3.1.2 排列与排列数（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.1.2 排列与排列数 题型一 排列的意义 1．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 3．（多选）（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 【答案】ACD 【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答. 【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同,与顺序有关，是排列问题； 对于D，从数字从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：ACD. 题型二 排列数及其计算 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义即可得到答案. 【详解】根据排列数的定义得可以表示为. 故选：B. 2．（24-25高二下·广西河池·期末）一个数阵有行列，第一行中的个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列的定义结合排列数的计算求解. 【详解】由于个数互不相同，故将这个数全排列共有种排序方法，而一个数阵有行列，要使任意两行的顺序都不相同，故有的值最大为. 故选：D. 3．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 【答案】24 【分析】根据排列数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为：24 题型三 应用排列数公式的证明问题 1．（22-23高二·全国·课堂例题）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 2．（2023高二·江苏·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用排列数公式将展开，即可证结论. 【详解】， ， ， 综上，. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 题型四 应用排列数公式解方程（不等式）、化简 1．（多选）（24-25高二下·江苏扬州·期中）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可. 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 2．（23-24高二下·广东清远·期中）一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则 . 【答案】 【分析】由已知可得出，可得出关于、的方程组，即可解得、的值，从而得解. 【详解】由题意可得， 因为、均为正整数且，所以也为正整数，且， 又且与均为质数，所以，解得，所以. 故答案为：. 3．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)348； (3)7. 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 4．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【分析】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 题型五 简单的排列应用问题 1.（24-25高二下·湖南长沙·期末）从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据排列数的计算公式可求得排列种数. 【详解】根据题意，从中取出2个字母的所有排列， 共有种. 故选：D. 2．（24-25高二下·北京朝阳·期末）2025北京书市的主展场设在朝阳公园，公园内设置了十大展区，分别是：主题出版物展区､出版精品展销区､京津冀及其他地区文旅展示区､“旧书新知”专区､实体书店街区､儿童精品阅读区､特价书展销区､潮卖场､阅读新场景区和动漫电竞区.某市民决定从这些展区中选出两个不同展区分别安排在上､下午进行深度游览体验，则该市民不同的安排种数为（    ） A．45 B．90 C．100 D．180 【答案】B 【分析】理解题意，只需用排列数即可表示该市民不同的安排种数. 【详解】依题意，该市民只需从这十大展区中选出两个并在上午和下午进行排序即可， 故不同的安排种数为. 题型六 全排列应用问题 1.（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 2．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 题型七 古典概率计算问题 1．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由排列数确定总的基本事件个数，再分两类情况按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，或按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，讨论2号灯亮的情况，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先后按动这四个开关中两个不同的开关，有=12种方法. 2号灯亮有两类情形.第一类，按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）； 第二类，按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）. 故所求事件的概率为. 故选：B 题型一 “在与不在”问题 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】根据位置优先，先安排第一个位置，再排其他位置，利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知：先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法， 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【分析】利用间接法，将首位为的情况去掉即可求解. 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，共有种选法， 若首位为，从剩下的五个数字中任选个数字，共有种选法， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选： 3．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（   ） A．450 B．480 C．504 D．618 【答案】C 【分析】根据题意，可分为甲不是最后一名和不是第一名也不是最后一名，两种情况讨论，结合排列数公式，即可求解. 【详解】由题意，若甲不是最后一名，有种不同的方法； 若甲不是第一名也不是最后一名，则， 所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法. 故选：C. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】先确定个位的排法数，再确定百位和十位的排法数，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】用数字组成没有重复数字的三位奇数，可分为两步完成， 第一步，先确定个位数字，个位可能为或或，有种方法， 第二步，确定十位和百位数字，有种方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的奇数的个数为． 故选：D 5．（2025高三·全国·专题练习）从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案共有（    ）. A．94种 B．180种 C．240种 D．286种 【答案】C 【分析】根据分步计数原理得到结果． 【详解】从不同学科参赛情况为切入点，先看化学比赛，甲、乙两人都不能参加，参加者只能在其余4个人中选择，有4种选法. 然后看其余三个科目，可以在剩余的5个人中任意选3人参加，有种. 共有（种）. 故选：C. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）有4名男生，5名女生排成一行，甲不在正中间也不在两端的排法种数为（    ） A．336 B．7200 C．40320 D．241920 【答案】D 【分析】方法一：根据“甲不在正中间也不在两端”的条件排甲，共6种排法，剩余8人有种排法，根据分步乘法计数原理相乘求解. 方法二：排中间和两端3个位置，从除甲以外8人中选3人，共种，剩余6个人排剩余6个位置，共种，根据分步乘法计数原理相乘求解. 方法三：9人全排列共种排法，根据甲在每个位置机会均等，排除中间和两端3个位置得出排法数. 方法四：9人全排列共种排法，固定甲在中间、左端或右端的排法数分别为，则甲不在正中间和两端的排法数为. 【详解】方法一（元素分析法）： 先排甲，有6种排法，再排剩余8人，有种排法，故共有种排法． 方法二（位置分析法）： 先排正中间和两端，有种排法，再排包括甲在内的剩余6人，有种排法，故共有 种排法． 方法三（等机会法）： 9个人全排列，有种排法，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在正中 间及两端的排法种数是． 方法四（间接法）： 9个人全排列，有种排法，甲排在正中间，剩余8人全排列有种排法，同理甲在最左 端或最右端，剩余8人全排列，也都有种排法，故甲不在正中间及两端的排法种数是 ． 故选：D. 7．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为 【答案】156 【分析】考虑个位数字是否为0，利用分类加法计数原理即可求得答案. 【详解】若个位数字为0，则其余数位上的数字可从其余5个数字里任选3个排列， 此时符合题意的偶数有（个）； 若个位数字为2或4，首位不能为0，则符合题意的偶数有（个）； 故符合题意的四位偶数共有（个）， 故答案为：156. 题型二 “邻与不邻”问题 1．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）3名学生和2名老师随机排成一行，2名老师不相邻，则不同排法的种数为 ． 【答案】72 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题列式求解. 【详解】先排3名学生，有种方法，再把2名老师插入间隙中，有种方法， 所以不同排法的种数为. 故答案为：72 3．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有 种不同的安排方法.（用数字作答） 【答案】72 【分析】采用插空法求解. 【详解】先排3位女同学，有种方法，再在3位女同学之间形成的4个空位中任选2个安排男同学去坐，有种方法， 根据分步乘法计数原理有种不同的安排方法. 故答案为：72 4．（25-26高二上·全国·单元测试）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展．若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序． (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1)96 (2)48 【分析】（1）根据题意，先排国画，其他全排即可； （2）根据排列捆绑问题，先把油画和插画捆绑，再进行全排即可. 【详解】（1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术作品中选一件排在第一个展出，剩下的四件全排列，则共有种不同的安排方案． （2）相邻问题利用捆绑法．若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术作品捆绑在一起，看作一件作品，再与其余三件艺术作品全排列， 故有种不同的安排方案（注意捆绑的组内还需全排列）． 题型三 排列综合问题 1．（24-25高二下·吉林·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可. 【详解】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C 2．（24-25高二下·云南保山·阶段练习）两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（   ） A．774种 B．796种 C．816种 D．834种 【答案】C 【分析】根据捆绑法和插空法即可求解． 【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法， 再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有种排法，即此时排法有种， 而甲站最左边的排法有种， 故符合条件的排法共有种， 故选：C． 3．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. 【详解】（i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 4．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 1．（2025·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【分析】依题意可分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，进而结合排列数公式即可求解． 【详解】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数， 即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数， 因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况： ①第一行为奇数，第二行为偶数， ②第一行为偶数，第二行为奇数， 所以共有（种）不同的填法． 故选：C． 2．（24-25高二下·天津·期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 【答案】 36 108 【分析】利用特殊元素优先选择，即可求解第一空；利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解第二空. 【详解】选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； 5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 故答案为：36；108 3．（2025·全国·模拟预测）某班级准备了五种课外活动供同学们选择，活动时间分别为，现有三位同学依次选择一种活动并完成，要求三位同学所选活动不同．记表示前两位同学选择的活动时间的平均数，记表示三位同学选择的活动时间的平均数，则与的比值大于1的概率为 ． 【答案】 【分析】先计算出三位同学选择的活动时间的所有情况可能数，再分类计算出符合要求的所有情况数后即可得. 【详解】记三位同学选择的活动时间依次为，则共有种情况； 由题可令，即， 当时，， 满足不等式的数组有， 共种情况． 当时，， 满足不等式的数组有，共种情况． 当时，，满足不等式的数组有，共种情况． 当时，，不存在满足不等式的数组． 当时，，不存在满足不等式的数组． 综上，满足条件的共有26种情况，故． 故答案为：. 4．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 【答案】(1)24 (2)6 (3)12 【分析】（1）根据给定条件，利用全排列列式计算. （2）（3）根据给定条件，利用特殊位置法列式计算. 【详解】（1）能组成的四位数的个数为. （2）能组成可以被5整除的四位数，其个位数字为5，所求个数为. （3）能组成为偶数的四位数，其个位数字为2，4之一，所求个数为. 5．（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 【答案】(1)种 (2)种 (3)种． (4)种 【分析】（1）先考虑甲的位置，再全排列即可求解， （2）根据相邻问题捆绑法即可求解， （3）根据不相邻问题插空法即可求解， （4）根据全排列，结合正难则反即可求解. 【详解】（1）由于甲不站排头也不站排尾，所以甲要站在除去排头和排尾的四个位置， 余下的五个位置使五个元素全排列， 根据分步计数原理知共有种； （2）两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种 （3）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法， 首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果， 再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有， 根据分步计数原理知共有种． （4）甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有种． 6．（24-25高二下·青海海南·期末）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】(1)144 (2)960 (3)4896 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 【详解】（1）依题意，不同排法种数是. （2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. （3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 【答案】(1)300 (2)156 (3)237 【分析】（1）方法1：先排首位（不能为0），再排后面三位，利用分布乘法计数原理求解. 方法2：分组成的四位数有无数字0讨论，利用分类加法计数原理求解. （2）分个位数字是否为0进行讨论，利用分类加法计数原理求解. （3）分别求个位、十位、百位、千位比2024大的数可得答案. 【详解】（1）方法一  先从1，2，5，6，7中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． 方法二  当四位数中不含数字0时，有种方法；当四位数中含数字0时，有种方法． 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． （2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）． 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）． 所以共有个偶数． （3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6，7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1，5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1，5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有（个）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 排列与排列数 题型一 排列的意义 1．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 3．（多选）（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 题型二 排列数及其计算 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西河池·期末）一个数阵有行列，第一行中的个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 题型三 应用排列数公式的证明问题 1．（22-23高二·全国·课堂例题）求证：． 2．（2023高二·江苏·专题练习）求证： 3．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 题型四 应用排列数公式解方程（不等式）、化简 1．（多选）（24-25高二下·江苏扬州·期中）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高二下·广东清远·期中）一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则 . 3．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 4．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：； （2）解不等式：. 题型五 简单的排列应用问题 1.（24-25高二下·湖南长沙·期末）从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25高二下·北京朝阳·期末）2025北京书市的主展场设在朝阳公园，公园内设置了十大展区，分别是：主题出版物展区､出版精品展销区､京津冀及其他地区文旅展示区､“旧书新知”专区､实体书店街区､儿童精品阅读区､特价书展销区､潮卖场､阅读新场景区和动漫电竞区.某市民决定从这些展区中选出两个不同展区分别安排在上､下午进行深度游览体验，则该市民不同的安排种数为（    ） A．45 B．90 C．100 D．180 题型六 全排列应用问题 1.（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 2．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 题型七 古典概率计算问题 1．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 题型一 “在与不在”问题 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 2．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．84 C．100 D．120 3．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（   ） A．450 B．480 C．504 D．618 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 5．（2025高三·全国·专题练习）从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案共有（    ）. A．94种 B．180种 C．240种 D．286种 6．（25-26高二上·全国·单元测试）有4名男生，5名女生排成一行，甲不在正中间也不在两端的排法种数为（    ） A．336 B．7200 C．40320 D．241920 7．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为 题型二 “邻与不邻”问题 1．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）3名学生和2名老师随机排成一行，2名老师不相邻，则不同排法的种数为 ． 3．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有 种不同的安排方法.（用数字作答） 4．（25-26高二上·全国·单元测试）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展．若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序． (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 题型三 排列综合问题 1．（24-25高二下·吉林·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 2．（24-25高二下·云南保山·阶段练习）两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（   ） A．774种 B．796种 C．816种 D．834种 3．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 4．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 1．（2025·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 2．（24-25高二下·天津·期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 3．（2025·全国·模拟预测）某班级准备了五种课外活动供同学们选择，活动时间分别为，现有三位同学依次选择一种活动并完成，要求三位同学所选活动不同．记表示前两位同学选择的活动时间的平均数，记表示三位同学选择的活动时间的平均数，则与的比值大于1的概率为 ． 4．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 5．（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 6．（24-25高二下·青海海南·期末）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $