，， 同理，，                    ∴， ∴，                          ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用中位线定理证明，,，，从而可得，，于是得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得与互相平分； （2）先证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，从而可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、、、， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴，； ，， ，． 四边形为平行四边形． 与互相平分； （2）解：，理由如下： 与互相平分，和垂直， 四边形为菱形， ∴， ， 即． 题型一 三角形中位线的综合应用 1．（2025九年级·宁夏·专题练习）（1）用数学的眼光观察 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．求证：． （2）用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）用数学的语言表达 如图③，在中，，点D在上，，M是的中点，N是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接．若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由三角形中位线的定义和性质得是的中位线，是的中位线，则，，再由等量代换得，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，，再由平行线的性质得，，然后由（1）可知，即可得出结论； （3）观察图形可猜想为直角三角形，结合前面小题的解题过程和结论可联想出辅助线画法．连接，取的中点P，连接、，由三角形中位线定理得，，，，再利用证是等边三角形．得，则，然后由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图①所示， ∵P是的中点，N是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （3）解：是直角三角形，理由如下： 如图③，取的中点P，连接、， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而可得，根据可得，则可得，进而可得． （2）延长使，易得是的中位线，则．再证，则可得，进而可得． （3）设与的交点为G，过B点作于H点．由等腰三角形的性质可得，，进而可得．由可得．由（2）得，，进而可得，．由，可得．由可得，进而可得，，进而可得，则可得，． 【详解】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得线段． ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下； 如图，延长使． ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得线段． ∴，， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：设与的交点为G，过B点作于H点． ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， 设．则， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知 ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，直角三勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4中位线 题型一 与三角形中位线有关的线段求解问题 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）三角形的三条中位线长分别为4、5、6，则原三角形的周长为（   ） A． B．9 C． D． 3．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（    ）． A．2 B．4 C．8 D．16 4．（13-14八年级下·西藏·期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点是的中点；若，则的长为 (      ) A． B． C． D． 5．（19-20八年级下·云南红河·期末）在中，，，，D，E分别是的中点，则（   ） A．13 B．6 C．4 D．3 6．（2025九年级上·辽宁·专题练习）如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（   ） A．2 B．3.5 C．7 D．14 7．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与交于点，点分别为的中点，连接．若，则 ． 8．（19-20八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，对角线，相交于点，点为边中点，若，则菱形的周长等于 ． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，点M是边的中点，平分，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)求的长． 题型二 与三角形中位线有关的角度求解问题 1．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，在中，点D是边中点，点E是边中点，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，点在上，将分割成两个等腰三角形和，和分别是和的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级下·广西梧州·期末）如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）在中，D是的中点，E在线段上，与交于点F，且．已知， ．求的度数． 5．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，连接，点、分别是、的中点，连接．求的度数． 题型一 与三角形中位线有关的证明 1．（18-19八年级下·湖南张家界·期中）如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．（辽宁省沈阳市2019-2020学年下学期八年级阶段测试（二）数学试卷）如图，在中，点分别是边的中点，连接．点在线段的延长线上，连接，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积为________． 4．（20-21八年级下·陕西延安·期末）如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 5．（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 6．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，已知在中，D，E，F分别是的中点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求四边形的周长． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：四边形是菱形． 8．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，D、E、F分别为边、、的中点．证明：四边形是平行四边形． 9．（20-21九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，、分别是、的中点．且，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型二 三角形中位线的实际应用 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 7．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 8．（2025·云南昆明·三模）如图，学校有一块空地形状为等边三角形． 已 知 D，E 分别是的中点，测得，现在后勤部打算将四边形用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是 m． 题型三 与三角形中位线有关的辅助线作法 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（  ） A．4 B． C． D．5 2．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）四边形的形状是________，证明你的结论． 4．（2020八年级·全国·竞赛）如图，已知四边形中，，分别为与的中点，连接与的延长线相交于，与CD的延长线相交于． 求证：． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 题型一 三角形中位线的综合应用 1．（2025九年级·宁夏·专题练习）（1）用数学的眼光观察 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．求证：． （2）用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）用数学的语言表达 如图③，在中，，点D在上，，M是的中点，N是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接．若，试判断的形状，并进行证明． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $