专题15.5 等腰三角形（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题15.5 等腰三角形 教学目标 1. 掌握等腰三角形的相关概念及其性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。 教学重难点 1. 重点 （1） 等腰三角形的性质； （2） 等腰三角形的判定。 2. 难点 （1）利用等腰三角形的性质解决线段与角度的问题； （2）等腰三角形的判定与性质的综合应用； （3）注意有关于等腰三角形的分类讨论。 知识点01 等腰三角形的概念及其性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 ，所对的角叫做等腰三角形的 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 。即AB AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角 。即∠B ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ∠CAD，BD CD，AD BC。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝3，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【即学即练2】 2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【即学即练3】 3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（　　） A．90° B．95° C．100° D．110° 【即学即练4】 4．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【即学即练5】 5．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（　　）度． A．120 B．30 C．15或75 D．30或120 【即学即练5】 6．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（　　） A．4 B． C．15 D．8 知识点02 等腰三角形的判定 1. 定义判定： 由两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 ，则这两个角所对的两条边也 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 数学语言：如图：∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 3. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 ，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 【即学即练1】 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．求证：△ABD为等腰三角形． 【即学即练2】 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED，CA，交于点F．求证：△ADF是等腰三角形． 题型01 利用等腰三角形的性质求线段 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【变式2】如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DF长为（　　） A． B． C． D．6 【变式3】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF，则AB的长为（　　） A． B．2 C．4 D．6 题型02 利用等腰三角形的性质求角 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，若∠ADE＝15°，则∠C＝（　　） A．35° B．30° C．20° D．45° 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC＝2∠A，BD＝BC，∠DCA的度数是（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【变式2】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 【变式3】如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别是3和4，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．10或12 【变式1】等腰三角形的两条边长分别为3cm，7cm，则等腰三角形的周长为（　　） A．13cm或17cm B．17cm C．13cm D．10cm 【变式2】等腰三角形的两条边长分别是x、y，且，求这个等腰三角形的周长　8或7　 ． 【变式3】已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 题型04 等腰三角形的判定 【典例1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA＝3，OB＝1，点P在y轴上，若以P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的P点有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形． 【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形． 【变式4】如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G． （1）求证：△CEG为等腰三角形； （2）求证：． 【变式5】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长． 1．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 2．若a，b是等腰△ABC的两边，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，则此三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．20 3．已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，若点D到直线AB的距离为6，则点D到直线AC的距离为（　　） A．7 B．6 C．4 D．3 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF是等腰三角形 B．DF＝EF C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115° D．DE＝BD+CE 6．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．60° B．75° C．70° D．90° 7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，交∠ABC的平分线于点F，若BD＝10，CE＝7，则EF的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 9．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．5 C．1或5 D．2或3 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 11．如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AB＝AD，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，若∠DAE＝32°，∠DBC＝20°，则∠C的度数为　 　 °． 12．如图，AB＝AD，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝50°，则∠BAE的度数为 　 　 ． 13．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若，CE＝4，则BE的长为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当D为BC中点时，∠AED＝ 　 °； （2）当BD＝CE时，∠AED＝ 　 　 °． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线． （1）求证：AM∥BC； （2）若DN平分∠ADC交AM于点N，证明△ADN为等腰直角三角形． 17．王晓想测量一棵树的高度AB，如图，树杆AB上的C处开始有分枝长出，王晓在地面上的点D处测得∠CDB＝45°，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点P处时，恰好测得PA＝PE，PC＝PD，且A、P、D三点在一条直线上，C、P、E三点在一条直线上，点E在BD的延长线上，若BD＝6米，DE＝5米，AB⊥BE于点B，请你求出这棵树的高度AB． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AC的垂直平分线EF，分别交AC、AB、AD于点E、F、O，连接CO、BO． （1）若OB＝1，求OA的长； （2）若∠ABC＝70°，求∠OCD的度数． 19．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． （1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD∠B． 20．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.5 等腰三角形 教学目标 1. 掌握等腰三角形的相关概念及其性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。 教学重难点 1. 重点 （1） 等腰三角形的性质； （2） 等腰三角形的判定。 2. 难点 （1）利用等腰三角形的性质解决线段与角度的问题； （2）等腰三角形的判定与性质的综合应用； （3）注意有关于等腰三角形的分类讨论。 知识点01 等腰三角形的概念及其性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝3，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BC＝2BD＝6， 故选：C． 【即学即练2】 2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【答案】B 【解答】解：分两种情况： ①底为2cm，腰为4cm时， 等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）； ②底为4cm，腰为2cm时， ∵2+2＝4， ∴不能构成三角形； ∴等腰三角形的周长为10cm； 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（　　） A．90° B．95° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线， ∴∠DAC∠BAC＝40°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED70°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣70°＝110°， 故选：D． 【即学即练4】 4．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【答案】D 【解答】解：①若40°是顶角，则底角70°； ②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°． 故选：D． 【即学即练5】 5．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（　　）度． A．120 B．30 C．15或75 D．30或120 【答案】C 【解答】解：如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣30°）＝75°； 如图，AB＝AC，BH⊥AC交CA的延长线于H，∠ABH＝60°， ∵BH⊥AC， ∴∠AHB＝90°， ∴∠BAH＝90°﹣∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C＝∠BAH， ∴2∠C＝30°， ∴∠C＝15°， ∴该三角形的底角是15°或75°． 故选：C． 【即学即练5】 6．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（　　） A．4 B． C．15 D．8 【答案】B 【解答】解：连接AO，如图， ∵AB＝AC＝5， ∴S△ABC＝S△ABO+S△AOCAB•OEAC•OF＝12， ∵AB＝AC， ∴AB（OE+OF）＝12， ∴OE+OF． 故选：B． 知识点02 等腰三角形的判定 1. 定义判定： 由两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 数学语言：如图：∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 3. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 【即学即练1】 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．求证：△ABD为等腰三角形． 【答案】见解答 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AD＝AC， ∵AB＝AC， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形． 【即学即练2】 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED，CA，交于点F．求证：△ADF是等腰三角形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C（等边对等角）． ∵FE⊥BC， ∴∠CEF＝∠BED＝90°． ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE． ∵∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA（等量代换）． ∴AF＝AD（等角对等边）． ∴△ADF是等腰三角形． 题型01 利用等腰三角形的性质求线段 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝8． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4， ∵BC＝3， ∴CE＝1， ∴AD+CE+AC+DE＝2+1+4+4＝11， 即阴影部分的周长为11， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【变式2】如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DF长为（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【解答】解：连接AD，如图， ∵△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，DE⊥AB，DF⊥AC， S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ACD＝28， ∴AB•DEAC•DF＝28， ∴8DE+8DF＝28， ∴DE+DF， ∵DF＝2DE， ∴DE+2DE， 解得DE， ∴DF＝2DE． 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF，则AB的长为（　　） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，∠ACB＝110°， ∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°， ∵∠ECD＝15°． ∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°， ∴∠ACH＝∠ACF＝55°， ∴CA平分∠HCF， ∵AF⊥CE，CH⊥AB， ∴AH＝AF， ∴AB＝2AH＝2． 故选：B． 题型02 利用等腰三角形的性质求角 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，若∠ADE＝15°，则∠C＝（　　） A．35° B．30° C．20° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADE＝15°， ∴∠BDE＝90°﹣15°＝75°， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠BDE＝75°（等边对等角）， ∴∠B＝180°﹣2×75°＝180°﹣150°＝30°， ∴∠C＝30°， 则∠C的度数为30°， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC＝2∠A，BD＝BC，∠DCA的度数是（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝∠ABC＝2∠A，∠ACB+∠ABC+∠A＝180°， ∴2∠A+2∠A+∠A＝180°， 5∠A＝180°， 解得：∠A＝36°， ∴∠ACB＝∠ABC＝2∠A＝2×36°＝72°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝54°， ∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝72°﹣54°＝18°． 故选：A． 【变式2】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 【答案】D 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°， ∴∠ODC＝23°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°， ∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°， 故选：D． 【变式3】如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【答案】D 【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别是3和4，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．10或12 【答案】C 【解答】解：①3是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10， ②4是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+3＝11， 所以，它的周长是10或11． 故选：C． 【变式1】等腰三角形的两条边长分别为3cm，7cm，则等腰三角形的周长为（　　） A．13cm或17cm B．17cm C．13cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：①当腰长是3，那么三边分别是3，3，7，而3+3＜7，故不能构成三角形，所以此种情况舍去； ②当腰长是7，则三边分别是7，7，3，而3+7＞7，能构成三角形，故周长为17． 故选：B． 【变式2】等腰三角形的两条边长分别是x、y，且，求这个等腰三角形的周长　8或7　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵，解得：x＝3，y＝2， ①若腰长为x，则底边为y，∴等腰三角形的周长为2x+y＝8； ②若腰长为y，则底边为x，∴等腰三角形的周长为2y+x＝7； 故答案为：8或7． 【变式3】已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【解答】解：∵|b﹣4|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝3，b＝4， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时， ∴等腰三角形的周长为：3+3+4＝10， 当b为腰长时， 等腰三角形的周长为：3+4+4＝11， 故此等腰三角形的周长为10或11． 故选：D． 题型04 等腰三角形的判定 【典例1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【答案】A 【解答】解：A、由条件可知∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC为等腰三角形； B、根据三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形； C、∵∠A＝20°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣70°＝90°， ∴△ABC为直角三角形； D、∵AB＝1，BC＝4，周长为6， ∴AC＝6﹣AB﹣BC＝6﹣1﹣4＝1， ∵AB+AC＝1+1＝2＜BC ∴不能构成三角形； 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA＝3，OB＝1，点P在y轴上，若以P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的P点有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：如图： 分三种情况： 当AP＝AB时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交y轴于点P1，P2； 当BA＝BP时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交y轴于点P3，P4； 当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交y轴于点P5； 综上所述：点P1，P2，P3，P4，P5即为所求， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵DE⊥AC， ∴∠B＝∠DEC＝90°， ∵AB＝CE， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等腰三角形． 【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， 即△AEF为等腰三角形． 【变式4】如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G． （1）求证：△CEG为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】（1）证明：在△ABC中，CA＝CB， ∴∠B＝∠CAB， ∵EF⊥AB， ∴△BEF和△AGF都是直角三角形， 在Et△BEF中，∠B+∠BEF＝90°， 在Rt△AGF中，∠CAB+∠AGF＝90°， ∴∠BEF＝∠AGF， ∵∠CGE＝∠AGF， ∴∠BEF＝∠CGE， 即∠CEG＝∠CGE， ∴△CEG为等腰三角形； （2）证明：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°﹣∠EAF， ∴∠AEF＝90°﹣（∠CAB+∠EAC）， 在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠B+∠DAB）， ∵AE平分∠CAD交CD于点E， ∴∠CAD＝2∠EAC， 又∵∠B＝∠CAB， ∴∠B+∠DAB＝∠CAB+∠CAB+∠CAD＝2（∠CAB+∠EAC）， ∴∠D＝180°﹣2（∠CAB+∠EAC）， ∴． 【变式5】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BF⊥AD， ∴∠BAF＝∠EAF，∠AFB＝∠AFE＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠BAF，∠AEB＝90°﹣∠EAF， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴△ABE为等腰三角形； （2）解：如图所示，连接DE， ∵AB＝AE，AD⊥BF， ∴AD垂直平分BE， ∴DB＝DE， ∴∠DBE＝∠BED， ∴∠EDC＝2∠DBE， ∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝2∠C， ∴∠C+∠EBC+∠EBC＝2∠C， ∴∠C＝2∠EBC＝∠EDC， ∴CE＝DE＝BD＝2， 又∵AB＝AE＝3． ∴AC＝AE+CE＝5． 1．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 【答案】D 【解答】解：①一条边上的高线与这条边上的中线重合， 如图，AD＝BD，CD⊥AB， ∴CD垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∴①一条边上的高线与这条边上的中线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，CD⊥AB，CD平分∠ACB，则∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD＝∠BCD， ∴△ADC≌△BDC（ASA）， ∴AC＝BC， ∴②一条边上的高线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，CD平分∠ACB，AD＝BD，延长CD至E，使CD＝DE， 则能证明△ADE≌△BDC（SAS）， ∴AE＝BC，∠E＝∠DCB， ∴∠E＝∠ACD， ∴AE＝AC， ∴AC＝BC， ∴③一条边上的中线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； 故选：D． 2．若a，b是等腰△ABC的两边，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，则此三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．20 【答案】B 【解答】解：∵|a﹣3|+（b﹣7）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣7＝0， ∴a＝3，b＝7． ①当腰长为3时，此时3+3＜7（舍去）． ②当腰长为7时，3+7＞7，所以三角形的周长为2×7+3＝17． 故选：B． 3．已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，若点D到直线AB的距离为6，则点D到直线AC的距离为（　　） A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：如图， ∵AD是等腰△ABC底边BC上的高， ∴根据等腰三角形的性质得，AD平分∠BAC， ∴点D到直线AB，AC的距离相等， ∵点D到直线AB的距离为6， ∴点D到直线AC的距离为6． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【解答】解：如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C． 5．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF是等腰三角形 B．DF＝EF C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115° D．DE＝BD+CE 【答案】B 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF， ∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠ACF， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF是等腰三角形，DE＝DF+EF＝BD+CE， 故A、D正确，不符合题意；B错误，符合题意； ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠CBF+∠BCF∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝65°， ∴∠∠BFC＝180°﹣65°＝115°， 故C正确，不符合题意； 故选：B． 6．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．60° B．75° C．70° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°， ∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°， ∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°； 故选：A． 7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，交∠ABC的平分线于点F，若BD＝10，CE＝7，则EF的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 【答案】B 【解答】解：∵CD是△ABC的角平分线，BF平分∠ABC， ∴∠BCD＝∠ACD，∠ABF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠CDE，∠BFD＝∠CBF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ACD＝∠CDE，∠BFD＝∠ABF， ∴DE＝CE＝7，DF＝BD＝10， ∴EF＝DF﹣DE＝10﹣7＝3， 即EF的长为3， 故选：B． 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 【答案】D 【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，如图①， 高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°； ②当为钝角三角形时可画图为如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°， 所以该等腰三角形的顶角为50°或130°， 故选：D． 9．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．5 C．1或5 D．2或3 【答案】D 【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等， ∵点D为AB的中点， ∴BDAB＝6cm， ∵BD＝PC， ∴BP＝8﹣6＝2（cm）， ∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间时1s， ∵△DBP≌△PCQ， ∴BP＝CQ＝2cm， ∴v＝2÷1＝2； 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP， ∵BD＝6cm，PB＝PC， ∴QC＝6cm， ∵BC＝8cm， ∴BP＝4cm， ∴运动时间为4÷2＝2（s）， ∴v＝6÷2＝3（cm/s）． 故v的值为2或3． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD，AG， ∵AB＝AC，点D为边BC的中点，BC＝6， ∴AD⊥BC，BDBC6＝3， ∵S△ABC＝27， ∴， 解得AD＝9， ∵直线EF垂直平分线段AB， ∴AG＝BG， ∴△BDG的周长为BD+BG+DG＝3+AG+DG， 由两点之间线段最短可知，当点A，G，D共线时，AG+DG的值最小，最小值为AD的长， ∴3+AD＝3+9＝12，即△BDG周长的最小值为12， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 11．如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AB＝AD，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，若∠DAE＝32°，∠DBC＝20°，则∠C的度数为　38　 °． 【答案】38°． 【解答】解：∵AB＝AD，点E是BD的中点， ∴△ABD是等腰三角形，∠AED＝90°， ∵∠DAE＝32°， ∴∠ADE＝58°， ∵∠DBC＝20°， ∴∠C＝∠ADE﹣∠DBC＝38°． 12．如图，AB＝AD，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝50°，则∠BAE的度数为 　80°　 ． 【答案】80°． 【解答】解：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA＝∠DCA， 又∵CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD， ∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝50°， ∴∠B+∠ACB＝50°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝80°， 故答案为：80°． 13．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若，CE＝4，则BE的长为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由题意可知，ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∵CE＝4， ∴AE＝CE＝4， ∵点D是AC的中点， ∴AC＝2CD＝3， ∵AB＝AC， ∴AB＝3， ∴BE＝AB+AE＝7． 故答案为：7． 14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝6，AC＝9， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+CN+AN ＝AB+AC ＝15， 故答案为：15． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当D为BC中点时，∠AED＝ 　90　 °； （2）当BD＝CE时，∠AED＝ 　70　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当D为BC中点时，如图1所示： 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵D为BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝50°， ∵∠AED是△CDE的外角， ∴∠AED＝∠CDE+∠C＝90°， 故答案为：90； （2）当BD＝CE时，如图2所示： 设∠BAD＝α， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+α， 又∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝40°， ∴40°+α＝40°+∠CDE， ∴∠CDE＝∠BAD＝α， 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠C+∠B）＝100°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣α， ∵∠AED是CDE的外角， ∴∠AED＝∠CDE+∠C＝α+40°， 在△CDE和△BAD中， ， ∴△CDE≌△BAD（AAS）， ∴DE＝AD， ∴∠DAC＝∠AED， ∴100°﹣α＝α+40°， 解得：α＝30°， ∴∠AED＝α+40°＝70°． 故答案为：70． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线． （1）求证：AM∥BC； （2）若DN平分∠ADC交AM于点N，证明△ADN为等腰直角三角形． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC ∴， ∵AM是△ABC的外角∠CAE的平分线， ∴， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠MAD+∠ADC＝180°， ∴AM∥BC（同旁内角互补，两直线平行）； （2）由（1）得：AM∥BC， ∴∠AND＝∠NDC，∠DAN＝∠ADC＝90°（两直线平行，内错角相等）， ∵DN平分∠ADC交AM于点N， ∴， ∴△ADN为等腰直角三角形． 17．王晓想测量一棵树的高度AB，如图，树杆AB上的C处开始有分枝长出，王晓在地面上的点D处测得∠CDB＝45°，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点P处时，恰好测得PA＝PE，PC＝PD，且A、P、D三点在一条直线上，C、P、E三点在一条直线上，点E在BD的延长线上，若BD＝6米，DE＝5米，AB⊥BE于点B，请你求出这棵树的高度AB． 【答案】11米． 【解答】解：∵∠CDB＝45°，∠CBD＝90°， ∴△CBD是等腰直角三角形， ∴BC＝BD， 在△PAC与△PDE中， ， ∴△PAC≌△PDE（SAS）， ∴AC＝DE， ∴AC+CB＝DE+BD，即AB＝BE， ∵BD＝6米，DE＝5米， ∴BE＝BD+DE＝6+5＝11（米）， ∴AB＝BE＝11米， 所以这棵树的高度AB为11米． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AC的垂直平分线EF，分别交AC、AB、AD于点E、F、O，连接CO、BO． （1）若OB＝1，求OA的长； （2）若∠ABC＝70°，求∠OCD的度数． 【答案】（1）1； （2）50°． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC＝1， ∵AC的垂直平分线EF，分别交AC、AB、AD于点E、F、O， ∴OA＝OC＝1， 答：OA的长为1； （2）∵AD是BC的垂直平分线， ∴∠ADB＝90°，∠OCD＝∠OBD， ∵∠ABC＝70°， ∴∠OAB＝∠OBA＝20°， ∴∠OBD＝∠ABC﹣∠OAB＝50°， ∴∠OCD＝∠OBD＝50°， 答：∠OCD的度数为50°． 19．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． （1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD∠B． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°， ∴∠DFC＝25°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°， 在Rt△FDC中， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝65°， ∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°． （2）连接BF ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC， ∴∠CFD+∠BFD＝90°， ∠CBF+∠BFD＝90°， ∴∠CFD＝∠CBF， ∴∠CFD∠ABC． 20．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $