易错易混08 空间向量与立体几何（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

易错易混08 立体几何与空间向量 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 6 易错归纳01 斜二测画法规则掌握不牢（★★★） 6 易错归纳02 线面位置关系的判断错误（★★★★） 10 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉（★★★★★） 13 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围（★★★） 19 易错归纳05 求解线面角时混淆夹角的概念（★★★★★） 24 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置）（★★★★★） 30 03 实战检测・易错通关验成效 40 一、斜二测画法 1、空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. 2、水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 3、空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 4、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 二、线面、面面平行的判定和证明 1、线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那 么该直线与此平面平行 符号表述： （2）利用面面平行性质定理：面面平行，面内的一条线与另一个面平行 符号语言： 2、面面平行判定定理：如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： 三、线面、面面性质定理 1、线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 符号表述：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 2、面面平行性质定理：两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 四、线面、面面垂直的判定和证明 1、线线垂直： ①等腰/边三角形：取中点出垂直 ②特殊四边形：菱形对角线互相垂直；正方形；长方形；直角梯形 ③勾股定理 2、线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， 3、面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， 五、线面、面面垂直垂直性质定理： 1、线面垂直性质定理： ①如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 2、面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 六、空间中的角 1、异面直线所成角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 2、线面角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 3、二面角 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）求法：传统法5个+向量法 ①定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． ②向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 易错归纳01 斜二测画法规则掌握不牢 【易错陷阱·避错攻略】 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半. 1．正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的原理做出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】由直观图可得，， 所以原图形为 所以，，，， ， 所以原图形的周长是， 故选：B. 2．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，所以，即， 则，所以. 故选：A. 3．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】过作轴，交轴于，求出的长，由斜二测画法的规则可知，即为的边上的高. 【详解】如图，过作轴，交轴于， 在中，因为与轴垂直，且，， 所以， 由斜二测画法知：，所以的边上的高为8. 故选：D.    4．（2025·陕西西安·二模）（多选题）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误；        B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确；    D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 易错归纳02 线面位置关系的判断错误 【易错陷阱·避错攻略】 空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型.解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断. 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理，通过分析每个选项中所给条件，判断直线与平面、平面与平面的位置关系是否成立. 【详解】对于，已知, 根据面面平行的性质，直线可能与平面平行，也可能在平面内，所以不能得出,故选项A错误； 对于，已知，此时直线与可能平行、相交或异面，不一定垂直，故选项B错误； 对于，已知，则直线所在的方向向量即分别为平面的法向量， 两法向量垂直，则两面垂直，故选项C正确； 对于，已知，根据线面平行的性质定理，如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，所以,故选项D错误. 故选：. 2．（25-26高三上·重庆渝北·月考）已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举出反例可判断选项A，B，D；根据线面垂直的性质可判断选项C. 【详解】对于A，当时，若，则由面面平行的判定定理可得， 当时，则平行或相交，故A错误； 对于B，当时，若，则由线面垂直的判定定理可得， 当时，则与不一定垂直，故B错误； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，当时，若，则由面面垂直的性质可得， 当时，则或与相交，故D错误. 故选：C. 3．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】对于A当时，则与有可能相交即可判断，对于B当时即可判断，对于C由线面位置关系即可判断，对于D由线面垂直的判断定理即可判断. 【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误； 对于B：当时，则，，，故B错误； 对于C：满足，，则或，故C错误； 对于D：由，,故D正确. 故选：D. 4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，于是可得到（    ） A．若，则. B．若，，则. C．若，则. D．若是一对异面直线，且，则. 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断ABC，对于D利用面面平行的判断定理即可判断. 【详解】对于A：若，则或或，故A错误； 对于B：若，，则或与异面，故B错误； 对于C：若，则与相交或，故C错误； 对于D：设平面，满足，由， 所以，即，，所以， 又设平面，满足，又由， 所以，即，又，所以， 又由是一对异面直线，所以，所以. 故选：D. 5．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，那么 【答案】A 【分析】对于A，在长方体中记平面为平面，平面为平面，直线为直线，由此可得，，但，故A错误，对于B，设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作，由可得，证明，，由此可得，判断B，对于C，过直线作平面，，过直线作平面，，由线面平行性质定理可得，，再由线面平行判定定理证明，再证明结论，判断C，对于D，结合面面平行的定义和线面平行的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，多面体为长方体，    记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确，    对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确，      对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉 【易错陷阱·避错攻略】 1、线面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、面面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 3、线面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 4、面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 1．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．    (1)记平面与平面的交线为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质即可证明结论； 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以； 2．在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)求证：； (2)若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设易知，再由面面垂直、线面垂直的性质定理即可证； （2）由题设易得，由线面平行的判定得，再由线面平行的性质有，最后应用线面平行的判定即可证. 【详解】（1）由，为的中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故. （2）由为的中点，为的中点，则， 由，，则，又平面，平面平面， 所以，平面，平面， 所以平面. 3．如图，在四棱柱中，底面和侧面均是正方形，是上一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及菱形的几何性质可得线线垂直，即可求证平面，进而可求解， （2）根据线线平行证明线面平行，进而得面面平行，即可求证. 【详解】（1）由于底面和侧面均是正方形，故平面， 故平面，平面，故， ，故 又，故，则四边形为菱形，因此 平面， 故平面，平面，故 （2）连接, 四棱柱中，平面，平面， 故平面， 同理可得则平面， 平面， 故平面平面， 又平面，故平面. 4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合直角三角形的性质可得，，再根据线面垂直的判定定理可证得平面； （2）如图作辅助线，利用中位线的性质证得，根据线面平行的判定定理可得平面，同理可证得平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证得平面. 【详解】（1）平面，且平面，， 底面是直角三角形且，， 又平面，平面，， 平面. （2）如图，连结并延长交于点，连结，， 是的重心，为边上的中线，即为的中点， 又有为的中点，， 平面，平面，平面， 同理，是的中点，可得， 平面，平面，平面， 又平面，平面，， 平面平面， 又有平面，平面. 5．（2025·河北·一模）如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.    (1)证明:四边形为菱形; 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线线垂直，进而证明平面，得出对角线垂直，进一步可得结论； 【详解】（1）设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面⊥平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为,平面，所以平面，所以， 因为为平行四边形，所以为菱形.    6．已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）．    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）在梯形中证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判断定理推理得证. 【详解】（1）连接，令，由E、F分别为CD、BC的中点，得，    又四边形ABCD是直角梯形，，，，， 则，， 因此，，四边形为正方形， 则，，由平面平面ABCE，平面ABCE， 平面平面，得平面SAE，而平面SAE，则， 又，平面SEF，所以平面SEF.    易错归纳04 异面直线夹角的范围 【易错陷阱·避错攻略】 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 1．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线线角的求法，将异面直线平移至同一平面内，求得正确答案. 【详解】画出图象如下图所示 根据正方形的性质可知 所以是直线与所成角 由于三角形是等边三角形 所以，即直线与所成的角的大小为故选： 2．如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线长为2，得到为等边三角形，为等腰直角三角形，作出辅助线，得到（或其补角）即为与所成角，并由勾股定理和余弦定理求出各边长，利用余弦定理求出，求出，进而得到与所成角大小. 【详解】，故圆锥底面积周长为，设圆锥的母线长为， 圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，设扇形的半径为，则， 则，解得，即， 与所成角为时，所以为等边三角形，， 又为底面圆的直径，所以⊥，又， 由勾股定理得，故为等腰直角三角形， 其中，由勾股定理逆定理得⊥， 取的中点，连接，则，， 取的中点，连接，则， 故（或其补角）即为与所成角， 连接，则⊥平面，取的中点，连接，， 则，故⊥平面，又平面，所以⊥， 其中，，， ，，， 在中，由余弦定理得 ， 故， ， 所以，则与所成角大小为. 故选：D 3．在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 . 【答案】或 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 4．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 【答案】/ 【分析】根据，结合向量数量积的运算法则，分别求出和的值，再利用，求解即可． 【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线与所成角为． 故答案为：． 5．如图，将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，若取图中相关线段的中点进行转化，则可求得直线与所成的角为 . 【答案】60°/ 【分析】过点作于点，分别取的中点，连接，证明是直线与所成的角或补角.过点作于点，连接，借助于求得，最后在中，运用余弦定理求出即可求得. 【详解】 设正方形的边长为，过点作于点， 分别取的中点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 由于，，则， 所以， 故是直线与所成的角或补角. 在中，过点作于点，连接，则，故平面 因平面，则，则 在中，， 由余弦定理，， 在中，，又， 在中，由余弦定理，， 因，故，即直线与所成的角为. 故答案为： 易错归纳05 求解线面角时混淆夹角的概念 【易错陷阱·避错攻略】 若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|. 注：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 1．（25-26高三上·重庆南岸·月考）如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点 (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合正六边形的性质，利用面面垂直的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 在正六边形中，因， 则，即. 又平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）由（1）可知，两两垂直，故可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为是上靠近的三等分点，， 所以，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，. 所以，， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得结论； （2）作，垂足为H，得平面，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出点坐标，然后用空间向量法求线面角的正弦值即可． 【详解】（1）由已知可得，，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）作，垂足为H，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 因为，平面，所以平面，平面， 所以，又，所以，又， 故.可得， 则，，则， 易知平面的一个法向量为， 所以， 设与平面所成角为，则， 故与平面所成角的正弦值为. 3．在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面平行的判定证明平面、平面，再由面面平行的判定及性质定理证明结论； （2）取中点，连接，，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出直线、平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角正弦值，进而得余弦值. 【详解】（1）因为平面平面， 所以平面，同理，可证平面， 又平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面； （2）取中点，连接，，易知， 因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 从而，所以， 设平面的法向量，有，得， 令，则，故平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 4．如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是 和的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点为，连接，根据线面平行判定定理即可证明； （2）根据面面垂直判定定理即可证明； （3）利用空间向量法来求线面角即可. 【详解】（1）取中点为，连接， 在中，为中点，为的中点， 所以且， 在四棱柱 中，，为的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 因为 所以由余弦定理得， 此时有，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， （3）如图建系，由， 可知：， 则 可得， 由于平面的法向量可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 设，则， 所以 故直线与平面所成角的正切值为. 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置） 【易错陷阱·避错攻略】 一、直线和平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影， 图中斜线PA在平面α上的射影为AO 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 3、取值范围：[0°，90°] 二、二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 1．已知棱锥的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，． (1)在线段PB上找一点G，使得平面∥平面PDE，并说明理由； (2)在（1）的条件下，二面角为，求CG与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)线段PB的中点即为所求的点G，理由见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据题意可得，，根据面面平行的判定定理分析证明； （2）由二面角分析可知，建系，求平面PAC的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）线段PB的中点即为所求点G．理由如下： 连接BD交AC于点M，连接GM，PD， 因为四边形ABCD是正方形，则M为BD的中点， 且G为线段PB的中点，则， 又因为平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE， 由题意可知：， 则，且平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE． 且，GM，平面GAC，所以平面∥平面PDE． （2）因为，，，平面PAE， 可得直线平面PAE，且平面PAE，所以， 可知为二面角的平面角，则， 如图，以E为坐标原点，EA，ED所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，， 则，，， 设平面PAC的法向量为，则， 取，则，可得， 设直线CG与平面PAC所成角为， 则， 所以直线CG与平面PAC所成角的正弦值为． 2．（2025·山东威海·三模）如图，在直平行六面体中，点在棱上． (1)若平面，证明：； (2)若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质定理可得，结合为的中点，得证； （2）由题可得，在中，由勾股定理求得，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，结合平面与平面所成角的正弦值为，求解得到答案. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为为直平行六面体， 所以为平行四边形，可得为的中点， 所以为的中点，即. （2）因为，所以平行四边形为菱形，所以， 由直平行六面体，可得平面，所以， 又，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，故， 因为，可得为等边三角形，设，则， 所以， 在中，由勾股定理可得，所以， 取的中点，连接，则， 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 又是平面的一个法向量， 因为平面与平面所成角的正弦值为，所以平面与平面所成角的余弦值为， 则，解得，所以． 3．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面⊥平面，点P在侧棱上． (1)当P为侧棱的中点时，求证：⊥平面PBC； (2)若平面与平面夹角的大小为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形性质证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）由题意证明两两垂直，建立空间直角坐标系，设,求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合平面与平面夹角的大小为，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为为等边三角形， 所以， 因为为等边三角形， 所以，所以； 在等腰和等腰中，因为P为的中点，所以， 又因为，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点O，连接，则在等边和等边中， 有，所以为平面与平面的夹角． 因为平面平面，所以，即， 所以两两垂直， 以点O为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝a， 则， 因为P在上，设，， 则， 由，可得， 解得， 即． 显然平面ABC的一个法向量为， 设平面PBC的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，所以， 因为平面与平面夹角的大小为， 所以 所以．又，解得， 即. 4．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若二面角为； （i）证明：平面平面； （ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）棱上不存在点，使.理由见解析. 【分析】（1）可以先证明，利用线面平行的判定定理，可证明平面； （2）（i）先证平面，可用面面垂直的判定定理，证明即可（ii）假设棱上存在点，使，利用空间向量法进行验证得出结果. 【详解】（1）证明：如图，取中点，连接． 因为为中点，故．由已知有． 又由于为中点，因而，故四边形为平行四边形， 所以．又平面，而平面，所以平面．    （2）（i）如图，连接． 因为，而为中点，故， 所以为二面角的平面角． 在中，由，，可解得． 在中，由，，可解得． 在中，，，，由余弦定理，可解得， 从而，即． 又，从而，因此平面． 又平面，所以平面平面． （ii）棱上不存在点，使. 理由：假设棱上是存在点，使. 由（i）知，，因为，，所以，因此两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， 因为点在棱上,设，， 因为，所以，解得. 此时此时点在的反向延长线上，与因为点在棱上矛盾. 所以棱上是不存在点，使.    5．如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． (1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解； （2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可； （3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可. 【详解】（1）在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即. （2）由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，， 在中，， 由等面积法可知，，， 而，. （3）设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，， 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为． 1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选：C． 2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断： ①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交． ②对平面，和直线，若，，则． ③对平面，和直线，若，，则． ④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则． 其中正确的判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由线面垂直，线面平行关系可判断选项正误. 【详解】对于①，过直线上一点作直线，设过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交，故①错误； 对于②，由题可得可能在内，故②错误； 对于③，因，则在内存在，使，则，又，则，故③正确； 对于④，因，，则或，又过平面内一点，则，故④正确. 故选：B 4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图还原原平面图形，确定原图形中线段的长度，再由勾股定理计算可得结果. 【详解】由直观图还原原平面图形，如下图所示： 因为四边形为矩形，则，且， 故为等腰直角三角形，故，， 在原图形中，，， 因为，，则在原图形中，，， 故四边形为平行四边形，所以，，， 故原平面图形的周长为. 故选：D. 5．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是 . 【答案】 【分析】利用斜二测画法推导出原图形，根据边角关系求解. 【详解】如图①中，过作平行轴，交轴于点， 如图②，在平面直角坐标系中，在轴上取， 过点作平行轴，取，连接，则即原图形. 故为到轴距离，设则. 在①中过作垂直轴，且交轴于， 则， ，即，解得. 故答案为：. 6．如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可. 【详解】取中点M，连接 ，，， 取中点H，，，. 分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， 则，， 故， 又因为两异面直线的夹角范围是， 故异面直线和所成角为. 故答案为：. 7．已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； 【答案】(1)证明过程见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质、线面垂直的性质进行证明即可； 【详解】（1）如图，连结，在正方体中， ∵，又，， ∴ 平面． 又在正方体中，连接, ∵，, ∴平面， 又平面，∴． 同理可得. 又，∴平面． ∴; 8．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 9．如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F是线段EB的中点． (1)求证：平面ABC； (2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取AB的中点M，利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证. （2）以M为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）取AB的中点M，连接FM和CM，在中，F是EB的中点，M是AB的中点， 则且， 由平面，而平面，得，又， 因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2）由（1）得，平面，则为直线CF与平面所成角，即， 在中，，在等边中，M为AB的中点，则， 以M为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面夹角为θ，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 10．如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 11．如图，在三棱台中，侧面底面，，，，，．    (1)求的长． (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）利用余弦定理求出，再取的中点，连接，，利用面面垂直的性质定理得到,利用勾股定理即可得到结果. （2）利用线面角的向量求法即可得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得 ， 所以．    如图，取的中点，连接，． 因为，所以． 因为，，所以． 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以底面． 因为底面，所以． 因为，， 所以为等边三角形，所以． 在中，由勾股定理，得． （2）在三棱台中，， 则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角． 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴， 以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，．    设平面的法向量为， 则 不妨取，得，，则． 设直线与平面所成的角为， 则． 于是，所以． 所以直线与平面所成角的正切值为2． 12．（2025·云南·三模）如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，． (1)求证：； (2)若，，，求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，结合菱形性质及线面垂直的判定定理证得平面，从而利用线面垂直的性质定理得，即可证明； （2）结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证得平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）如图，连接，∵在四棱柱中且， ∴．又∵在菱形ABCD中，，， 平面，∴平面，平面， ∴，O是AC的中点，∴．           （2）∵底面ABCD为菱形，，， ∴是正三角形，，． 又∵，， ∴，，，所以．           又∵，，平面ABCD，∴平面ABCD．           如图，以点O为坐标原点，以OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系： ，，，， ，．           设平面的法向量为， 则，即，取．           设与平面所成角为，且， ∴．           又，∴，所以与平面所成角的余弦值． 13．如图1，在中，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作，垂足为，连接，先证得平面，得到为直线与平面所成的角，再利用平面图形的性质证得，，进而得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）证明：在图1中,因为， ∴在图2中，， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）连接，过点作，垂足为，连接， 因为分别是的中点， 所以， 因为， 所以， 又因为平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 所以， 因为，是的中点，所以， 所以为等边三角形， ∵点为中点，∴，. 在中， 在中，， 在中，， 所以， 又∵点为中点，∴， 又平面平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 在中，， 所以二面角的余弦值为. 14．如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题干条件，结合勾股定理可证，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质及线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）可知，，，故以为坐标原点，，，分别为，，建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）∵，，∴，∴. ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面. 又平面，. ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面. 又平面，. ∵，，，平面，平面，∴平面. 又平面，. （2）由（1）可知，，，故以为坐标原点，，，分别为，，建立空间直角坐标系如图所示. 则由题可知，，，，， ∴，，. 平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为. 平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为. ∴， ∴， ∴二面角的正弦值为. 15．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，，为中点． (1)求证：、、、四点共面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知，证得平面，平面，可得、、、四点共面； （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示进行计算即可. 【详解】（1）为等边三角形，为中点， 则，，， 又，， 又，平面， 平面， 同理可证，平面， 过只有一个平面与垂直， 、、、四点共面． （2） 由（1）可知，， 就是二面角所成的平面角， ， 又，，， 则在中，，， ，， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设是平面的一个法向量， 由，令可得， 设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 16．（25-26高三上·广西·开学考试）如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据已知得，，再由线面、面面平行的判定定理得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证结论； （2）取的中点为，连接，，，根据已知及二面角定义有二面角的平面角为，设，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出二面角中相关面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而可得其正弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接，， 因为是的中点，，所以，又， 所以为平行四边形，又、分别是、的中点， 所以，，又平面，平面， 所以平面， 同理得平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）取的中点为，连接，，， 因为，所以为等边三角形， 因为，所以为平行四边形，所以为等边三角形， 所以，，则二面角的平面角为， 以为原点，，为轴，过点作平面的垂线为轴， 设，则，，，，， 设为平面的法向量，则，取，得， 平面的法向量为，设二面角的大小为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，． (1)求证：平面平面ABC； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)1 (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，并由余弦定理得到各边长，由勾股定理逆定理得，从而平面，得到面面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，故点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积法进行求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角向量公式进行求解即可. 【详解】（1）连接，取的中点，连接，， 三棱柱的所有棱长均为2， 故，， 所以为等边三角形，故⊥， 又，故为等边三角形，故⊥， 由勾股定理得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，， 故，由勾股定理逆定理得， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）由（1）知，平面⊥平面，交线为， 又⊥，平面，所以⊥平面， 又，平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 其中， 故； （3）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则， 令得，所以， ，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18．如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)表面积为，体积为； (3) 【分析】（1）连接CE，由证得PE⊥EC，再由PE⊥ED，利用线面垂直的判定定理证得PE⊥平面； （2）利用勾股定理求出球半径即可求解； （3）以E为原点，建立空间直角坐标系，根据题意证得平面PEB⊥平面EBCD，作出辅助线，证得PF⊥平面EBCD，得到，分别求得平面PBC和平面EBCD的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得，，且， 即PE＝1，因为，则， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且，CE，DE⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面； （2）由题意知，为直角三角形，设外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． （3）以E为原点，以，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且，平面， 所以DE⊥平面， 又因为平面，所以平面⊥平面， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面＝BE，所以PF⊥平面， 所以为PE与平面所成的角，所以， 可得，，，则，， 设平面PBC的法向量为，则, 取，可得，所以, 又由z轴垂直平面，可得面的一个法向量为， 则 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小． 19．如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据三角形性质以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得结论； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果； 方法二：根据二面角定义作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值； （3）方法一：设，利用线面角的向量表示计算可得当时，满足题意； 方法二：根据题意作出直线与平面所成角的平面角，计算可知当时，满足题意. 【详解】（1）在图1的等腰直角中，为的中点，则， 所以在图2中，有，， 又，平面，所以平面， 又平面，可得； 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为正三角形，因为为的中点，所以， 又平面， 可得平面，又平面 所以． （2）方法一： 以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内过点作垂直于轴 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 可得平面的一个法向量为， 所以， 即二面角的余弦值为． 方法二： 作于，于，连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 平面，故, 因为，平面MNH，故平面MNH， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，所以，． 在中，，，所以， 所以， 可得． 所以二面角的余弦值为. （3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 方法一： 易知，， 设，则， 平面的一个法向量为． 依题意可得， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 方法二： 作于，如下图所示： 由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 在中，由余弦定理可得， 所以． 设，则，， 所以，解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错易混08 立体几何与空间向量 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 6 易错归纳01 斜二测画法规则掌握不牢（★★★） 6 易错归纳02 线面位置关系的判断错误（★★★★） 8 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉（★★★★★） 9 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围（★★★） 12 易错归纳05 求解线面角时混淆夹角的概念（★★★★★） 13 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置）（★★★★★） 14 03 实战检测・易错通关验成效 17 一、斜二测画法 1、空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. 2、水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 3、空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 4、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 二、线面、面面平行的判定和证明 1、线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那 么该直线与此平面平行 符号表述： （2）利用面面平行性质定理：面面平行，面内的一条线与另一个面平行 符号语言： 2、面面平行判定定理：如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： 三、线面、面面性质定理 1、线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 符号表述：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 2、面面平行性质定理：两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 四、线面、面面垂直的判定和证明 1、线线垂直： ①等腰/边三角形：取中点出垂直 ②特殊四边形：菱形对角线互相垂直；正方形；长方形；直角梯形 ③勾股定理 2、线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， 3、面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， 五、线面、面面垂直垂直性质定理： 1、线面垂直性质定理： ①如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 2、面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 六、空间中的角 1、异面直线所成角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 2、线面角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 3、二面角 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）求法：传统法5个+向量法 ①定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． ②向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 易错归纳01 斜二测画法规则掌握不牢 【易错陷阱·避错攻略】 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半. 1．正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（    ） A．12 B．24 C． D． 2．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 4．（2025·陕西西安·二模）（多选题）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 易错归纳02 线面位置关系的判断错误 【易错陷阱·避错攻略】 空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型.解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断. 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 2．（25-26高三上·重庆渝北·月考）已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．， 4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，于是可得到（    ） A．若，则. B．若，，则. C．若，则. D．若是一对异面直线，且，则. 5．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，那么 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉 【易错陷阱·避错攻略】 1、线面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、面面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 3、线面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 4、面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 1．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．    (1)记平面与平面的交线为，求证：． 2．在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)求证：； (2)若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面. 3．如图，在四棱柱中，底面和侧面均是正方形，是上一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面. 4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 5．（2025·河北·一模）如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.    (1)证明:四边形为菱形; 6．已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）．    (1)求证：平面； 易错归纳04 异面直线夹角的范围 【易错陷阱·避错攻略】 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 1．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 . 4．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 5．如图，将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，若取图中相关线段的中点进行转化，则可求得直线与所成的角为 . 易错归纳05 求解线面角时混淆夹角的概念 【易错陷阱·避错攻略】 若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|. 注：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 1．（25-26高三上·重庆南岸·月考）如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点 (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 3．在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 4．如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是 和的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置） 【易错陷阱·避错攻略】 一、直线和平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影， 图中斜线PA在平面α上的射影为AO 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 3、取值范围：[0°，90°] 二、二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 1．已知棱锥的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，． (1)在线段PB上找一点G，使得平面∥平面PDE，并说明理由； (2)在（1）的条件下，二面角为，求CG与平面PAC所成角的正弦值． 2．（2025·山东威海·三模）如图，在直平行六面体中，点在棱上． (1)若平面，证明：； (2)若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求． 3．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面⊥平面，点P在侧棱上． (1)当P为侧棱的中点时，求证：⊥平面PBC； (2)若平面与平面夹角的大小为，求的值． 4．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若二面角为； （i）证明：平面平面； （ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 5．如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． (1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值的取值范围． 1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断： ①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交． ②对平面，和直线，若，，则． ③对平面，和直线，若，，则． ④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则． 其中正确的判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是 . 6．如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 . 7．已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； 8．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9．如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F是线段EB的中点． (1)求证：平面ABC； (2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值． 10．如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 11．如图，在三棱台中，侧面底面，，，，，．    (1)求的长． (2)求直线与平面所成角的正切值． 12．（2025·云南·三模）如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，． (1)求证：； (2)若，，，求与平面所成角的余弦值． 13．如图1，在中，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 14．如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 15．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，，为中点． (1)求证：、、、四点共面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（25-26高三上·广西·开学考试）如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，． (1)求证：平面平面ABC； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小． 19．如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $